Quelltext der Seite Methodos: Themenübersicht Mathe


Eine Zusammenstellung der mathematischen Themen bis zum Abitur.

Die Abfolge entspricht den Kapiteln aus "Steps to the peak - Mein eigener Weg zum Mathe-Abi" von Dieter Markert.

Ergänzungen, die durchaus sinnvoll sein können, sind <nowiki>[in eckige Klammern]</nowiki> gesetzt.

=Grundlagen=
==Algebra-Rechentechniken==

=====Rechenausdrücke | Terme Grundlagen=====
 "Das Doppelte von 5 und 3"
 "Die Zahl zuerst mit 2 multiplizieren, dann 6 addieren 
  und das Ergebnis mit sich selbst multiplizieren."

*Vokabeln:
:Addition: Summand plus Sumand ist die Summe
:Subtraktion: Minuend minus Subtrahend ist die Differenz
:Multiplikation: Faktor mal Faktor ist das Produkt
:Division: Dividend (Zähler) durch Divisor (Nenner) ist der Quotient
:"hoch": Basis hoch Exponent (Hochzahl) ist die Potenz

*Rechenvorfahrtsregeln (Reihenfolge): Klammer vor hoch vor Punkt vor Strich
:Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz (Ausmultiplizieren und Ausklammern)

*Terme mit und ohne Variablen

====Bruchrechnung====
 "1/4 l oder 0,25 l"
 "The table is 3 feet, 7 5/8 Inches long."
 "5/8 Inches and 1/16 Inch."
*Erweitern und Kürzen
*Brüche und Dezimalzahlen
*Addieren, Subtrahieren: gleicher Nenner
*Multiplizieren, Dividieren von Brüchen

====Potenzen====
 "Ein Blatt Papier ist nur 0,1 mm dick."
 "Meine Festplatte hat einen TeraByte Speicherkapazität."
*10er Potenzen, wissenschaftliche Schreibweise
*Rechenregeln: gleiche Basis, gleicher Exponent
*negative Hochzahlen

====Wurzeln====
 "Das quadratische Zimmer hat eine Fläche von Zehn Quadratmetern."
 "In den Würfel sollen 4 Liter Wasser passen."
*Quadratwurzeln
*Höhere Wurzeln
*Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen

====Terme für Fortgeschrittene====
*binomische Formeln
*Faktorisierung

==Gleichungen==
====Zahlentypen====
 "Du hast 3 Äpfel und ich 4 Birnen."
 "Mein Konto ist 300€ im Minus."
 "In der Flasche ist ein 3/4l Wasser drin."
 "Wie lang ist wohl die Diagonale des Quadrats?"
*natürliche Zahlen
*ganze Zahlen
*Rationale Zahlen, Brüche
*Irrationale Zahlen
*(Komplexe Zahlen)

====Gleichungen Grundlagen====
 "Anna ist drei Jahre älter als Bernd."
 "Wenn du die Zahl verdoppelst, drei dazu zählst, und das Ergebnis quadrierst,
  dann kommt 144 heraus!"
*Lineare Gleichungen
*Äquivalenzumformungen
*(Schnittpunkte von Graphen und Nullstellen)
*Quadratische Gleichungen, abc-Formel/pq-Formel, Lösungsmenge

====Gleichungen für Fortgeschrittene====
*Satz vom Nullprodukt: Ausklammern und Faktorisieren
*Potenzgleichungen
*Grad 3 und mehr
*Substitution
*Bruchgleichungen
*(Exponentialgleichung)

====Lineare Gleichungssysteme====
 "Anna und ihre zwei Jahre jüngere Schwester Beatrix sind zusammen 28 Jahre alt."
 "Auf dem Bauernhof zählt Tim 50 Köpfe und 116 Beine der dort rumlaufenden Hühner und Schweine."
*Gaußscher Algorithmus
*Lösungsmengen: eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen

==Funktionen==
Hier würde ich die Reihenfolge des Buchs etwas ändern und das Grundwissen zu Funktionen vor den Geraden bearbeiten.

