Aufgaben zum Licht als Welle (Lösungen)

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1) Interferenz im Alltag

Senkrecht zum Haar sieht man den Lichtstreifen.

Die Interferenz, also die Überlagerung, von Licht tritt grundsätzlich immer auf. So kann Licht aus zwei Lampen zum Beispiel quer durch das Zimmer "fliegen" und sich durchkreuzen. Lichtschwerter wie in Star Wars gibt es nicht:).

Nur das typische Muster, die periodische Schwankung der Intensität, ist nicht immer zu beobachten. Solche Muster treten bei Wellen dann auf, wenn der Abstand der Lichtquellen oder die Breite eines Hindernisses im Bereich von einigen Wellenlänge des Lichtes liegt. (Vgl. Beugung an Öffnungen und Hindernissen) Im Alltag ist die Wellenlänge des Lichtes aber viel kleiner als die Breite der meisten Gegenstände. Ein Haar ist aber so klein, dass man Interferenzphänomene beobachten kann, oder auch das enge Gewebe eines Vorhangs.

• 

  Ein Blick in den Garten. Bei der Hütte sieht man eine helle Lichtreflektion.

• 

  Der Vorhang fällt vor die Szenerie. Man sieht deutlich Interferenzmuster eines Kreuzgitters.

CDs haben so feine Muster, dass sie in bunten Farben schillern und auch Vögel nutzen Interferenz um ein leuchtend buntes Federkleid zu haben.

• Hält man ein Haar direkt vor das Auge und schaut in eine eng begrenzte, helle Lichtquelle, wie z.B. eine weit entfernte helle Lampe, dann sieht man nebenstehendes Bild.

a) Zeichnen Sie ein, in welcher Richtung das Haar verläuft.

b) Erklären Sie die regelmäßigen farbigen Stellen innerhalb des Lichtstreifens.

Das Licht der Lampe wird am Haar in den Schattenraum gebeugt. Die Beugung geschieht nur senkrecht zum Haar, deshalb sieht man den Lichtstreifen senkrecht zur Haarrichtung.

Hinter dem Haar überlagern sich die Lichtwellen die von beiden Seiten des Haares kommen und es gibt ein Interferenzmuster, ähnlich wie bei den zwei Lautsprechern.

Das Licht der Lampe besteht aber aus elektromagnetischen Wellen verschiedener Wellenlänge, was wir als verschiedene Farben wahrnehmen. Rotes Licht mit großer Wellenlänge erzeugt auch ein großes Interferenzmuster, das heißt die Maxima liegen weiter auseinander. Das gelbe Muster ist kleiner und das blaue am kleinsten. Was man sieht ist die Überlagerung aller dieser Muster. (Diese Animation von Claus Wolfseher, Katharinen-Gymnasium Ingolstadt gibt einen Eindruck davon.)

2) Typische Welleneigenschaften

Typische Welleneigenschaften, die man auch von mechanischen Wellen kennt, sind:

1. Beugung
2. Brechung und Reflektion
3. Interferenz

Isaac Newton hat Licht als einen Strom von Teilchen beschrieben und konnte damit einfach die Reflektion wie das Abspringen von Bällen an einer Wand erklären. Auch die Brechung konnte er mit einer größeren Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem Medium erklären. Die Beugung, also die Ablenkung, von Teilchen in der Nähe eines Hindernisses zu erklären hat auch Newton größere Probleme bereitet.

Vollkommen unvereinbar mit der Vorstellung von Lichtteilchen sind aber Interferenzerscheinungen. Vor allem das Zustandekommen eines Minimums ist nicht zu erklären. Denn wie sollen sich an einem Ort auftreffende Lichtteilchen gegenseitig auslöschen?

3) Beispiel-Experiment

Gegenstände oder speziell aufgebaute Experimente, bei denen man Interferenzmuster beobachten kann, sind ein guter Nachweis für den Wellencharakter von Licht:

Im Alltag: Schillernde CDs, Hologramme von Geldscheinen, [Seifenblasen, schillernde Federn von Vögeln, Perlmutt, ... (Siehe auch hier)

Im Experiment: Doppelspalt, Einzelspalt, Gitter, ...

