Quelltext der Seite Mathematische Beschreibung von Schwingungen

==Beschreiben der Bewegung einer harmonischen Schwingung==
*Idealisierung:
**Reibungsfrei
**lineare Rückstellkraft

===Versuch: Ein Sandpendel===
[[Bild:Versuchsaufbau_Sandpendel.jpg|thumb|100px|Versuchsaufbau des Sandpendels(1)]]
[[Bild:Versuchsergebnis_Sandpendel.jpg|thumb|100px|Versuchsergebnis des Sandpendels(2)]]
====Aufbau:====

Siehe Bild 1

====Beobachtung:====

Es entsteht eine Wellenlinie. (Siehe Bild 2)

====Erklärung====
Diese Wellenlinie ist gerade das Zeit-Ort Diagramm einer Schwingung, denn sie gibt an wann der Körper wo ist. Die Ortsfunktion scheint eine Sinusfunktion zu sein, an der man die Amplitude und die Periode ablesen kann.

===Versuch: Projektion der Kreisbewegung===
====Aufbau:====
[[Bild:Versuchsaufbau_Projektion_der_Kreisbewegung.jpg|thumb|right|Versuchsaufbau Projektion der Kreisbewegung(3)]]
Siehe Bild 3

====Beobachtung:====
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====Erklärung====
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===Zu 108.2===

<math>\omega</math>: Winkelgeschwindigkeit
<math>f</math>: Umläufe pro Zeit

z.B.: 
:<math>f = 2Hz</math>
:<math>w = 2*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)= 4*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)</math>

:'''<math>\Rightarrow \omega=2*\pi*f</math>'''  und weil <math>f=\left( \frac{1}{T} \right)</math>

:'''<math>\omega=\left( \frac{2*\pi}{T} \right)</math>'''

===Zu 108.3===

:<math>\phi_0</math> = Phasenverschiebung
:<math>\phi_0</math> = 0° = Schwingung in Phase
:<math>\phi_0</math> =<math>\pi*(180°)</math> = gegenphasig

===Berechnung des Geschwindigkeitsgesetzes===


'''<math>v=\dot s</math>'''      
<math>v(t)=[\hat y*sin(\omega*t)]</math> <math>\rightarrow</math> Ableitung = <math>v=\^y*cos(\omega*t)*\omega</math>

:Anmerkung: Elongation ist nicht von der Zeit abhängig, daher wird hier nicht abgeleitet;
:Wiederholung: [f(g(t))]= f'(g(t))*g'(t)

<math>\Rightarrow</math> 
<math>v(t) = \hat y*\omega*cos(\omega*t)</math>

<math>v(t) = \hat v*cos(\omega*t)</math>

<math>\hat v</math> ist die maximale Geschwindigkeit

===Berechnung des Beschleunigungsgesetzes===

Beschleunigung = <math>a=\dot v = [\hat y*\omega*cos(\omega*t)]=  \hat y*\omega*(-sin(\omega*t)*\omega</math>

<math>\Rightarrow a(t)=-\hat y*\omega^2*sin(\omega*t)</math>

'''Beispiel: Federpendel'''

[[Bild:Federpendel_paint.JPG|thumb|Federpendel]]

:Für 10 Schwingungen: 12s
:Amplitude: 9cm

:<math>T=1{,}2</math>
:<math>\omega=\left( \frac {2*\pi}{1{,}2} \right)</math>


<math>s(t)=9cm*sin(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t</math>

<math>v(t)=9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*cos(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t)</math>

<math>\hat v = 9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)= 47\frac{cm}{s}</math>

==Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung==
*Man betrachtet eine vereinfachte Situation: Ein Körper wird als punktförmige Masse idealisiert, die an einer masselosen, hookschen Feder befestigt ist.
*Die äußere Situation wird durch den Zusammenhang von Ort und Kraft gegeben. (Wo wirkt welche Kraft?)
:Bei einer hookschen Feder ist die Kraft proportional zur Ausenkung. Die Proportionalitätskonstante ist die Federhärte D. Für die Rückstellkraft gilt also: <math>F=-Dy</math>
*Wir suchen nun Bewegungen des Körpers in der Zeit, also den Zeit-Ort-Zusammenhänge y(t), die in diesem Kraftverlauf möglich sind.
*Die Lösung liefert uns das Newtonsche Axiom <math>F=\dot p = m a = m \ddot y</math>. Es beschreibt nämlich den Zusammenhang zwischen Kraftverlauf und zeitlichen Ablauf der Bewegung!
:Setzt man für die Kraft für die konkrete Situation ein, so ergibt sich:

:<math>-D \quad y = m \ddot y</math>

 <math>\Rightarrow \qquad \ddot y= -\frac{D}{m} \quad y </math>  Differentialgleichung (DGL) der harmonischen Schwingung


Wir suchen also Zeit-Orts-Gesetze, deren zweite zeitliche Ableitung ein Vielfaches von sich selbst sind!!

*Durch systematisches Probieren findet man Lösungen dieser DGL:
:Schwingungen mit einer beliebigen Amplitude
:<math>y(t)=\hat y sin(\omega t)</math>
:Schwingungen mit einer zusätzlichen Phasenverschiebung:
:<math>y(t)=\hat y sin(\omega t + \varphi_0)</math>
:Der Stillstand ist auch eine Lösung!
:<math>y(t) = 0</math>

==Untersuchung dreier Schwingungen==
*Ziel der Untersuchung ist es, das -Zeit-Orts-Gesetz <math>y(t)</math> und damit auch die Frequenz der Schwingung aus der äußeren Situation, wie z.B. die Masse eines Körpers herzuleiten. 

:Dazu ist es sinnvoll jeweils die DGL aufzustellen. Zunächst muss man ein Koordinatensystem wählen und den Ort-Kraft-Verlauf bestimmen. Vor allem beim Fadenpendel hilft auch ein Blick in ein Buch oder ins Internet weiter.

:Als Ergebnis sollen Sie sowohl eine allgemeine Formel erstellen, sowie eine konkrete Rechnung mit den gemessenen Größen durchführen.

*Welche Schlussfolgerung können Sie aus der allgemeinen Lösung ziehen? (Z.B. Abhängigkeit von der Masse, etc.)

*Vergleichen Sie dann die errechnete Frequenz mit der gemessenen und führen Sie eine Fehlerrechnung durch.

===Das Fadenpendel===

===Schwingendes Wasser im U-Rohr===

===Federpendel im Gravitationsfeld===