Quelltext der Seite Animation: Schnitt von Geraden; Flugzeug-Aufgabe (Lösungen)

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Verwende die Animation, um die Antworten abzulesen:
=====1.=====
=====2. An welchem Punkt kreuzen sich die Flugbahnen?=====
Sie kreuzen sich im Punkt <math>S(12|6)</math>.
=====3. Um wieviel Uhr ist das blaue und um wieviel Uhr das rote Flugzeug am Schnittpunkt der Flugbahnen?=====
Das blaue Flugzeug ist um 12:03 Uhr am Schnittpunkt, das rote schon eine Minute früher, um 12:02 Uhr.
=====4. Um wieviel Uhr sind sich die Flugzeuge am nächsten? (Ersetze dazu das Flugzeug durch den markierten Punkt!)=====
Um ca. 12:02 Uhr und 20 Sekunden sind sie sich am nächsten.
=====5. Wie nahe kommen sich die Flugzeuge?=====
Der geringste Abstand beträgt ca. 1,66km.
=====6. Um wieviel Uhr sind beide Flugzeuge gleich hoch? Wie hoch sind sie dann?=====
Um ca. 12:04 Uhr sind beide Flugzeuge 8km hoch.

=====Stelle nun je eine Geradengleichung mit dem Parameter t für die Bewegung der Flugzeuge auf und berechne damit die Antworten:=====
*Für das blaue Flugzeug:
:Zu Beginn der Zeitmessung (<math>t=0</math>) befindet sich das blaue Flugzeug im Punkt <math>\rm A(0|0)</math>, eine Minute später (<math>t=1</math>)  im Punkt <math>\rm B(4|2)</math>.
:Deshalb muss man den Vektor <math>\vec a = \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}</math> als Stützvektor wählen und den Vektor <math>\vec {\rm AB} = \vec b - \vec a = \begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix}</math> als Richtungsvektor:
::<math>g_{blau}: \quad \vec x = t \begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix}</math>
*Für das rote Flugzeug:
:Zu Beginn der Zeitmessung ( <math>t=0</math>) befindet sich das rote Flugzeug im Punkt <math>\rm C(28|4)</math>, eine Minute später (<math>t=1</math>) im Punkt <math>\rm D(20|5)</math>.
:Deshalb muss man den Vektor <math>\rm \vec c = \begin{pmatrix} 28 \\4 \end{pmatrix}</math> als Stützvektor wählen und den Vektor <math>\vec {\rm CD} = \vec d - \vec c = \begin{pmatrix} -8 \\1 \end{pmatrix}</math> als Richtungsvektor:
::<math>g_{rot}: \quad \vec x = \begin{pmatrix} 28 \\4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -8 \\1 \end{pmatrix}</math>



=====1. Berechne die Geschwindigkeit der beiden Flugzeuge zunächst in km pro Minute und dann in km pro Stunde.=====

:*Das blaue Flugzeug ist um 12:00 Uhr am Koordinatenursprung <math>\rm A(0|0)</math>, eine Minute später ist es am Punkt <math>\rm B(4|2)</math>. Die Strecke <math>\rm AB</math> hat eine Länge von:
:::<math>\rm { \left| \vec{AB}\right| = \left| \vec b - \vec a \right| =  \left| \begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{4^2 +2^2} =\sqrt{20} \approx 4{,47}\, (km) }</math>
::Das blaue Flugzeug hat also eine Geschwindigkeit von <math>4{,}47\,\rm \frac{km}{min}</math>. In einer Stunde fliegt es 60-mal soweit, also beträgt die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde:
:::<math>v_{blau}= 60 \cdot 4{,}47 \,\rm \frac{km}{h} \approx 286\,\rm \frac{km}{h}</math>.

:*Für das rote Flugzeug ergibt sich entsprechend:
:::<math>\rm { \left| \vec{CD}\right| = \left| \vec d - \vec c \right| =  \left| \begin{pmatrix} -8 \\1 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-8)^2 +1^2} =\sqrt{65} \approx 8{,06}\, (km) }</math>
::Das rote Flugzeug hat also eine Geschwindigkeit von <math>8{,}06\,\rm \frac{km}{min}</math> oder, in Kilometer pro Stunde:
:::<math>v_{blau}= 60 \cdot 8{,}06 \,\rm \frac{km}{h} \approx 484\,\rm \frac{km}{h}</math>.

=====2. An welchem Punkt kreuzen sich die Flugbahnen?=====
=====3. Um wieviel Uhr ist das blaue und um wieviel Uhr das rote Flugzeug am Schnittpunkt der Flugbahnen?=====
Um den Schnittpunkt der Flugbahnen zu berechnen, setzt man die Geradengleichungen gleich:

:<math>
\begin{array}{rcl}
\vec x_{blau} &=& \vec x_{rot} \\
t \begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 28 \\4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -8 \\1 \end{pmatrix} \\
\end{array}
</math>
Wenn man diese Gleichung löst, so stellt man fest, dass es keine Lösung für t gibt! Das ist auch nicht verwunderlich, denn zu allen Zeiten t sind die beiden Flugzeuge nicht am gleichen Ort, sie kollidieren nicht.

Deshalb muss man zur Berechnung des Schnittpunktes zwei verschiedene Parameter <math>t_b</math> und <math>t_b</math> wählen. Beide Flugzeuge sind ja zu verschiedenen Zeiten am Schnittpunkt!