4) Doppelspalt qualitativ

Der Doppelspaltversuch ist auch mit mechanischen Wellen durchführbar und hier erklärt.

Der Versuch mit Licht ist hier beschrieben.

5) Doppelspalt quantitativ

Ein Doppelspalt wird vom Licht einer Glühlampe beleuchtet. Die Spaltmitten haben einen Abstand von 0,1mm und der Schirm steht 90cm hinter dem Spalt. Das Foto zeigt das Interferenzmuster auf dem Schirm. Zur Entfernungsmessung dient ein Geodreieck mit einer cm-Skala

• Berechnen Sie aus dem Abstand des zweiten oder dritten Maximums vom nullten Maximum die Wellenlängen von rotem und blauem Licht und vergleichen Sie das Ergebnis mit Literaturwerten.

Die Abstände zwischen dem 2. und 0. Maximum sind ungefähr:

[math]a_{blau}=8\,\rm mm \qquad a_{rot} = 12\,\rm mm[/math]

Beim 2. Maximum beträgt der Gangunterschied der Mittelpunktstrahlen gerade zwei Wellenlängen. Die Interferenzbedingung muß man dann nur noch nach der Wellenlänge auflösen:

[math]\sin (\alpha) = \frac{\Delta s}{d} = \frac{2 \lambda}{d}\approx \frac{a}{l} [/math]

[math]\lambda = \frac{1}{2} d \frac{a}{l}[/math]

[math]\lambda_{blau} = \frac{1}{2} 0{,}1\,\rm mm \cdot \frac{8\,\rm mm}{90\,\rm cm} =\frac{1}{2} \cdot 0{,}1\,\rm mm \cdot \frac{8\,\rm mm}{900\,\rm mm} = 0{,}444\cdot 10^{-3}\,\rm mm = 444\,\rm nm[/math]

[math]\lambda_{rot} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1\,\rm mm \cdot \frac{12\,\rm mm}{90\,\rm cm} =\frac{1}{2} \cdot 0{,}1\,\rm mm \cdot \frac{12\,\rm mm}{900\,\rm mm} = 0{,}666\cdot 10^{-3}\,\rm mm = 666\,\rm nm[/math]

Die gemessenen Werte stimmen in etwa mit den Angaben auf Wikipedia überein.

6) Lichtfarben und Wellenlänge

Ein Gitter wird vom Licht einer Glühlampe beleuchtet. Hinter dem Gitter ist im Abstand von 60cm ein Schirm. (Versuchsaufbau) Hier die Ergebnisse:

• 

  Gitter mit 80 Linien pro mm

• 

  Gitter mit 300 Linien pro mm

a) Bestimmen Sie aus den Messergebnissen die Wellenlänge von violettem, blauen, grünem, gelben und rotem Licht. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit Literaturwerten.

Zur Berechnung der Wellenlängen kann man die gleiche Formel wie beim Doppelspalt heranziehen. Der Abstand der Spaltmitten d beim Doppelspalt entspricht hier ebenfalls dem Abstand der Spaltmitten, der sogenannten Gitterkonstante.

Gitter mit 80 Linien pro mm

[math]\frac{\Delta s}{d} \approx \frac{a}{l}[/math]

Der Gangunterschied beträgt beim 1. Maximum gerade eine Wellenlänge, beim zweiten Maximum zwei Wellenlängen. Um die Wellenlänge zu berechnen muss man also nach dem Gangunterschied auflösen:

[math]\Delta s = \frac{a}{l}\, d[/math]

[math] \begin{array}{rrcl} \textsf{1.Max:}& \Delta s &=& \lambda \\ \Rightarrow & \lambda &=& \frac{a_1}{l}\,d \\ & &=& \frac{a_1}{0{,6}\,\rm m}\cdot \frac{1}{80}\cdot 10^{-3}\,\rm m \\ & &=& \,a_1\cdot2{,}083\cdot 10^{-5}\,\rm m \\ \end{array} [/math]

