Interferenz; Überlagerung von Wellen

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(Kursstufe > Mechanische Wellen)

Welle Interferenz Tropfen klein.gif

Wenn zwei Wellen an einem Ort aufeinandertreffen, so überlagern sie sich ungestört. Dieses Phänomen nennt man Interferenz. An jeder Stelle überlagern sich zwei Schwingungen, was man durch die Addition der zwei Auslenkungen, bzw. Zeiger beschreiben kann.

Je nach Frequenz und Phasenverschiebung können sich die Schwingungen aufheben oder verstärken. Dabei ändert sich die räumliche Energieverteilung.

Beispiele

  • [1] Was passiert, wenn die Schallwellen in der Mitte aufeinandertreffen?

  • Wasserwellen durchdringen sich ungestört: Video von fallenden Tropfen

  • [2]Zur Schalldämpfung kann man einen Kopfhörer aufsetzen, indem ein "Gegenschall" gesendet wird.
    Video: "Lärm" Wenn Töne weh tun, ab 1:00

  • [3]Sonnenlicht ist eine Überlagerung aus elektromagnetischen Wellen von infrarotem Licht über das sichtbare bis zum ultravioletten.

Versuch: Zwei Wellenzüge treffen sich

Wellenmaschine gross.jpg
Aufbau

Die linke und rechte Seite der Wellenmaschine wird gleichzeitig mit der Hand kurz ausgelenkt. Es entstehen zwei kurze Wellenzüge, die aufeinander zu laufen.

a) zwei "Berge"
b) zwei "Täler"
c) links ein Berg, rechts ein Tal
Beobachtung

a) zwei "Berge"

Treffen die "Berge" aufeinander, so ensteht für kurze Zeit ein "großer Berg". Danach laufen die "Berge" wie vorher weiter.

b) zwei "Täler"

Treffen die "Täler" aufeinander, so ensteht für kurze Zeit ein "großes Tal". Danach laufen die "Täler" wie vorher weiter.

c) links ein Berg, rechts ein Tal

Trifft ein "Tal" auf einen "Berg", so scheinen die Wellenzüge für einen kurzen Moment zu verschwinden, alle Auslenkungen betragen Null. Danach läuft der "Berg" und das "Tal" wie vorher weiter.
Erklärung

Treffen sich zwei Wellenzüge, so überlagern sie sich. Das heißt, die Auslenkungen beider Wellen addieren sich.

Animation: Zwei kurze Wellenzüge treffen aufeinander

Mit den rechten Schiebereglern kann man die Breite und die Höhe der Störung der Wasseroberfläche einstellen. Mit den +/- Kästchen kann man "Berge" oder "Täler" erstellen.

Links unten kann man die Animation steuern.

Mit der Geogebra-Datei läuft die Animation flüssiger. (Zur Datei und zum Programm)

  • Was passiert, wenn ein "kleiner Berg" und ein "großer Berg" aufeinandertreffen?
  • Was passiert, wenn ein "kleiner Berg" und ein "großes Tal" aufeinandertreffen?
  • Was passiert, wenn gleich große Berge und Täler sich treffen?


Versuch: Das Quincke-Interferenzrohr

Aufbau
Das Interferenzrohr mit Lautsprecher und Hörschlauch.

Ein Lautsprecher ist an einem Frequenzgenerator angeschlossen. Der Lautsprecher wird über einen Schlauch an ein Rohr angeschlossen, dass sich teilt und dann wieder zu einem Rohr vereint. Ähnlich wie bei einer Posaune kann man die eine Seite des Rohres verlängern. Am Ende befindet sich ein Hörschlauch, an den man sein Ohr hält.

Man stellt nun verschiedene Frequenzen ein (500 Hz, 1000 Hz, 2000 Hz) und verändert die Länge des einen Rohres, während man sich den Ton am Schlauch anhört. (Es genügt eine geringe Lautstärke!)

Statt mit dem eigenen Ohr kann man alternativ auch mit einem Mikrophon "lauschen" und das Ergebnis mit einem Oszilloskop darstellen.

Beobachtung

Verlängert man ein Rohr, so verändert sich die Lautstärke des Tons rythmisch von laut zu leise und wieder laut, usw. Die Tonhöhe bleibt gleich. Sind beide Rohre gleichlang, so ist der Ton immer laut.

