Quelltext der Seite Aufgaben zur Impulsveränderung durch Kraft (Lösungen)

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==Grundlagen==
====2. Newtonsches Gesetz====
*Wie lautet das 2. Newtonsche Gesetz?
:Je fester an einem Gegenstand gedrückt (gezogen) wird und je länger das geschieht, desto mehr ändert sich seine Impulsmenge.
::<math>\Delta p = F\, \Delta t </math>
:Die Kraft ist die Änderung des Impulses pro Zeit.
::<math>F=\frac{\Delta p}{\Delta t}</math>
*Erläutere es auch an einem selbstgewählten Beispiel.
:Ich stehe auf einem Skateboard und drücke mich eine halbe Sekunde von der Straße mit einer Kraft von 100 Newton ab. Dabei vergrößert sich mein Impuls um 50 Huygens:
::<math>\Delta p = F\, \Delta t = 100\,\rm N \cdot 0{,}5\,\rm s = 50\,\rm Hy</math> 
:Dann lasse ich den Fuß am Boden schleifen und bremse dadurch. Mein Impuls nimmt innerhalb von 5 Sekunden um 20 Huygens ab. Die Bremskraft betrug daher gerade 4 Newton. 
::<math>F=\frac{\Delta p}{\Delta t}= \mathrm{\frac{20\,Hy}{5\,s} = 4\,N}</math>

====Das Wasserbehältermodell I====
{|
|
{|class="wikitable"
! Bewegung 
! Behältermodell 
|-
|| Impulsmenge  || Wassermenge
|-
|| Masse  || Grundfläche 
|-
|| Geschwindigkeit  || Wasserhöhe 
|-
|| Kraft || Zuflussrate 
|-
|| Reibungskraft  || Abflussrate 
|}
|
<gallery widths=300px heights=200px  perrow=2>
 Bild:Bewegung Wassermodell Skaterin.png|
 Bild:Bewegung_Wassermodell_Skaterin_Behälter.png|
</gallery>
|}

====Einheitenpuzzle und Sprachwirrwarr====
In der jeweils linken Spalte stehen die richtigen Aussagen!

{|class="wikitable"
||Der Impuls gibt die Bewegungsmenge an. || Der Impuls bestimmt die Kraft der Bewegung.
|-
||Der Impuls eines Körpers verändert sich nicht ohne eine Kraft. || Ein Körper verändert sich nicht ohne Impuls.
|-
||Beim Losfahren bekommt man Impuls. || Beim Losfahren bekommt man einen Impuls.
|-
||Das Auto fährt durch die große Kraft ruckartig los.  ||Das Auto fährt durch den großen Impuls ruckartig los.
|-
|| Wenn das Auto anfährt, drückt es Peter nach vorn und gibt ihm Impuls.||Wenn das Auto fährt, erfährt Peters Körper seinen Impuls.
|-
||Eine Kraft führt Impuls zu und verändert die Impulsmenge. ||Ein Impuls ist eine zugeführte Kraft, die Veränderung erbringt.
|-
||Peter kann mit einer großen Kraft drücken.|| Peter hat viel Kraft.
|-
|}

====Jemanden anschieben====
Eine Person wird auf einem Bürodrehstuhl angeschoben. Ihre (träge) Masse beträgt 70kg und die des Stuhls 10kg. Dabei wird sie 2m/sec schnell.
*Die Impulsmengen betragen:

:Person: <math>p= m\, v = 70\, \rm kg \cdot 2\, \rm m/s = 140\, \rm Hy</math>

:Stuhl:  <math>p= m\, v = 10\, \rm kg \cdot 2\, \rm m/s = 20\, \rm Hy</math>

:Zusammen also <math>160 \,\rm  Hy</math>

*Weil hier der Stuhl vor der Beschleunigung in Ruhe war, also noch keinen Impuls hatte, ist die Impulsänderung genau die Impulsmenge nach dem Anschubsen. Nach dem Veränderungsgesetz ist die Kraft Impulsänderung pro Zeit:
::<math>F=\frac{\triangle p }{ \triangle t}= \frac{160 \, \rm{Hy}}{1\, \rm{s}}= 160\frac{\rm Hy}{\rm s}=160\,\rm N</math>
:Bei einer Sekunde hat man also mit 160N geschoben, bei der halben Zeitspanne muss die mittlere Kraft doppelt so groß gewesen sein.