[math] \begin{array}{rrcl} \textsf{2.Max:}& \Delta s &=& 2 \, \lambda \\ \Rightarrow & \lambda &=& \frac{1}{2}\,\frac{a_2}{l}\,d \\ & &=& \frac{1}{2}\, \frac{a_2}{0{,6}\,\rm m}\cdot \frac{1}{80}\cdot 10^{-3}\,\rm m \\ & &=& \,a_2\cdot 1{,}042\cdot 10^{-5}\,\rm m \\ \end{array} [/math]

	violett	blau	grün	gelb	rot
[math]\textsf{1.Max:}\ a_1\ \text{(in cm)}[/math]	[math]2{,}0[/math]	[math]2{,}2[/math]	[math]2{,}6[/math]	[math]2{,}8[/math]	[math]3{,}2[/math]
[math]\textsf{2.Max:}\ a_2\ \text{(in cm)}[/math]	[math]4{,}0[/math]	[math]4{,}5[/math]	[math]5{,}2[/math]	[math]5{,}6[/math]	[math]6{,}1[/math]
[math]\textsf{1.Max:}\ \lambda\ \text{(in nm)}[/math]	417	458	542	583	667
[math]\textsf{2.Max:}\ \lambda\ \text{(in nm)}[/math]	417	469	542	583	635

Obwohl man die Abweichungen vom 0. Maximum auf den Bildern nicht so genau abmessen kann, stimmen die gemessenen Werte stimmen sehr gut mit den Literaturwerten überein.

Gitter mit 300 Linien pro mm

Das Maximum erster Ordnung ist so breit, dass man für die einzelnen Farben ganze Wellenlängenbereiche angeben kann.

[math] \begin{array}{rrcl} & \Delta s &=& \lambda \\ \Rightarrow & \lambda &=& \frac{a_1}{l}\,d \\ & &=& \frac{a_1}{0{,6}\,\rm m}\cdot \frac{1}{300}\cdot 10^{-3}\,\rm m \\ & &=& \,a_1\cdot5{,}556\cdot 10^{-6}\,\rm m \\ \end{array} [/math]

	violett ab	blau ab	grün ab	gelb	rot ab	rot bis
[math] a_1\ \text{(in cm)}[/math]	[math]7{,}5[/math]	[math]8{,}5[/math]	[math]9{,}2[/math]	[math]10{,}6[/math]	[math]11{,}0[/math]	[math]12{,}5[/math]
[math]\lambda\ \text{(in nm)}[/math]	417	472	511	589	611	667

Vergleich man mit den Literaturwerten, so stellt man Abweichungen fest, die nicht nur an der Genauigkeit des Ablesens liegen können. Insbesondere stimmen die kürzeste und die längste Wellenlänge nicht mit den Literaturwerten überein. Zu Berücksichtigen ist, dass die Digitalkamera die gemessenen Farbwerte in nur drei Grundarben (rot, grün, blau) abspeichert und so den Originalfarbton nur nachahmen kann Das Ablesen am Experiment bringt bestimmt deutlich bessere Werte.

b) Warum ist das Maximum nullter Ordnung weiss und nicht bunt wie die anderen?

Je größer die Wellenlänge, desto größer ist auch das Interferenzmuster. Deshalb liegen die roten Maxima weiter außen als die blauen. Nur beim nullten Maxima gibt es keine Unterschiede zwischen den Wellenlängen, denn dort beträgt der Gangunterschied für alle Farben Null. Deshalb überlagern sich dort alle Farben und das Maxima ist weiß.

c) Zu dem Gitter mit 80 Linien pro mm:

• Warum ist das zweite Maximum breiter als das erste?
• Begründen Sie, dass das zweite Maximum doppelt so breit sein müsste wie das erste. Wie breit ist demnach das dritte?