====Zuordnungen und Funktionen Grundlagen====
 "Das Fahrrad ist blau."
 "Die Äpfel kosten 3€ das Kilo."
*Pfeildarstellung mit Mengen
*Wertetabelle
*Graph im Koordinatensystem
*Funktion als eindeutige Zuordnung, Funktionsgleichung mit Definitionsbereich

====Lineare Funktionen====
 "Die Abzüge der Fotos kosten 0,13€ pro Foto und 0,65€ pro Bestellung."
 "Von meinen ersparten 700€ gehen jeden Monat 50€ für die Tanzstunden drauf."
*Gerade als Graph
*Hauptform, Punkt-Steigungs-Form
*Gleichungen: Schnittpunkte von Geraden, Schnitte mit x- und y Achse

====Funktionen allgemein====
*Weitere Funktionstypen: quadratische Funktionen, (Wurzelfunktionen), Potenzfunktionen, ganzrationale Funktionen, Kehrwertfunktion, gebrochen rationale Funktionen, Exponentialfunktionen, (Logarithmus), Winkelfunktionen: Sinus, Cosinus, Tangens
*Gleichungen: Schnitte von Graphen, Nullstellen

=====Verschieben, Strecken und Spiegeln von Graphen=====
*Verschieben nach Oben und Unten
*Spiegeln an der x-Achse
*Strecken und Stauchen
*Verschieben nach rechts und links
*Spiegeln an der y-Achse
*Das Verketten von Funktionen würde ich hier noch nicht bearbeiten, kommt später nochmal. (S.63)

=====Verhalten für große x=====
 "Also langfristig gesehen, machen wir bestimmt Gewinn."
*waagrechte Asymptoten
*kommt speziell für gebrochen rationale Funktionen später nochmal (S.80)

=====Symmetrie von Graphen und Funktionen=====
*Achsen- und Punktsymmetrie zum Ursprung
*ganzrationale Funktionen: gerade und ungerade Hochzahlen

====<nowiki>[Dreisatz/Proportionalität]</nowiki>====
 "2kg Äpfel kosten 6€, was kosten 3kg Äpfel?"
 "Die Jacke kostet 120€, ist aber 15% reduziert!"
*Prozentrechnung: Zinsen, Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz

==<nowiki>[Geometrie Grundlagen]</nowiki>==
*Punkt, Gerade, Kreis
*Dreiecke: gleichschenklig, gleichseitig, rechtwinklig
*Fläche von Dreiecken
*Vierecke: Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Trapez,...
*Fläche von Vierecken
*Achsensymmetrie, Achsenspiegelung
*Punktsymmetrie, Punktspiegelung
*Winkel: Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel
*Winkelsumme im Dreieck und Viereck

=Analysis=
==Differentialrechnung / Ableiten / Änderungsrate==
====Graphisches Ableiten====
 "Ich fahre jetzt mit 20 km/h."
 "Es fließen 3 Liter Wasser pro Sekunde in den Eimer."
 "Aus dem Stausee fließen pro Sekunde 12 Kubikmeter Wasser raus."
*Steigung einer Kurve, Tangente
*monoton steigend und fallend
*Extremstellen: Maximum- und Minimumstelle
*Extremwerte: Maximum und Minimum
*Extrempunkte: Hoch- und Tiefpunkt
*Wendestelle
*Wendepunkt
*Sattelpunkt
*NEW-Regel
 f   N E W
 f'    N E W
 f' '    N E W

====Ableitungsfunktion / Ableitungsregeln====
*Potenzregel
*Faktorregel
*Summenregel
*Ableitung von Sinus und Cosinus
*Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion, Logarithmus

====Tangente und Normale====
*Tangentengleichung
*Normalengleichung
*Tangente von außerhalb an den Graphen

====Höhere Ableitungen====
*Zweite, dritte Ableitung
*Krümmung des Graphen
**Linkskurve: Erste Ableitung steigt, zweite Ableitung positiv
**Rechtskurve: Erste Ableitung fällt, zweite Ableitung negativ

====Extrem- und Wendepunkte====
*Extremstellen: waagrechte Tangente, erste Ableitung Null
**Maximumsstelle: Linkskurve
**Minimumstelle: Rechtskurve
*Wendestellen: keine Krümmung, zweite Ableitung Null
**von Links- zu Rechtskurve: zweite Ableitung steigt, dritte Ableitung positiv
**von Rechts- zu Linkskurve: zweite Ableitung fällt, dritte Ableitung negativ

====Kettenregel====
*Verkettung von Funktionen
*Kettenregel

====Produktregel====
*Produktregel
*Produkt- und Kettenregel mischen

==Rationale Funktionen==
====Quadratische Funktionen====
*Parabeln als Graph
*Funktionsgleichung: Normalform, Produktform, Scheitelform
*Scheitelpunkt finden
*Nullstellen berechnen
*Aufstellen von Produkt- und Scheitelform