====Losfahren====
Eine RadlerIn beschleunigt aus dem Stand 10 Sekunden lang mit einer mittleren Kraft von 30 Newton. Zusammen mit dem Rad hat sie eine (träge) Masse von 60kg.
*Weil hier das Rad vor der Beschleunigung in Ruhe war, ist die Impulsänderung genau die Impulsmenge nach den ersten zehn Sekunden. Nach dem Veränderungsgesetz ändert sich der Impuls um:
:<math>\triangle \, p = F\, \triangle \, t = \mathrm{30\,  N \cdot 10\, s = 300\, Hy}</math>
:Aus der Definition des Impulses folgt: 
::<math>p= m\, v = 300 \, \mathrm{Hy = 60\, kg} \cdot  v </math>
::<math> \Rightarrow \quad v =\mathrm{ 5\, \frac{m}{s} = 18\, \frac{km}{h}}</math>

====Roller fahren====
[[Datei:Tretroller.jpg|thumb|100px]]
Tina steht mit ihrem Roller auf einer ebenen Straße. Zusammen haben sie eine Masse von 50kg. Dann schubst sie sich zweimal  von der Straße ab. Beim ersten Mal eine Sekunde lang mit einer Kraft von 100N, beim zweiten Mal eine halbe Sekunde lang mit einer Kraft von 60N. Dazwischen rollt sie für zwei Sekunden.
*Wieviel Impuls hat Tina nach dem ersten und nach dem zweiten Anschubsen und wie schnell ist sie jeweils? (Rechne ohne Reibung, also ohne Impulsverlust.)
:Die Impulsänderungen betragen:
::<math>\triangle p = F \, \triangle t = 100 \, \rm N \cdot 1\, s = 100 \, Hy</math>
::<math>\triangle p = F \, \triangle t = 60\, \rm N \cdot 0{,}5 \, s = 30 \, Hy</math>

:Tina hat nach dem ersten Anschubsen eine Impulsmenge von 100Hy, nach dem zweiten Anschubsen von 130Hy:
::<math>p(\rm 1\, s)=100\, Hy </math> <math>.\qquad p(\rm 3{,}5\, s)=130\, Hy .</math>
:Die Geschwindigkeiten erhält man durch Division durch die Masse:
::<math>p=m\, v \quad \Rightarrow \quad v = \frac{p}{m}</math>
::<math>v(\rm 1\, s)=\frac{100\, Hy}{50 \, kg}= 2\,\frac{m}{s}\approx 7\, \frac{km}{h} </math> <math>\text{}\qquad v(\rm 3{,}5\, s)=\frac{130\, Hy}{50 \, kg}= 2{,}6\,\frac{m}{s}\approx 9{,}5\, \frac{km}{h}.</math>

Die gerade eben noch vernachlässigte Reibungskraft beträgt für Tina und ihren Roller konstant 10 Newton.
*Wie lange nach dem zweimaligen Anschubsen kann Tina noch rollen, bevor sie stehen bleibt?

:Berücksichtigt man die Reibungskraft von 10N, so gehen in jeder Sekunde 10Hy Impuls verloren. Während der 3,5s dauernden Anschubsphase sind das:
::<math>\Delta p = 10\,\rm N \cdot 3{,}5\,\rm s = 35\,\rm Hy</math>
Tina hat also nach dem Anschubsen nur 95 Huygens Impuls!

:In jeder Sekunde verliert sie davon 10 Huygens. Damit kann man die Ausrollzeit bestimmen:
::<math>\Delta p = F\, \Delta t \quad \Rightarrow \quad \Delta t = \frac{\Delta p}{F} = \mathrm{\frac{95\,Hy}{10\,N}=9{,}5\,s}</math>

:Tina kann also noch 9,5 Sekunden lang rollen ohne sich abzustoßen.

*Wie könnte sie sich in regelmäßigen Abständen vom Boden abstoßen, um mit gleichbleibender Geschwindigkeit zu fahren?