Der Gangunterschied für das erste Maximum beträgt eine Wellenlänge, für das zweite Maximum zwei Wellenlängen. Bei violettem Licht, mit seiner kleinen Wellenlänge [math]\lambda_v[/math], reicht daher schon eine geringe Abweichung vom nullten Maximum, für rotes Licht muss die Abweichung größer sein:

1. Max:	violett:	[math] \frac{\lambda_v}{d} = \frac{a_v}{l} \qquad \Rightarrow \quad a_v = \frac{l}{d}\, \lambda_v [/math]
	rot:	[math] \frac{\lambda_r}{d} = \frac{a_r}{l} \qquad \Rightarrow \quad a_r = \frac{l}{d}\, \lambda_r \qquad \Rightarrow \quad a_r-a_v=\frac{l}{d}(\lambda_r-\lambda_v)[/math]
2. Max:	violett:	[math] \frac{2\,\lambda_v}{d} = \frac{a_v}{l} \qquad \Rightarrow \quad a_v = 2\,\frac{l}{d}\, \lambda_v [/math]
	rot:	[math] \frac{2\,\lambda_r}{d} = \frac{a_r}{l} \qquad \Rightarrow \quad a_r = 2\,\frac{l}{d}\, \lambda_r \qquad \Rightarrow \quad a_r-a_v=2\,\frac{l}{d}(\lambda_r-\lambda_v)[/math]

Das zweite Maximum ist daher doppelt so breit wie das erste. Die Breite des n-ten Maximums beträgt näherungsweise für "kleine" Winkel:

[math] a_r-a_v= n\,\frac{l}{d}(\lambda_r-\lambda_v)[/math]

7) Einzelspalt

Beleuchtet man einen schmalen Spalt mit weißem Licht, so kann man dahinter ein buntes Streifenmuster auf einem Schirm beobachten.

• Wie kommt es zu den wiederholten dunklen Stellen? Fertigen Sie eine Zeichnung zur Begründung an.

mechanisches Äquivalent: Ein Einzelspaltmuster mit Wasserwellen.

Man kann die dunklen Stellen mit dem Huygensschen Prinzip erklären:

Jede Stelle im Spalt ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle, welche sich hinter dem Spalt überlagern.

Zu den dunklen Stellen am Schirm (Minima) haben die Randstrahlen einen Gangunterschied, der ein Vielfaches der Wellenlänge beträgt. (vgl. dieses Bild)

Man kann dann alle Elementarwellen in eine gerade Anzahl von Teilbündel einteilen, die sich paarweise auslöschen, weil sie einen Gangunterschied von einer halben Wellenlänge haben.

• Wie kommt es zu den farbigen Rändern der hellen Stellen?

Sind die hellen Stellen nach Außen hin oder zur Mitte hin rot? Begründen Sie.

Das Interferenzmuster hängt von der Wellenlänge des Lichtes ab. Je größer die Wellenlänge, desto größer das Muster. Die Maxima des langwelligen roten Lichtes sind daher weiter außen als die des kurzwelligen blauen Lichtes.

Ein Einzelspalt hat eine Breite von genau einer Wellenlänge des einfallenden Lichtes.

• Unter welchem Winkel ist das Maximum nullter Ordnung zu sehen?

mechanisches Äquivalent: Die Wasserwelle hat ungefähr die Spaltbreite als Wellenlänge.

Um die Breite des nullten Maximums herauszubekommen, berechnet man den Winkel, unter dem das erste Minimum auftritt. Der Gangunterschied der Randstrahlen beträgt dann gerade:

[math]\Delta s = \lambda[/math]

Diesen Gangunterschied kann man nur bei einem sehr großen Winkel von 90° erreichen, denn der Spalt ist ja nur eine Wellenlänge breit!

[math]\sin (\alpha) = \frac{\Delta s}{b} = \frac{\lambda}{\lambda} = 1\qquad \Rightarrow \alpha = 90^ \circ[/math]

Das nullte Maximum ist also auf dem gesamten Schirm zusehen, egal wie groß dieser ist!

8) Haaresbreite

a) Bestimmen Sie mit aus den Messergebnissen des "Haarschattenversuchs" die Wellenlänge des Laserlichts.

