Aufgaben zu Kreisbewegungen (Lösungen)

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"Drehgeschwindigkeiten"

Karussell fahren

Spielplatzkarussell

• Alle Kinder sind in dem Sinne "gleichschnell", dass ihre Frequenz, Umlaufdauer und Winkelgeschwindigkeit gleichgroß sind.

Ihre Bahngeschwindigkeiten sind aber unterschiedlich: Je weiter Außen, desto schneller.

Die Winkelgeschwindigkeit entspricht genau der Bahngeschwindigkeit bei einem Meter Radius! Sie ist eine "normierte Bahngeschwindigkeit".

Die Frequenz beträgt eine halbe Umdrehung pro Sekunde:

$$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2 \,\rm sec}= 0,5 \, \frac{1}{\rm sec}=0{,}5 \,\rm Hz$$

Die Winkelgeschwindigkeit ist gerade $$\pi$$ pro Sekunde:

$$\omega = 2\pi f = \frac{2 \pi}{T} = 2\pi \cdot 0{,}5 \frac{1}{\rm sec} = \pi \frac{1}{\rm sec}\approx 3 \frac{1}{\rm sec}$$

Die Bahngeschwindigkeiten nehmen mit jedem 1/2 Meter um 1,5 m/sec zu:

Lea: $$v=\omega \, r = 3,14 \frac{1}{\rm sec}\cdot 0{,}\,\rm 5\, m \approx 1,5\frac{\rm m}{\rm sec}$$

Martin: $$v=\omega \, r = 3{,}14 \frac{1}{\rm sec}\cdot 1\,\rm m \approx 3 \frac{\rm m}{\rm sec}$$

Karin: $$v=\omega \, r = 3{,}14\frac{1}{\rm sec}\cdot 1{,}5\,\rm m \approx 4,5 \frac{\rm m}{\rm sec}$$

Impuls, Kraft und Energie

Karussell fahren II

• Das Verhalten des Balles läßt sich mit dem Trägheitsgsetz erklären: Der Ball behält nach dem Loslassen seinen Impuls bei, weil ihn keine Kraft mehr auf der Kreisbahn hält. Er fliegt tangential zur Bahnkurve weiter. Karin muss also eine 1/4 Umdrehung vorher loslassen!

• Beide Sichtweisen sind richtig und zeigen, dass in verschiedenen Bezugssystemen bei der gleichen Bewegung unterschiedliche Kräfte wirken können.

Aus Sicht der Mutter ändert Karins Impuls ständig die Richtung. Die Richtungsänderung erreicht Karin durch das Ziehen nach Innen ("Zentripetalkraft").

Aus der Sicht von Karin ändert sich ihr Impuls nicht, sie verharrt auf der gleichen Stelle des Karussells.

Die Summe der auf sie wirkenden Kräfte ist daher Null! Die sie nach Außen ziehende Trägheitskraft ("Zentrifugalkraft") gleicht sie durch das Ziehen nach Innen aus.

• Je größer die Masse der Kinder, desto stärker müssen sie sich festhalten. Ich nehme für alle drei Kinder an, sie hätten eine Masse von 30 kg.

Für die Stärke der Zentripetal- und Zentrifugalkraft gilt:

$$F_Z=\frac{m\,v^2}{r}=m\, \omega^2 \, r$$ Für diesen Fall mit gleicher Winkelgeschwindigkeit ist die zweite Formel praktischer:

Lea: $$F_Z= 30\,\rm kg \cdot (3,14 \frac{1}{sec})^2 \cdot 0,5 \, m = 150 \, N$$

Martin: $$F_Z= 30\,\rm kg \cdot (3{,}14 \frac{1}{sec})^2 \cdot 1 \, m = 300 \, N$$

Karin: $$F_Z= 30\,\rm kg \cdot (3{,}14 \frac{1}{sec})^2 \cdot 1{,}5 \, m = 450 \, N$$

Bei Martin wirkt also eine Beschleunigung, die gerade der Erdbeschleunigung entspricht. Er muss genauso stark ziehen, als ob er sich einer einer Reckstange hochziehen würde.

Karin muss sogar mit ihrer 1,5 fachen Gewichtskraft ziehen!