Lösungen
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Lösung zu:
1.3 Aufgabe 1: (9.5;10.5;5,5) Aufgabe 2: L = { }
2.1 Aufgabe 1: - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Oder wenn gilt: f(-x)= f(x) z.B. f(-2)= f(2) - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. oder wenn gilt: f(-x)= -f(x) z.B. f(-3)= -f(3) 2.1 Aufgabe 2: [math]P_1[/math](0|0) ist Sattelpunkt [math]\rightarrow[/math] 3-fache Nullstelle [math]P_x[/math](3|0) ist einfache Nullstelle [math]\rightarrow[/math] Ansatz: f(x)= [math]a_4[/math] [math]x^3[/math](x-3) P2(2|-2): f(2)= -2 [math]\leftrightarrow[/math] [math]a_4[/math] * [math]2^3[/math](2-3)= -2 [math]\leftrightarrow[/math] [math]-8a_4[/math] = -2 [math]\leftrightarrow[/math] [math]a_4[/math] = [math]\frac{1}{4}[/math] Funktionsgleichung: f(x)= [math]\frac{1}{4}[/math][math]x^3[/math](x-3) = [math]\frac{1}{4}[/math][math]x^4[/math] - [math]\frac{3}{4}[/math][math]x^3[/math] 2.1 Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=[math]x^4[/math] Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: f1(x)=[math](x-3)^4[/math] Streckung um den Faktor 2: g(x)=[math]2(x-3)^4[/math] Neue Funktionsgleichung: g(x)=[math]2x^4[/math] - [math]24x^3[/math] + [math]108x^2[/math] - 216x + 162 b) Achsensymmetrie: g(-x)= g(x) g(x) = [math]2x^4[/math] - [math]24x^3[/math] + [math]108x^2[/math] - 216x + 162 g(-x)= [math]2(-x)^4[/math] - [math]24(-x)^3[/math] + [math]108(-x)^2[/math] -216(-x) + 162 = [math]2x^4[/math] + [math]24x^3[/math] + [math]108x^2[/math] + 216x + 162 [math]\rightarrow[/math] g(-x) ≠ g(x) [math]\rightarrow[/math] Der Graph ist nicht achsensymmetrisch. Punktsymmetrie: g(-x) = -g(x) (g(-x) siehe oben) -g(x)= [math]-2x^4[/math] + [math]24x^3[/math] - [math]108x^2[/math] + 216x - 162 [math]\rightarrow[/math] g(-x) ≠ -g(x) [math]\rightarrow[/math] Der Graph ist nicht punktsymmetrisch
2.2 Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen 2.2 Aufgabe 2: f(x)= [math]\frac{1}{2}[/math][math]x^3[/math] [math]- 3x^2[/math] [math]\rightarrow[/math] keine Symmetrie! f(x)=0 [math]\leftrightarrow[/math] [math]x^2[/math] ( [math]\frac{1}{2}[/math]x - 3) = 0 [math]\rightarrow[/math] [math]x_{1/2}[/math] = 0 [math]x_3[/math] = 6 2.2 Aufgabe 3: f(x)= [math]4x^3[/math] + [math]12x^2[/math] f´(x)= [math]12x^2[/math] + 24x f´´(x)= 24x + 24 f´´´(x)= 24 f´(x) = 0 24x + 24 = 0 x = -1 f´´´(x) ≠ 0 f´´´(-1)= 24 An der Stelle -1 liegt eine Wendestelle vor!
2.3 Aufgabe 1: • f´(x)= [math]8 e^{2x}[/math] , f´´(x)= [math]16 e^{2x}[/math] , f´´´(x)= [math]32 e^{2x}[/math] • f´(x)= [math]e^{x+4}[/math] , f´´(x)= [math]e^{x+4}[/math] , f´´´(x)= [math]e^{x+4}[/math] • f´(x)= [math](x+3)e^x[/math] , f´´(x)= [math](x+4)e^x[/math] , f´´´(x)= [math](x+5)e^x[/math]