Dicke des Haares: 0,05 mm
Abstand Haar-Wand: 1 m
Abstand Mitte des Musters - 2. dunkle Stelle: 1,8 cm

Nach dem Babinetschen Prinzip ist das Interferenzmuster des Haares das gleiche wie ein Einzelspalt der gleichen Breite. Es gilt also:

[math]\sin(\alpha) = \frac{\triangle s}{b} = \frac{a}{L} =\frac{a}{\sqrt{a^2+l^2}}\approx \frac{a}{l} [/math] [math]\triangle s[/math]: Gangunterschied der Randstrahlen [math]\triangle s = 0[/math] konstruktive Interferenz: Maximum 0-ter Ordnung [math]\triangle s = k \ \lambda + 1/2 \ \lambda [/math] konstruktive Interferenz: Maximum k-ter Ordnung (k= 1,2,...) [math]\triangle s = k \ \lambda [/math] destruktive Interferenz: Minimum k-ter Ordnung (k= 1,2,...)

Für das 2. Minimum beträgt der Gangunterschied der Randstrahlen die doppelte Wellenlänge:

[math]\triangle s = 2 \ \lambda [/math]

Der Abstand zwischen Haar und Schirm ist sehr groß im Verhältnis zum Abstand zwischen 0. Maximum und 2. Minimum. Daher gilt:

[math] \frac{a}{l} \approx \frac{\triangle s}{b} = \frac{2\ \lambda}{b} [/math]

[math]\Rightarrow \lambda = \frac{a\, b}{2 \, l} = \frac{1{,}8\,\rm cm \cdot 0{,}05\,\rm mm}{200\,\rm cm} = 0{,}45\cdot 10^{-3}\,\rm mm = 0{,}45\,\rm \mu m = 450 \,\rm nm[/math]

Das ist unrealistisch wenig, diese Wellenlänge erwartet man für blaues Licht. Vielleicht ist die Dicke des Haares nicht genau genug gemessen worden.

Falls man noch nichts vom Babinetschen Prinzip gehört hat, kann man den Versuch näherungsweise als Doppelspaltexperiment auffassen, bei dem vom rechten und linken Rand des Haars jeweils eine Lichtwelle ausgeht.

Die betrachtete Stelle [math]P[/math] ist um [math]a[/math] aus der optischen Achse verschoben und [math]L[/math] vom Doppelspalt entfernt. Der Schirm befindet sich im Abstand [math]l[/math] vom Doppelspalt.
Die Spaltmitten haben einen Abstand [math]d[/math] voneinander und [math]\Delta s[/math] ist der Gangunterschied der beiden Strahlen.

[math]\sin(\alpha) = \frac{\triangle s}{d} = \frac{a}{L} =\frac{a}{\sqrt{a^2+l^2}}\approx \frac{a}{l} \qquad \triangle s: \text{Gangunterschied zu den ''Spaltmitten''}[/math]

[math]\triangle s = k \ \lambda \qquad \qquad \text{konstruktive Interferenz: Maximum k-ter Ordnung (k= 0,1,...)}[/math]

[math]\triangle s = k \ \lambda - 1/2 \ \lambda \quad \text{destruktive Interferenz: Minimum k-ter Ordnung (k= 1,2,...)}[/math]

Wir messen folgende Größen mit Mikrometerschraube und Lineal bei dem roten Laser:

Dicke des Haares: 0,05 mm
Abstand Haar-Wand: 1 m
Abstand Mitte des Musters - 2. dunkle Stelle: 1,8 cm

Man hat an der Stelle des 2. Minimums gemessen, der Gangunterschied beträgt daher [math]\Delta s = \frac{3}{2} \lambda[/math]:

[math]\frac{\frac{3}{2} \lambda}{d} \approx \frac{a}{l}[/math]

Das kann man nun nach der Wellenlänge auflösen:

[math]\lambda= \frac{2}{3} \frac{a}{l}\, d =\frac{2}{3} \frac{1{,}8\,\rm cm}{100\,\rm cm}\cdot 0{,}05\cdot 10^{-3}\,\rm m = 6\cdot 10^{-7}\,\rm m = 600\,\rm nm[/math]

b) Mit einem Laserpointer läßt man rotes Licht der Wellenlänge 650nm auf ein Haar fallen. Die Dicke des Haares hat man vorher zu 5 Hundertstel mm gemessen. Auf der 2m entfernten Wand kann man nun eine interessante Beobachtung machen.