:Tina muss im Durchschnitt 10 Huygens pro Sekunde Impuls erhalten, denn soviel geht durch die Reibung verloren.
:Sie könnte sich eine Sekunde lang mit 20 Newton abstoßen, dann eine Sekunde lang rollen und so weiter.
:Oder sie stößt sich eine Sekunde lang mit 30 Newton ab, dann kann sie zwei Sekunden lang rollen und so weiter.

====Das Wasserbehältermodell II====
Beschreibe jeweils die Situationen oder Abläufe, indem du passende Wasserbehältermodelle findest.

*Paul und Pauline fahren Skatebord [[Datei:Aufgabe Dynamik Wasserbehältermodel II Lösung a.png|200px|right]]
:Paul und Pauline stehen mit ihrem Skateboard auf der Straße. Beide stoßen sich für eine halbe Sekunde mit einer Kraft von 80 Newton vom Boden ab. Paul hat aber doppelt so viel Masse wie Pauline.

:Beide stoßen sich auf die gleiche Weise vom Boden ab und erhalten deswegen beide die gleiche Impulsmenge von 40 Huygens. Weil Paul die doppelte Masse hat, ist er nur halb so schnell wie Paula.
<br style="clear: both" /> 

*Pauline und Antonia fahren zusammen Fahrrad [[Datei:Aufgabe Dynamik Wasserbehältermodel II Lösung b.png|200px|right]]
:Beide haben in etwa die gleiche Masse und sind auch gleichschnell. Vor der Ampel kommt Pauline innerhalb von drei Sekunden zum Stehen. Antonia dagegen kann mit ihren besseren Bremsen sogar in anderthalb Sekunden anhalten.

:Beide haben den gleichen Impuls, den sie aber unterschiedlich schnell verlieren. Bei Pauline wirkt im gleichen Zeitraum eine halb so große Kraft wie bei Antonia.
<br style="clear: both" /> 

*Pauline fährt Rad [[Datei:Aufgabe Dynamik Wasserbehältermodel II Lösung d.png|349px|right]]
:Zuerst steht sie an der Ampel. Dann tritt sie mit einer gleichbleibenden Kraft in die Pedale, bis sie schließlich mit konstanter Geschwindigkeit fährt. Nach einer Weile hört sie auf zu treten und läßt es gemütlich ausrollen.

:'''Stehen'''<br>Beim Stehen hat Pauline noch keinen Impuls.
:'''Losfahren'''<br>Wenn sie losfährt wird durch ihr gleichmäßiges Treten der Impuls gleichmäßig zunehmen. Wenn sie langsam fährt, ist ihre Reibung noch gering und es geht wenig Impuls verloren.
:'''konstante Geschwindigkeit'''<br>Je schneller sie fährt, desto größer wird auch ihre Reibung, vor allem wegen des Luftwiderstandes. Durch ihr Treten ist ihre Impulsmenge schließlich so groß geworden, bis genausoviel Impuls reingeht wie rausgeht.
:'''Ausrollen'''<br>Es kommt kein Impuls mehr hinzu. Durch die Reibungskraft nimmt deswegen der Impuls wieder ab.
<br style="clear: both" />

====Widerstände beim Radfahren====
[[Datei:Fahrrad_Widerstandsdiagramm.png|thumb|250px]]
In diesem Widerstandsdiagramm ist die Reibungskraft F über die Geschwindigkeit aufgetragen. Die Reibungskraft setzt sich aus dem geschwindigkeitsunabhängigen Rollwiderstand und der Luftreibung zusammen.

Paula fährt auf ebener Strecke mit einer konstanten Geschwindigkeit von 6 m/s.
*Wie groß ist jetzt die Reibungskraft und wie groß die antreibende Kraft?
:Wenn Paula mit einer konstanten Geschwindigkeit fährt, dann verändert sich auch der Impuls nicht. Deshalb muss durch Paulas antreibende Kraft genausoviel Impuls reingehen, wie durch die Reibungskraft wieder rausgeht.
:Beide Krafte sind also gleich groß, Paula ist im "Kräftegleichgewicht".
:Am Diagramm kann man ablesen, dass die gesamte Reibungskraft bei 6 m/s gerade 24N beträgt. Paula treibt sich also mit einer Kraft von 24N an.