====Ganzrationale Funktionen / Polynomfunktionen====
*Normalform, Produktform
*Grad der Funktion
*Nullstellen finden
*Produktform aufstellen
*Hoch-, Tief-, Wendepunkte bestimmen
*Symmetrien

====Aufstellen von Funktionsgleichungen====
*allgemeine Funktionsgleichung
*Bedingungen finden
*Lineares Gleichungssystem lösen

====Gebrochen-rationale Funktionen====
*Definitionslücken, Polstellen, senkrechte Asymptoten
*waggrechte Asymptoten

====Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen (Optimierung)====
*senkrechter Abstand zweier Graphen
*Abstand Punkt-Graph
*geometrische Figuren in Graphen
*allgemeines Kochrezept
**Ausprobieren
**Term mit mehreren Variablen aufstellen
**Nebenbedingungen finden
**Zielfunktion aufstellen
***Nebenbedingungen auflösen
***in den Term einsetzen
***Definitionsbereich finden
**Max / Min der Ziefunktion berechnen
**Interpretation

==Exponentielles Wachstum / Exponentialfunktionen==
 "Ich lege die 1000€ mit 3% Zinsen für fünf Jahre an."
 "Plutonium 239 hat eine Halbwertszeit von 24110 Jahren."

====<nowiki>[Exponentialfunktionen Grundlagen]</nowiki>====
*lineares Wachstum
*quadratisches Wachstum
*Zinseszinsen, exponentielles Wachstum
*Funktionsgleichung: Anfangswert, Wachstumskonstante
*Exponentieller Zerfall
*Exponentialfunktion
*Exponentialgleichungen, Logarithmus

====<nowiki>[Die Eulersche Zahl e]</nowiki>====
*e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 … 
*Graph der Exponentialfunktionen
*Ableitung oder stetige Verzinsung

====Exponentialgleichungen====
*natürlicher Logarithmus
*Substitution, Ausklammern

====Exponentialfunktionen====
*Graph, Asymptoten
*Ableitungen
*Summen, Produkte und Potenzen von Exponentialfunktionen
*Berechnung von Hoch-, Tief-, Wendepunkten
*Schnitte mit Achsen

====Exponentielles Wachstum====
*lineares Wachstum
*quadratisches Wachstum
*exponentielles Wachstum
*Funktionsgleichung: Anfangswert, Wachstumsfaktor
*Verdopplungszeit, Halbwertszeit
*Die Differentialgleichung ist nur Thema bis Abi 2018

====Beschränktes Wachstum====
*Funktionsgleichung: Sättigungsgrenze, Anfangswert, Sättigungsmanko, Wachstumsfaktor (immer positiv)
*Die Differentialgleichung ist nur Thema bis Abi 2018

==Winkelfunktionen (Sinus, Cosinus, <nowiki>[Tangens]</nowiki>)==
 "Wie breit ist der Vollmond in einer Woche?"
 "Wie lang ist mein Schatten morgens und mittags?"
 <nowiki>["Die Straße hat eine Steigung von 12%!"]</nowiki>

====Rechtwinklige Dreiecke====
*Hypotenuse, Katheten
*Satz des Pythagoras
*Sinus, Cosinus, <nowiki>[Tangens]</nowiki>

====Winkelfunktionen im Bogenmaß====
*<nowiki>[Einheitskreis: Sinus, Cosinus, [Tangens] für Winkel größer als 90°]</nowiki>
*<nowiki>[Bogenmaß eines Winkels]</nowiki>

====Verschieben, Strecken und Stauchen der Sinusfunktion====
*Amplitude, Periode
*allgemeine Funktionsgleichung

==Funktionenscharen==
*Parameter
*Ortskurve von Hoch-, Tief- oder Wendepunkten

==Integralrechnung==
====<nowiki>[Integrieren durch Flächenberechnung]</nowiki>====
*Berechnung von zurückgelegtem Weg im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
*Integrieren als Umkehrung des Differenzierens (Ableitens)
*Integralfunktion

====Stammfunktionen zeichnen====
*Zeichnerische Bestimmung
*eine Funktion hat eine Ableitung, aber viele Stammfunktionen

====Stammfunktionen berechnen====
*unbestimmte Integrale
*Unbestimmtheit durch additive Konstante
*Stammfunktionen von
**Potenzfunktionen
**Exponentialfunktion
**Kehrwertfunktion
**Sinus, Cosinus
*Faktor- und Summenregel