:<math>
\begin{array}{rcl}
t_b \begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 28 \\4 \end{pmatrix} + t_r \begin{pmatrix} -8 \\1 \end{pmatrix} \\
\end{array}
</math>
Die Gleichung bringt man nun in Standardform und schreibt sie in Koordinaten auf. Man erhält ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten:

:<math>
\begin{array}{rcl}
t_b \begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix} - t_r \begin{pmatrix} -8 \\1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 28 \\4 \end{pmatrix} \\
\end{array}
</math>

:<math>
\begin{array}{rrrcll}
\rm (I) & 4\,t_b & +8\,t_r  &=& 28 \\
\rm (II) & 2\,t_b& -t_r     &=& 4 &  \\
\end{array}
</math>

:<math>
\begin{array}{rrrcll}
\rm (I') & 4\,t_b & +8\,t_r  &=& 28 \\
\rm (II') &       &  10\,t_r &=& 20 & (\rm{I - 2\, II})  \\
\end{array}
</math>

Aus <math>\rm (II')</math> folgt <math>t_r = 2</math>. Dies in <math>\rm (I)</math> einsetzen:
:<math>
\begin{array}{rcl}
4\,t_b +8\cdot 2  &=& 28 & | \quad -16\\
4\,t_b            &=& 12 &|\quad :4\\
t_b            &=& 3\\
\end{array}
</math>

Das rote Flugzeug ist also um 12:02 Uhr am Schnittpunkt der Flugbahnen, das blaue erst eine Minute später, um 12:03 Uhr.

Den Schnittpunkt erhält man durch einsetzen von <math>t_r</math> oder <math>t_r</math> in die jeweilige Geradengleichung:

:<math>
\begin{array}{rclcl}
\vec x_{rot} &=&  \begin{pmatrix} 28 \\4 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -8 \\ 1\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 12 \\16 \end{pmatrix} \\
\vec x_{blau} &=&  3 \begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 12 \\16 \end{pmatrix}  \\
\end{array}
</math>

=====4. Siehe unten=====
=====5. Siehe unten=====
=====6. Um wieviel Uhr sind beide Flugzeuge gleich hoch? Wie hoch sind sie dann?=====
Gleiche Höhe bedeutet gleiche <math>x_2-</math>Koordinate. Man setzt daher die <math>x_2-</math>Koordinaten aus den Geradengleichungen gleich. Dabei verwendet man ''nur einen'' Parameter, die gemeinsame Zeit, denn die Flugzeuge sollen ja gleichzeitig auf der selben Höhe sein!

:<math>
\begin{array}{rcll}
\rm Höhe_{blau} &=& \rm Höhe_{rot} \\
(*) \quad 2 t &=& 4 + t & |\quad -t\\
t &=& 4\\
\end{array}
</math>

Beide Flugzeuge sind um 12:04 auf der gleichen Höhe. Setzt man <math>t</math> in <math>(*)</math> ein, so erhält man die Höhe:

:<math>
\begin{array}{rcll}
2 \cdot 4 &=& 4 + 4\\
8 &=& 8\\
\end{array}
</math>

Beide Flugzeuge sind 8km hoch.



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=====7. Berechne um wieviel Uhr die Flugzeuge den geringsten Abstand haben und wie weit sie dann voneinander entfernt sind.=====
:(Hinweis: Berechne den Abstand d(t) in Abhängigkeit von der Zeit t. Finde mit dem GTR den Tiefpunkt des Funktionsgraphen.)

Der Abstand <math>d</math> zwischen den Flugzeugen ist die Länge der Verbindungslinie, also der Strecke <math>X_{blau} X_{rot}</math>:

:<math>d = \left| \rm{X_{blau} X_{rot}} \right| = \left| \vec{x_{rot}} - \vec{x_{blau}} \right| </math>
Die Geradengleichungen geben den Ort der Flugzeuge an, und man kann sie einsetzen:
:<math>d = \left| \begin{pmatrix} 28-8\,t  \\ 4+\,t \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4\,t \\ 2\,t \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 28-8\,t -4\,t \\ 4+\,t-2\,t \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 28-12\,t \\ 4-\,t \end{pmatrix}\right| </math>
Mit dem Satz des Pythagoras berechnet man den Betrag:
:<math>d(t) = \sqrt{(28-12\,t)^2+(4-\,t)^2} </math>
Die Quadrate unter der Wurzel könnte man noch ausrechnen und dann zusammenfassen, dabei verrechnet man sich jedoch häufig und es ist nicht notwendig. Es sei denn, man hat einen Algebra-fähigen Taschenrechner oder man verwendet [http://www.wolframalpha.com/ Wolfram Alpha], dann erhält man:
:<math>d(t) = \sqrt{800 -680\,t +145\,t^2} </math>

Um den minimalen Abstand zu finden, kann man nun mit einem Taschenrechner das Minimum der Funktion <math>d(t)</math> finden:
[[Datei:Flugzeugaufgabe Minimum Abstandsfunktion.png|610px]]

Für die Zeit <math>t=2{,}3448</math> ist der Abstand mit <math>1{,}6609\,\rm km</math> am geringsten. Die Zeit in Minuten kann man noch in Minuten und Sekunden umrechnen, den Abstand auf Meter runden:

Die Flugzeuge haben um 12 Uhr 2 Minuten und 21 Sekunden mit 1661 Metern den geringsten Abstand.