Beschreibung einer harmonischen Schwingung mit der Zeigerdarstellung
(Kursstufe > Mechanische Schwingungen)
Ausgehend von experimentellen Beobachtungen stellt man ein mathematisches Modell auf, mit dem man die Bewegung einer Schwingung beschreiben kann. Ob dieses sogenannte Zeigermodell für eine Schwingung zutrifft, kann man wiederum nur experimentell untersuchen.
Das Vorgehen ist also deduktiv, ein Modell wird im Experiment überprüft.
Alle Schwingungen, die sich mit dem Zeigermodell beschreiben lassen, heißen harmonische Schwingungen.
Inhaltsverzeichnis
Versuch: Ein Sandpendel
- Aufbau
Ein Trichter wird mit Sand gefüllt und in Schwingungen versetzt. Unter dem Trichter befindet sich eine Tapete, die dann quer zur Schwingungsrichtung unter dem Pendel weggezogen wird.
- Beobachtung
Es entsteht eine Wellenlinie. (Siehe Bild 2)
- Erklärung
Diese Wellenlinie ist gerade das Zeit-Ort Diagramm einer Schwingung, denn sie gibt an wann der Körper wo ist. Die Ortsfunktion scheint eine Sinusfunktion zu sein, an der man die Amplitude und die Periode ablesen kann.
Versuch: Projektion der Kreisbewegung
- Aufbau
Versuchsaufbau mit einem Zeunerwagen und einer Glühlampe
oder so...
Das vertikale Federpendel
und das horizontale Federpendel.
Direkt neben den schwingenden Wagen oder das schwingende Männchen wird ein Motor mit einem exzentrischen Stift befestigt.
Eine Lampe oder ein Diaprojektor wirft von beiden einen Schatten an die Wand.
Man versucht nun zu erreichen, dass der Schatten des Wagens (oder des Männchens) sich genauso wie der Schatten des sich drehenden Stiftes bewegt. Zunächst stellt man dazu die Drehgeschwindigkeit des Motors in etwa ein. Die Frequenz des Federpendels ist aber exakter regulierbar, indem man z.B. mit Knete die Masse vergrößert.
- Beobachtung
Wenn die Umlaufzeit genau mit der Periodendauer der Schwingung übereinstimmt und die Amplitude der Schwingung genausogroß ist wie der Stift von der Mitte entfernt ist und man im richtigen Moment losläßt, dann bewegen sich die Schatten ganz gleich auf der Wand hin und her.
Video von der Seite. Video der Schattenprojektion.
- Folgerung
Man kann den Ort eines harmonischen Schwingers durch die Projektion einer Kreisbewegung beschreiben!
Die Zeigerdarstellung
Ausgehend von dem Ergebnis des Projektionsversuchs, beschreibt man eine harmonische Schwingung durch einen drehenden Zeiger.
- Die Projektion des Zeigers auf die y-Achse ist die Elongation des schwingenden Körpers.
- Der Zeiger dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn.
- Die Länge des Zeigers entspricht der Amplitude der Schwingung. (Nur bei einer idealisierten ungedämpften Schwingung ohne Reibung ist also die Zeigerlänge konstant.)
Animation
Mit Hilfe dieser Animation läßt sich die Zeigerdarstellung nachvollziehen. Wer sich erstmal die Grundlagen von Sinus und Cosinus am Einheitskreis anschauen möchte, kann dies bei der Animation "Sinus und Cosinus im Einheitskreis" tun. Eine Beschreibung des Bogenmaßes gibt die Animation Bogenmaß, Gradmaß und Umdrehungsmaß im Vergleich.
Die Zeit kann man mit dem Schieberegler verändern oder die Animationsgeschwindigkeit größer als Null einstellen.
An der Spitze des Zeigers kann man seine Länge verändern. Die Drehgeschwindigkeit ω des Zeigers kann man am oberen Schieberegler einstellen.
Herleitung des Ortsgesetzes
Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz), Frequenz und Periodendauer
Die Kreisfrequenz oder Winkelgeschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit der Zeigerspitze auf dem Einheitskreis. Sie gibt an, wieviel der Winkel sich im Bogenmaß pro Sekunde ändert.
Die Frequenz gibt die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde, die Periodendauer die Zeit für eine Umdrehung an.
Betrachtet man eine ganze Umdrehung so gilt:
- [math]\omega = \frac{\rm Winkel}{\rm Zeit} = \frac{2 \pi}{T}[/math]
Was man häufig so umformt:
[math]\omega = 2\,\pi f[/math] und [math]f=\frac{1}{T}[/math]
Das Orts-Gesetz
Der Ort des Körpers ist gerade die y-Koordinate der Zeigerspitze. Hat sich der Zeiger mit der Länge [math]\hat y[/math] um den Winkel [math]\alpha[/math] gedreht, so gilt:
[math]\sin \alpha = \frac{y}{\hat y} \quad \Leftrightarrow \quad y = \hat y \sin \alpha [/math]
Der Zeiger bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit [math]\omega[/math], es gilt also [math]\alpha = \omega t[/math] und damit erhält man:
[math]y = \hat y \, \sin (\omega t)[/math]
Aus dem Ortsgesetz lassen sich alle Bewegungsgesetze einer harmonischen Schwingung ableiten und auch Aussagen zum Energiegehalt und zur Frequenz machen!
Beispiel: Federpendel
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[math]\hat y = 9\,\rm cm \qquad T=1{,}2\,\rm s \qquad f=\frac{1}{1{,}2\,\rm sec}\approx 0{,}8\,\rm Hz \qquad \omega=\left( \frac {2\pi}{1{,}2 \,\rm s} \right) \approx 5{,}2 \,\rm Hz[/math] [math]y(t)=9\,\rm cm \cdot sin( 5{,}2 \,\rm Hz \cdot t)[/math] |