Danach tritt Paula so in die Pedale, dass die antreibende Kraft auf 40N ansteigt. 
*Wie schnell wird sie jetzt?
:Auch jetzt wird sie so schnell, dass wieder Kräftegleichgewicht eintritt. Das ist bei einer Geschwindigkeit von ca. 8,2 m/s (30 km/h) der Fall.

==Praktische Anwendungen==
====Die Weltraumwaage SLAMMD====
Das "Space Linear Acceleration Mass Measurement Device", kurz SLAMMD bestimmt auf der ISS (International Space Station) die Masse von AstronautInnen durch eine lineare Beschleunigung. ([https://vimeo.com/465955155 Demovideo])

Bei einer Messung wurde die Person durch eine Kraft von 50 Newton in 1,2 Sekunden auf eine Geschwindigkeit von 0,8 Meter pro Sekunde beschleunigt.

*Man kann den Impuls der Astronautin auf zwei Arten bestimmen. Einmal über das Veränderungsgesetz als Ergebnis der Kraftwirkung und einmal über die Definition des Impulses als Masse mal Geschwindigkeit. Auch hier ist die Impulsänderung genau die Impulsmenge nach der Beschleunigung, weil die Astronautin zu Beginn noch keinen Impuls hat:
::<math> m\, v = \triangle \, p = F\, \triangle \, t</math>
:Nach der Masse aufgelöst:
::<math>m= \frac{F\, \triangle \, t}{v} = \rm \frac{50\, \rm N \cdot \, 1{,}2\, s}{0{,}8\, m/s} = \frac{60\, \rm Hy}{0{,}8\, m/s} = 75\,kg</math>
:Die Masse beträgt 75kg.

====Der Anschnallgurt====
Der Gurt verhindert bei einem Autounfall stärkere Verletzungen.

Wie groß sind wohl die Kräfte auf den Kopf der FahrerIn bei einem Aufprall mit 50 km/h auf ein festes Hindernis mit und ohne Gurt?

Mit Hilfe dieses [http://www.youtube.com/watch?v=QiEtaTROW_4&feature=related Videos vom TCS] wurde die Zeitdauer des Abremsens des Kopfes mit und ohne Gurt abgeschätzt. In den Zeitlupenaufnahmen wurden ca. 500 Bilder pro Sekunde aufgenommen, also alle 2 msec ein Bild gemacht.

:Abremsen durch Aufprall auf Frontscheibe und Lenkrad: ca. 6 msec
:Abremsen durch den Gurt: ca. 44 msec 

Ein menschlicher Kopf hat eine Masse von ca. 3-4kg ([http://hypertextbook.com/facts/2006/DmitriyGekhman.shtml], [http://www.smf.org/docs/articles/pdf/chingtechbrief.pdf]).
*Berechne die wirkenden Kräfte beim Abbremsen und vergleiche sie mit der Gewichtskraft des Kopfes.


;Erster Lösungsweg:
Man kann den Impuls des Kopfes auf zwei Arten bestimmen. 

Einmal über die Definition des Impulses als Masse mal Geschwindigkeit, wozu man zunächst in die Standardeinheiten umrechnen muss:
:<math> v = 50\,\rm \tfrac{km}{h} = 50\cdot\frac{1000\,\rm m}{3600\,\rm s} = 50 : 3{,}6 \,\rm \frac{m}{s} \approx 13{,}9 \tfrac{m}{s} </math>
:<math> p= m\, v = 3{,5}\,\rm kg \cdot 13{,}9 \tfrac{m}{s} = 48{,7}\,\rm Hy </math>

Und einmal über das Veränderungsgesetz als Ergebnis der Kraftwirkung der Scheibe. Dann kann man nach der gesuchten Kraft auflösen:
:<math>\begin{alignat}{2}
p              &= F\, t \\
48{,7}\,\rm Hy &= F \cdot 6\,\rm ms  \\
48{,7}\,\rm Hy &= F \cdot 0{,}006\,\rm s &| : 0{,}006\,\rm s \\
\frac{48{,7}\,\rm Hy}{0{,}006\,\rm s} &= F = 8100\,\rm N
\end{alignat}</math>
Die Scheibe übt also für 6ms eine Kraft von 8100 Newton auf den Kopf aus. Das entspricht auf der Erde einer Gewichtskraft von 810kg!

