Quelltext der Seite Praktikum: Untersuchung von Schwingungen mit der Differentialgleichung

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* Ziel der Untersuchung ist es, das -Zeit-Orts-Gesetz <math> y(t)</math> und damit auch die Frequenz der Schwingung aus der äußeren Situation, wie z.B. die Masse eines Körpers herzuleiten. 

* Überlegen Sie sich zuerst, wovon die Frequenz der Schwingung abhängen könnte. Schreiben Sie auf, welche Veränderung Sie erwarten und warum: Z.B. "Bei größerer Masse wird die Frequenz kleiner, wegen der größeren Trägheit."
:Überlegen Sie sich außerdem, ob die Schwingung harmonisch ist, oder nicht.

* Danach ist es sinnvoll die Differentialgleichung aufzustellen. 
:Zunächst muss man ein Koordinatensystem wählen, also eine Methode angeben mit der man die Position des Gegenstands beschreiben kann. Danach muss man den Zusammenhang zwischen Auslenkung und Rückstellkraft <math>F(y)</math> bestimmen. Die DGL ergibt sich dann immer als <math>m\, \ddot y = F(y)</math>.
:Vor allem beim Fadenpendel hilft auch ein Blick in ein Buch oder ins Internet weiter. 
:Jetzt können Sie auch beurteilen, ob die Schwingung wirklich harmonisch ist!

* Danach sollen sie Lösungen <math>y(t)</math> der DGL und eine Formel für die Frequenz <math>f</math> oder die Kreisfrequenz <math>\omega</math> angeben. 
:Im Fall einer harmonischen Schwingung kann man die Lösungen wie im [[Beschreibung einer harmonischen Schwingung mit einer Differentialgleichung|Fall des schwingenden Wagens]] finden. Die DGL hat dann die Form <math>\ddot y = - k \, y</math> mit einer positiven Konstante <math>k</math>. 
:Bei einer nichtharmonischen Schwingung mit nichtlinearem Kraftverlauf hat man leider verloren, denn solche DGL sind schwer oder garnicht lösbar. Es gibt aber einen Ausweg: Man nimmt den linearen Kraftverlauf, der die Situation am besten annähert:
:Zeichnen Sie den Graphen von <math>F(y)</math>. Zeichnen Sie die Tangente in <math>y=0</math> ein und bestimmen Sie die Tangentengleichung. Die Gleichung der Tangente ist eine gute Näherung des nichtlinearen Kraftgesetzes für kleine Auslenkungen.
:Mit dieser harmonischen Näherung können Sie weiterrechnen :)

* Welche Schlussfolgerung können Sie aus der allgemeinen Lösung ziehen? Genauer: Wovon hängt die Frequenz der Schwingung ab? (Z.B. proportional zur Masse und zur Amplitude, etc.) 

* Ausserdem können Sie nun ihre Rechnungen durch eine Messung überprüfen. Messen Sie die zur Berechnung der Frequenz nötigen Werte, führen sie eine [[Messunsicherheit_und_Fehlerrechnung|Fehlerrechnung]] durch und vergleichen Sie die gemessene mit der berechneten Frequenz. 
:(Um eine Fehlerrechnung durchführen zu können, müssen Sie alle Messwerte mindestens 10 mal messen. um eine statistische Streung zu haben.)


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|[[Bild:Versuchsaufbau_Schwingendes_Wasser_im_U-Rohr.jpg|thumb|150px|none|Versuchsaufbau: Schwingendes Wasser im U-Rohr]]
|[[Bild:Wassersäule_U-Rohr_schematisch.jpg|thumb|none|Der schematische Versuchsaufbau]]
|[[Bild:Fadenpendel_mit_Kraftvektoren.jpg|framed|none|Fadenpendel mit wirkenden Kräften]]
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|[[Bild:Versuchsaufbau_Federpendel.jpg|thumb|none|150px|Versuchsaufbau Federpendel im Gravitationsfeld]]
|[[Bild:Schwingungen_y_F_Zusammenhang_verschobener_Nullpunkt.png|framed|none|Der Kraftverlauf bei verschiedenen Koordinatensystemen]]
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