Zeichnen Sie das auf der Wand sichtbare Muster in Originalgröße.

9) Eine CD oder DVD

Ein Laserpointer wird auf eine CD gerichtet. Man macht folgende Beobachtung:

Zwischen den Maxima Nullter und erster Ordnung bildet sich ein Winkel von 22°.

a) Die CD mit ihren eng beieinanderliegenden Rillen stellt ein Reflektionsgitter dar. Der Abstand der Rillen entspricht der Gitterkonstante [math]d[/math]. Der Zusammenhang zwischen Winkel, Gangunterschied und Gitterkonstante beträgt:

[math]\sin(\alpha) = \frac{\Delta s}{d}[/math]

Die Gleichung kann man nach der Gitterkonstanten auflösen:

[math]d = \frac{\Delta s}{\sin(\alpha)}[/math]

Der Gangunterschied ist beim 1. Maximum gerade eine Wellenlänge:

[math]d = \frac{\lambda}{\sin(\alpha)}= \frac{630\cdot 10^{-9}\,\rm m}{\sin(22^\circ)} = 1{,}68\cdot 10^{-6}\,\rm m = [/math]

Der Rillenabstand beträgt ungefähr [math]1{,}5[/math] Tausendstel Millimeter. Das Messergebnis stimmt gut mit dem genormten Spurabstand einer CD überein. Auf einen Millimeter gibt es also eine Menge Rillen:

[math] 1\,\rm mm \,\colon 0{,}00168\,\rm mm = 595[/math]

Eine CD hat ca. 600 Rillen pro Millimeter! Und bei einer beschreibbaren Breite von ca. 30mm folgt daraus, dass die Schreibspur ca. 18000 mal um das innere Loch "gewickelt" ist.

b) Um den Winkel zum Maximum zweiter Ordnung zu bestimmen, setzt man den Gangunterschied gleich zwei Wellenlängen:

[math]\sin(\alpha_2) = \frac{\Delta s}{d} = \frac{2\, \lambda}{d} = 2\, \frac{\lambda}{d} [/math]

Der Sinus des Winkels des 2. Maximums hat also den doppelten Wert im Vergleich zum 1. Maximum:

[math]\sin(\alpha_2) = 2\, \sin(22^\circ) [/math]

Für kleine Winkel ergibt sich daraus eine Verdoppelung des Winkels, also 44°. Diese Kleinwinkelnäherung ist aber bei 22° schon recht ungenau. Mit Hilfe der inversen Sinusfunktion kann man exakt nach dem Winkel auflösen:

[math]\alpha_2 = \sin^{-1}\left( 2\, \sin(22^\circ) \right) = 58{,}5^\circ [/math]

Der Winkel, unter dem das Maximum zweiter Ordnung erscheint, beträgt schon fast 60°.

c) Eine DVD hat einen geringen Spurabstand von lediglich [math]0{,}74\,\rm \mu m = 740\,\rm nm[/math], wodurch auch eine größere Datenkapazität erreicht wird. Der Spurabstand ist so klein, dass er bereits der Wellenlänge von rotem Licht entspricht! Auf einen Millimeter kommen ca. 1350 Spuren.

Wegen der kleineren Gitterkonstante werden die Winkel der Maxima auch größer, denn der zu erreichende Gangunterschied bleibt ja gleich. Beim ersten Maximum beträgt der Gangunterschied eine Wellenlänge, also 630nm:

[math]\sin(\alpha_{\rm DVD}) = \frac{\lambda}{d_{\rm DVD}}[/math]

[math]\alpha_{\rm DVD} = \sin^{-1}\left(\frac{630\,\rm nm}{0{,}74\,\rm \mu m}\right) = 58,4^\circ[/math]

Der Winkel des ersten Maximums ist bereits so groß wie der des zweiten Maximums bei der CD. Das liegt daran, dass der Spurabstand ungefähr halbiert wurde.