Je niedriger die Frequenz, desto mehr muss man das Rohr verlängern. In der Tabelle ist jeweils die gesamte Verlängerung angegeben:

laut leise laut leise laut
500Hz 0cm 34cm 68cm
1000Hz 0cm 17cm 34cm 51cm
2000Hz 0cm 8cm 17cm 25cm 34cm

Zwei-Quellen-Interferenz

Versuch: Zwei Lautsprecher

Sinusgenerator mit zwei Lautsprechern
Aufbau

Man schließt zwei Lautsprecher parallel an einen Sinusgenerator. Alternativ kann man auch mit dem Computer und angeschlossenen Lautsprechern arbeiten.

(Tondateien: 110 Hz, 220 Hz, 440 Hz, 880 Hz)[4]

Danach läuft man im Raum herum und hört sich den Ton an.

Man wiederholt den Versuch mit verschiedenen Tonhöhen und, falls möglich, mit verschiedenen Abständen zwischen den Lautsprechern.

Beobachtung

Beim Durchschreiten des Raumes hört man den Ton in unterschiedlichen Lautstärken, die einigermaßen rythmisch wechseln. Erhöht man die Frequenz (Tonhöhe), so liegen Orte mit geringer Lautstärke näher beisammen, verkleinert man den Abstand zwischen den Lautsprechern, so sind sie weiter auseinander.

Versuch: Zwei Wasserkreiswellen

Aufbau

In einer Wellenwanne werden zwei Kreiswellen mit gleicher Frequenz erzeugt.

Durch die Lichtbrechung an der unebenen Wasseroberfläche sieht man die Wellenfronten ("Berge und Täler") der Welle als helle und dunkle Streifen.

Die Wellenwanne
Detail
Beobachtung

  • Großer Quellenabstand
    [math]f=10\,\rm Hz[/math]

  • Großer Quellenabstand
    [math]f=20\,\rm Hz[/math]

  • Großer Quellenabstand
    [math]f=30\,\rm Hz[/math]

  • Großer Quellenabstand
    [math]f=40\,\rm Hz[/math]

  • Kleiner Quellenabstand
    [math]f=10\,\rm Hz[/math]

  • Kleiner Quellenabstand
    [math]f=20\,\rm Hz[/math]

  • Kleiner Quellenabstand
    [math]f=30\,\rm Hz[/math]

  • Kleiner Quellenabstand
    [math]f=40\,\rm Hz[/math]

Erklärung

Wie kann es sein, dass die "Lautstärke" des einen Lautsprechers zusammen mit der anderen "Lautstärke" an manchen Orten nicht mehr, sondern weniger wird? Schließlich müßte dort ja auch doppelt soviel Energie vorhanden sein!

Die beiden (Kugel-) Wellen überlagern sich. An jedem Punkt des Raumes summieren sich zwei Schwingungen zu einer Gesamtschwingung, was sich durch die Addition der beiden Auslenkungen (bzw. der Zeiger) beschreiben läßt.

Je nach Überlagerungssituation wächst oder sinkt die Amplitude, der Ton wird lauter oder leiser.

Treffen an einer Stelle immer zwei Berge oder zwei Täler aufeinander, so verdoppelt sich dort die Amplitude. Das nennt man konstruktive Interferenz. Die Zeiger zeigen in die gleiche Richtung, es gibt keine Phasenverschiebung.

Trifft ein Berg auf ein Tal oder ein Tal auf einen Berg, so ist die Summe der Amplitude Null. Das nennt man destruktive Interferenz. Die Zeiger zeigen in entgegengesetzte Richtungen. Die Phasenverschiebung beträgt dann [math]\Pi[/math] oder 180°.

Animationen

Animation und Kopiervorlage
  • Legt man zwei Folien mit konzentrischen Kreisen aufeinander, ergibt sich ein ähnlicher, sogenannter "Moiré-Effekt". Man kann so gut nachvollziehen wo die Stellen mit konstruktiver oder destruktiver Interferenz liegen. Bei dieser Animation kann man das auch online tun.
Die hellen Streifen, bei denen sich nur grüne mit grünen und rote mit roten Kreisen schneiden, sind Stellen mit konstruktiver Interferenz. Hier ist es laut.
Die hellen Streifen, bei denen sich immer ein roter mit einem grünen Kreis schneidet, sind die Stellen destruktiver Interferenz. Hier ist es leise.
  • Mit Hilfe dieses Applets von Walter Fendt kann man ebenso die räumliche Verteilung der konstruktiven und destruktiven Interferenzen untersuchen. Da hier sich die Wellen auch bewegen, sieht man auch die Ausbreitungsrichtung.
  • Noch besser ist diese Simulation einer Wellenwanne von Paul Falstad. Stellt man "zwei Quellen mit einer Frequenz" ein, so kann man sehr gut den räumlichen und zeitlichen Verlauf der Überlagerung erkennen.
Hier kann man auch gut die stehende Welle zwischen den Quellen beobachten. Dort befinden sich abwechselnd Stellen mit destruktiver Interferenz (sogenannte "Knoten") und konstruktiver Interferenz (sogenannte "Bäuche").
Interferenz Applet.jpg
Die stehende Welle in 2D.
und in 3D (Standbilder der Wellenwanne von Paul Falstad.)
Ähnlich ist die Simulation von Wasser-, Schall-, und Lichtwellen der University of Colorado at Boulder. Dort kann man aber auch noch Messungen vornehmen.
Animation der Zeigeraddition

