Aufgaben zu Energiebilanzen (Lösungen)

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Ein LKW im Stadtverkehr

Ein voll beladenener 40-Tonner hält bei seiner Fahrt durch die Stadt an fünf roten Ampeln und beschleunigt jedesmal wieder auf 50 km/h.

• Nach jeder Beschleunigungsphase steckt die Energiemenge

[math]E_{kin}=\frac{1}{2}\, \rm m \ v^2 = \frac{1}{2}\, 40000\, kg \ (13{,}9\, \frac{m}{sec})^2 = 3864000\, J[/math]

in der Bewegung. Für alle fünf Ampeln benötigt er 19321000 Joule, also ca. 19 MJ (MegaJoule).

• Durch den Wirkungsgrad von 1/3 benötigt er eine Dieselmenge mit dem dreifachen Energiegehalt aller Bewegungen, also ca. 58 MJ, was 1 1/2 Litern Diesel entspricht.
• Beträgt seine Masse nur noch die Hälfte, so ist auch nur noch die Hälfte der Energie zum Beschleunigen nötig. Denn die Bewegungsenergie ist proportional zur Masse: [math]E_{kin}=\frac{1}{2}\, m \, v^2[/math]. Deshalb benötigt der LKW auch nur die Hälfte des Treibstoffs.

Beim Klettern

• Elisabeth fällt drei Meter tief bis zum Haken und dann nochmal drei Meter, bis das Seil straff ist. Dabei wandelt sich ihre Lageenergie in Bewegungsenergie um:

[math]E_{pot}= m \, g \, h = 60\,\rm kg \cdot 10\, N/kg \cdot 6\, m = 3600\, Nm = 3600\, J[/math]

Bei ihrer Tochter ist es nur die Hälfte der Energie, also 1800 Joule.

• Man kann ihre Lageenergie der Bewegungsenergie gleichsetzen:

[math]{3600\,\rm J} = \frac{1}{2}\, m \, v^2 [/math]

Daraus folgt:

[math]v = \sqrt{\frac{2 \cdot 3600\,\rm J}{60\,\rm kg}} = \approx 11\,\rm \frac{m}{sec} \approx 40\, km/h[/math]

Der gleiche Rechenweg ergibt, das ihre Tochter genauso schnell fällt! Das weiss man auch schon von der Untersuchung des freien Falls, weil Erikas Trägheit im gleichen Maße abgenommen hat wie ihre Gewichtskraft.

Man erkennt es aber auch an der Energiebilanz:

[math]E_{pot}=E_{kin}[/math]

[math]m \, g \, h = \frac{1}{2}\, m \, v^2 [/math]

Durch Division durch die Masse m kürzt sich nämlich die Masse aus der Rechnung heraus und man erhält als Geschwindigkeit nur in Abhängigkeit von der Fallhöhe:

[math]v= \sqrt{2\, g\, h}[/math].

Beim Radfahren: Unterführung oder Brücke?

• Beim Bergaufrollen wird Energie von der Bewegung auf ihre Lage umgeladen. Beim Bergabrollen umgekehrt.

Rollt Elisabeth unter der Brücke hindurch, so wird sie schneller, bis zum tiefsten Punkt des Weges. Sobald der Weg ansteigt nimmt ihre Geschwindigkeit wieder ab und nach der Unterführung ist sie wieder genausoschnell wie davor.

Rollt sie über die Brücke, so wird sie bis zum höchsten Punkt langsamer um nach der Brücke wieder ihre ursprüngliche Geschwindigkeit zu besitzen.

Im Mittel hat sie daher unter der Brücke eine größere Geschwindigkeit, weswegen sie schneller ist als oben herum!

• Elisabeths Bewegungsenergie beträgt am Anfang:

[math]E_{kin}=\frac{1}{2}\, m \, v^2 = \frac{1}{2} 90\,\rm kg \ \left(5\, \frac{m}{sec}\right)^2 = 1125\, J[/math] .