Für ein zweites Maximum müsste der Gangunterschied 1260nm betragen. Weil aber die Gitterkonstante nur 740nm beträgt, kann dieser Gangunterschied nicht erreicht werden! Die DVD erzeugt daher nur das Maximum erster Ordnung.

10) Zusammenspiel von Doppel- und Einzelspalt

a) Anna hat in einen Karton einen Spalt hineingeschnitten und richtet einen grünen Laser darauf. Sie sieht das folgende Interferenzmuster und misst dazu den Intensitätsverlauf.

Bernd schneidet neben den Spalt einen zweiten mit der gleichen Breite. Das verbleibende Stück Karton zwischen den Spalten ist genauso breit wie die Spalte.

• Zeichnen Sie das neue Interferenzmuster mit dem Verlauf der relativen Intensität ein.

Das Doppelspaltmuster ist eine Kombination aus Einzelspalt- und Doppelspaltmuster. Die relative Intensität des Doppelspaltmusters kann höchstens der des einzelnen Spaltes entsprechen. (Die absolute Intensität wird im Mittel doppelt so groß sein.) Weil die Spaltbreite sich nicht verändert hat, befindet sich innerhalb des Einzelspaltmusters nun noch das Doppelspaltmuster.

Zur genaueren Berechnung kann man die Stelle, bzw. den Winkel [math]\alpha[/math] des ersten Minimums betrachten. Dazu nimmt man an, dass dort auch das n-te Maximum des Doppelspaltes liegt:

[math] \left. \begin{align} \textrm{1. Min Einzelspalt: }\quad \frac{\lambda}{b} &= \sin (\alpha) \\ \textrm{n. Max Doppelspalt: }\frac{n\, \lambda}{d} &= \sin (\alpha) \end{align} \right\} \Rightarrow \frac{\lambda}{b} = \left. \frac{n\, \lambda}{d} \quad \right| :\, \lambda [/math]

[math] \begin{align} \frac{1}{b} &= \frac{n}{d} \quad |\cdot b \\ \frac{d}{b} &= n \end{align} [/math]

Das Verhältnis von Spaltmittenabstand zu Spaltbreite bestimmt also die Anzahl der Maxima bis zum 1. Minimum des Einfachspaltes. In diesem Fall ist der Spaltmittenabstand doppelt so groß wie die Spaltbreite. Deshalb liegt das 2. Maximum des Doppelspaltes genau beim Minimum des Einfachspaltes:

[math]\frac{d}{b} =\frac{2\, b}{b} = 2 [/math]

b) Carla hat in ihren Karton auch zwei Spalte der gleichen Breite geschnitten. Mit dem gleichen Laser erhält sie folgendes Interferenzmuster.

• Wie weit sind die beiden Spaltmitten voneinander entfernt?

An der Stelle des 1. Minimums des Einzelspaltes befindet sich hier das 4. Maximum des Doppelspaltes.

[math] \begin{align} \frac{d}{b} &= n \quad |\cdot b\\ d &= n \, b \end{align} [/math]

Im Allgemeinen ist also der Spaltmittenabstand n-mal so groß wie die Spaltbreite. In diesem Fall also 4-mal so groß!

11) Ein Seidenschal

Ein roter Laserpointer, mit einer Wellenlänge von 630nm wird auf einen Schal gerichtet. Drei Meter hinter dem Schal kann man folgende Beobachtung auf mm-Papier machen.

• Erklären Sie die Beobachtung. Welche Eigenschaften des Schals können Sie daraus berechnen?

Der Schal besteht aus gekreuzten dünnen Fäden in regelmäßigen Abständen. Senkrecht zu den Fadenrichtungen wirkt er daher wie ein Gitter. Ein solches gekreuztes Gitter heißt auch "Kreuzgitter".