Die Zeigeraddition kann man sich auch mit dieser Animation verdeutlichen. Zur Vereinfachung wird die Abnahme der Intensität von der Quelle nicht berücksichtigt. Die Länge der roten und blauen Zeiger ist immer gleich.

Die Stelle, an der man sich die Überlagerung zeigen lassen will, ist verschiebbar. (Wenn die drehenden Zeiger zu sehr nerven ist "Pause" eine gute Idee.)

  • Untersuche zunächst die Überlagerung an verschiedenen Orten. Auch zwischen den Quellen.
Wo findet man destruktive und wo konstruktive Interferenz?
Lasse dir die Maxima und Minima anzeigen.
  • Verändere nun den Abstand d der Quellen. Beschreibe die Veränderungen.
  • Verändere nun die Wellenlänge und beschreibe was passiert.

  • Auch mit diesem Applet von Peter Kraus kann man die Zeigeraddition gut verstehen. Um Zwei Quellen zu haben, muss man "Doppelspalt" einstellen.

Ergebnis

Durch die Überlagerung zweier Wellen ist die Intensität der resultierenden Welle nicht mehr gleichmäßig über die Wellenfront verteilt. An manche Orte wird mehr Energie transportiert als an andere.

An jeder Stelle im Raum überlagern sich zwei Schwingungen mit gleicher Frequenz aber unterschiedlicher Phase.

Ohne Phasendifferenz addieren sich die Zeigerlängen (Amplituden).
Bei einer Phasendifferenz von [math]\triangle \varphi=\pi \, (180^\circ)[/math] ist der resultierende grüne Zeiger am kürzesten, die Amplituden subtrahieren sich.

Zur Berechnung der Amplitude an einer Stelle kann man die beiden Zeiger addieren.

Bei der Herleitung der Wellengleichung hat man gesehen, dass die Phase eines Zeigers von der Zeit und von der Entfernung zur Quelle abhängt:

Der Phasenunterschied zwischen den Zeigern hängt nur vom Unterschied der Entfernungen zu den Quellen ab, dem Gangunterschied [math]\triangle s = s_2 - s_1[/math]:

[math]\triangle \varphi= \frac{2\pi}{\lambda}\, \triangle s \qquad \Leftrightarrow \qquad \frac{\triangle \varphi}{2\pi}= \frac{\triangle s }{\lambda}[/math]

Sind die Schwingungen in Phase, so ergibt sich der längste Zeiger (die maximale Amplitude). Man spricht von konstruktiver Interferenz:

[math]\triangle s = n \lambda \qquad \triangle \varphi = n 2 \pi \qquad (n= 0,1,2,3,...)[/math]

Den kürzesten Zeiger (die kleinste Amplitude) erhält man, wenn die beiden Zeiger in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Man spricht von destruktiver Interferenz:

[math]\triangle s = n \lambda - \lambda / 2 \qquad \triangle \varphi = n 2 \pi -\pi \qquad (n= 1,2,3,...)[/math]

Durch die Abnahme der Intensität mit der Entfernung von der Quelle verändern sich auch die Amplituden. Nur an Orten, bei denen der Gangunterschied Null beträgt sind die beiden Amplituden gleich. Oft wird dieser Effekt aber der Einfachheit halber vernachlässigt und man nimmt an, dass die Amplituden gleichgroß sind.


Links

Quincke-Interferenzrohr

Zwei Quellen

Stehende Welle

Gegenschall

Leider nur noch als Textvon der ARD: Video: Gegenschall als Lärmschutz( - W wie Wissen - ARD youtube channel)

Fußnoten

  1. ↑ Maryland GovPics http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dyskusja_przy_stole.jpg
  2. ↑ Gamer112 http://en.wikipedia.org/wiki/User:Gamer112
  3. ↑ commons: cuchulain
  4. ↑ Die Dateien wurden mit Audacity, einem freien Audioeditor und -rekorder erstellt.
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