Bei einem Höhenunterschied von einem Meter erhält oder benötigt sie die Energiemenge:

[math]E_{pot}=m\, g\, h = 90\,\rm kg \cdot 10\, N/kg \cdot 1\, m = 900\, J[/math]

Unter der Brücke hat sie 2025 Joule, auf der Brücke nur 225 Joule Bewegungsenergie. Daraus ergibt sich für Ihre Geschwindigkeiten:

[math]2025 J = \frac{1}{2}\, m \, v^2 [/math]

[math]v=\sqrt{\frac{2\cdot 2025\,\rm J}{90\,\rm kg} } \approx 6{,}7\,\rm \frac{m}{sec} \approx 24 \,\frac{km}{h}[/math] und entsprechend auf der Brücke:

[math]v \approx 2{,}2\,\rm \frac{m}{sec} \approx 8\, \frac{km}{h}[/math]

• Da bei der Fahrt über die Brücke die auftetenden Geschwindigkeiten geringer sind, ist auch ihr Reibungsverlust geringer und sie benötigt insgesamt weniger Energie. Die Energiespeicherung als Lageenergie ist also effektiver als die Speicherung in der Bewegung!

Eine Federschwingung

Ein Wagen ist durch eine Feder am Tisch befestigt. Der Wagen wird ein Stück nach rechts geschoben und losgelassen.

• Der Wagen wird von der Feder nach links gedrückt bis die Feder entspannt ist. Dann bewegt sich der Wagen aufgrund seiner Trägheit weiter und die Feder zieht an ihm, bis der Wagen stehen bleibt. Danach beschleunigt die Feder den Wagen wieder nach rechts.

Der Wagen schwingt also hin und her!

• Die Energie ist abwechselnd in der zusammengedrückten oder auseinandergezogenen Feder (Spannenergie) und in dem sich bewegenden Wagen (Bewegungsenergie).

• Zur genaueren Beschreibung hat man die Federkonstante zu 0,5 N/cm und die Masse des Wagens zu 100 Gramm bestimmt. Der Wagen wird aus der Position mit entspannter Feder um 2 cm nach rechts ausgelenkt und losgelassen.

Zur Berechnung der Spannenergie in der Feder beträgt muss man Federkonstante und Verkürzung in Standardeinheiten umrechnen:

[math]E_{Sp}=\frac{1}{2}\, D \, s^2 = \frac{1}{2}\, 50 \,\rm \frac{N}{m} \, (0{,}05 \,\rm m)^2 = 0{,}0625 \,\rm Nm = 0{,}0625 \, J[/math]

Setzt man dies der Bewegungsenergie gleich, folgt für die Geschwindigkeit:

[math]\frac{1}{2}\, m \, v^2 = \frac{1}{2}\, 0{,}1 \,\rm kg \, v^2 = 0{,}0625 \, J[/math]

[math]v= \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}0625 \,\rm J}{0{,}1 \,\rm kg}} \approx 1{,}1 \,\rm \frac{m}{sec} = 4\, \frac{km}{h}[/math]

• Wenn sich die träge Masse des Wagens vervierfacht, so muss das Quadrat der Geschwindigkeit nur noch ein Viertel betragen, die Geschwindigkeit also nur noch die Hälfte: [math]v= 2\,\rm \frac{km}{h}[/math].

Drückt man stattdessen die Feder doppeltsoviel zusammen, so vervierfacht sich die Energiemenge:

[math]E_{Sp}=\frac{1}{2}\, D \, (2s)^2= 4\cdot \frac{1}{2}\, D \, s^2 [/math]

Deshalb wird der Wagen auch doppelt so schnell:

[math]E_{kin}=\frac{1}{2}\, m \, (2v)^2 = 4\cdot \frac{1}{2}\, m \, v^2 [/math]

[math]v= 8 \,\rm \frac{km}{h}[/math]