In beiden Richtungen entsteht daher ein typisches Interferenzmuster eines Gitters. Die horizontal verlaufenden Fäden verursachen das vertikale Muster und umgekehrt.

• Oder genauer: Bestimmen Sie die Dicke der Fäden und die Breite der Lücken in horizontaler und vertikaler Richtung.

Die Abstände zwischen den Mitten der Lücken der horizontalen Fäden werden mit [math]d_h[/math] bezeichnet, die Breite der Lücken mit [math]b_h[/math].

Die Breite der horizontalen Lücken bestimmt das Einzelspaltmuster in vertikaler Richtung. Der Abstand von der Mitte bis zum ersten Minimum beträgt: [math]a = 3{,}3\,\rm cm[/math]. Damit kann man nun die Spaltbreite [math]b_h[/math], also die Breite der Lücke zwischen der Fäden berechnen. Beim ersten Minimum beträgt der Gangunterschied der Randstrahlen gerade eine Wellenlänge:

[math] \begin{alignat}{2} \frac{\Delta s}{b_h} &\approx \frac{a_h}{l} \quad | \, \text{Kehrwert} \\ \Rightarrow\quad \frac{b_h}{\Delta s} &\approx \frac{l}{a_h} \quad | : \Delta s \\ b_h &\approx \frac{l}{a_h} \Delta s = \frac{l}{a_h} \lambda \\ & =\frac{300\,\rm cm}{3{,}3\,\rm cm} \cdot 630\,\rm nm = 57300\,\rm nm = 0{,}0573\,\rm mm \end{alignat} [/math]

Die horizontalen Lücken sind nur ca. fünf Hundertstel Millimeter breit. Das Einzelspaltmuster in horizontaler Richtung unterscheidet sich nicht wesentlich von der vertikalen Richtung. Daher sind die vertikalen Lücken genausogroß wie die horizontalen.

Aus dem Abstand der vertikalen Maxima kann man die horizontale Gitterkonstante [math]d_h[/math] berechnen. Der Abstand vom 5. Maximum bis zur Mitte beträgt ca.:[math]a_l=2{,}25\,\rm cm[/math]. Der Gangunterschied der Mittelpunktstrahlen beträgt dabei fünf Wellenlängen:

[math] \begin{alignat}{2} \frac{\Delta s}{d_h} &\approx \frac{a_h}{l} \quad | \, \text{Kehrwert} \\ \Rightarrow \quad\frac{d_h}{\Delta s} &\approx \frac{l}{a_h} \quad | : \Delta s \\ d_h &\approx \frac{l}{a_h} \Delta s = \frac{l}{a_h} 5 \lambda \\ & =\frac{300\,\rm cm}{2{,}25\,\rm cm} \cdot 5 \cdot 630\,\rm nm = 420000\,\rm nm = 0{,}42\,\rm mm \end{alignat} [/math]

Dieser Abstand ist die Summe von Fadendicke und Lücke zwischen den Fäden. Man muss daher noch die Breite einer Lücke abziehen, um die Fadendicke zu erhalten:

[math]0{,}42\,\rm mm - 0{,}0573\,\rm mm \approx 0,363 \,\rm mm[/math]

Ein horizontaler Faden ist also ca. 0,4mm dick. Wiederum unterscheidet sich das horizontale Gittermuster nicht wesentlich vom vertikalen, sodass die vertikalen Fäden die gleiche Dicke wie die horizontalen haben müssen.

12) Mehrfachspalt und Zeigeraddition

Das nebenstehende Bild zeigt das Bild eines Schirms hinter einem beleuchteten Mehrfachspalt. Der verwendete Laser hat eine Wellenlänge von 532nm und der Abstand zwischen Spalt und Schirm beträgt 1m.

• Wieviele Spalte hat der Mehrfachspalt? Begründen Sie in Worten und mit Hilfe von Zeigeraddition.
• Wie breit sind die einzelnen Spalte und wie groß ist der Mittenabstand zwischen den Spalten?