Die Bremskraft des Gurtes berechnet man genauso, nur mit einer längeren Zeitdauer:
:<math>\begin{alignat}{2}
p              &= F\, t \\
48{,7}\,\rm Hy &= F \cdot 44\,\rm ms  \\
48{,7}\,\rm Hy &= F \cdot 0{,}044\,\rm s &| : 0{,}044\,\rm s \\
\frac{48{,7}\,\rm Hy}{0{,}044\,\rm s} &= F = 1100\,\rm N
\end{alignat}</math>
Das ist nur ungefähr ein Achtel der Bremskraft von der Scheibe, entspricht aber immer noch der Gewichtskraft von 110kg und kann deswegen auch zu Halsverletzungen führen!

Der Kopf selbst hat eine Gewichtskraft von ca. <math>350\,\rm N</math>. Die Bremskräfte von Scheibe und Gurt betragen daher ca. das 200-fache bzw. das 30-fache des "normalen Kopfgewichts".

;Zweiter Lösungsweg:

Man setzt die beiden Berechnungsmethoden für den Impuls gleich und löst dann nach der Kraft auf:
:<math> m\, v = p = F\, t \quad | : t</math>
Nach der Kraft aufgelöst:
:<math>F = \frac{m\, v}{t}</math>
Jetzt kann man die Werte einsetzen:
Für die Scheibe:
:<math>m=3{,}5 \,\rm kg \quad v = 50 \tfrac{km}{h}=13{,}9\,\rm\tfrac{m}{s} \quad t = 0{,}006\,\rm s</math>
:<math>F = \frac{3{,}5\,\rm kg\cdot 13{,}9\,\rm\tfrac{m}{s}}{0{,}006\,\rm s} = 8100\,\rm\tfrac{m}{s}</math>
:Für den Gurt:
:<math>F = \frac{3{,}5\,\rm kg\cdot 13{,}9\,\rm\tfrac{m}{s}}{0{,}044\,\rm s} = 1100\,\rm\tfrac{m}{s}</math>
Für das Ergebnis ist logischerweise der Rechenweg egal :)!

====Weihnachtsbaumtransport====
In diesem [http://www.youtube.com/watch?v=pDXEb8mQ11M  Video] des ADAC wurde der Transport eines Weihnachtsbaumes auf dem Autodach untersucht.

Zitat: "Eine mannshohe Tanne bringt um die 30kg auf die Waage. Bei einem Aufprall mit 50km/h zerren in diesem Fall 750kg am Dachträger."

*Mit den 30kg ist sicherlich die Masse der Tanne gemeint, die vor der Fahrt gewogen wurde. Während des Abbremsens muss der Dachträger mit einer großen Kraft an der Tanne drücken, um sie anzuhalten. Nun kann man zum Vergleich diese Bremskraft in eine Gewichtskraft einer fiktiven Tanne umrechnen. Hätte die Tanne eine Masse von 750kg, so würde deren Gewichtskraft der Bremskraft entsprechen.

*Die Tanne bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von:
::<math>v= 50\; \colon 3{,}6\rm\frac{m}{s} = 13{,}9\rm\frac{m}{s}</math>
:Der Impuls der Tanne beträgt daher:
::<math>p=m\,v = 30\,\rm kg \cdot 13{,}9\rm\frac{m}{s} = 416\,\rm Hy</math>
:Die Bremskraft soll einer Gewichtskraft von 750kg entsprechen:
::<math>F=750\,\rm kg \cdot 10\rm\frac{N}{kg}=7500\,\rm N</math>
:Die Kraft gibt an, wie schnell sich der Impuls ändert. Das 2. Newtonsche Gesetz löst man dann nach der Zeit auf:
::<math>\Delta p = F\, \Delta t \quad \Rightarrow \quad \Delta t= \frac{\Delta p}{F} = \frac{416\,\rm Hy}{7500\,\rm N} = 0{,}055\,\rm s = 55\,ms</math>
:Der Baum wird also in ca. 6 Hundertstel Sekunden abgebremst.