====Lineare Substitution====
*Stammfunktion bei Verkettung von einfachen linearen Funktionen,
:wie z.B. <math>\sin(3\, x + 2) </math>

====bestimmte Integrale berechnen====
*Grenzen des bestimmten Integrals
*Hauptsatz der Differential-Integralrechnung (HDI)

====Flächeninhalte====
*Zwischen Graph und x-Achse
**Oben plus, unten Minus
**Nullstellen als Grenzen des Integrals
*Zwischen zwei Graphen
**Vorzeichen der Fläche
**Schnittstellen als Grenzen des Integrals

====Integralfunktionen====
*linke Grenze fest, rechte variabel
*Rekonstruktion eines Bestandes
*Berechnung der Wegstrecke aus der Geschwindigkeit

====Rotationskörper====
Ist nur Teil des Abi 2018!
*rotationssymmetrische Körper: runde Flaschen, Kugel, Zylinder, Kegel,...
*Randfunktion rotiert
*Berechnungsformel

====Mittelwert von Funktionswerten====
*krummlinige Fläche als Rechteck
*Rechteckfläche ist Breite mal Höhe
*Berechnungsformel

=Analytische Geometrie=
==Vektoren und Geraden==
====Vektoren als Pfeile (Orts- und Verbindungsvektoren)====
*Punkte, Ursprung als Basis
*Verbindungsvektoren als Weg von einem Punkt zum anderen
*Addition durch Aneinanderlegen
*Multiplikation mit einer Zahl, Parallelität
*<nowiki>[Einheitsvektoren]</nowiki>
*Ortsvektor zeigt auf Punkte vom Ursprung
*Mittelpunkt einer Strecke

====Rechnen mit Vektoren====
*dreidimensionales Koordinatensystem: <math>x, y, z</math> oder <math>x_1, x_2, x_3 </math>
*Vektoren mit drei Koordinaten übereinander
*Punkte mit drei Koordinaten nebeneinander
*Addieren, Subtrahieren
*Multiplikation mit einer Zahl, Parallelität
*Skalarprodukt zweier Vektoren
*Länge (Betrag), <nowiki>[Einheitsvektoren]</nowiki>, Abstand zweier Punkte

====Winkel zwischen Vektoren====
*senkrechte Vektoren
*Skalarprodukt mit <math>\cos (\alpha)</math>
*Winkelberechnung des ''kleineren'' Winkels mit <math>|\vec a \cdot \vec b|</math>
**oder auch stumpfe Winkel ohne Betrag

====Parameterform einer Geraden====
*Stützpunkt / Stützvektor
*Richtungsvektor
*Koordinaten- und Punktform
*Punktprobe
*Aufstellen von Geraden

====Lage einer Geraden====
*Schnittpunkte mit Koordinatenebenen
*Parallelität zu Achsen oder Koordinatenebenen
*Projektion einer Geraden auf eine Koordinatenebene (nötig?)

====Lage zweier Geraden====
*identisch, parallel, sich schneiden, windschief
*Schnittpunkt berechnen

==Ebenen==
====Parametergleichung einer Ebene====
*Stützpunkt, Stützvektor
*zwei Spannvektoren
*Ebene durch drei Punkte

====Normalenform einer Ebene====
*Normalenvektor
*von der Parametergleichung zur Normalenform
*Vektorprodukt / Kreuzprodukt zweier Vektoren

====Koordinatenform einer Ebene====
*von der Normalenform zur Koordinatenform
*Spurpunkte: Schnitte mit den Achsen
*Lage der Ebene im Raum: Parallelität zu Achsen oder Koordinatenebenen
*<nowiki>[Zeichnen von Ebenen im Koordinatensystem]</nowiki>

====Lage von zwei Ebenen====
Die Lage von drei Ebenen ist nicht Abiturstoff
*identisch, parallel, sich schneiden
*Schnittgerade berechnen
*<nowiki>Winkel zwischen Ebenen</nowiki>

==Ebenen und Geraden==
*Lage von Ebene und Gerade
*Schnittpunkt berechnen
*(Punkt an Ebene spiegeln)
*Winkel Gerade-Ebene

==Abstände==
====Abstand Punkt-Ebene====
*Hessesche Koordinatenform (Hesse-Form)
*<nowiki>[Hessesche Normalenform]</nowiki>
*Abstand parallele Gerade-Ebene
*Abstand paralleler Ebenen

====Abstand Punkt-Gerade====
*zur Geraden senkrechte Hilfsebene
*Schnittpunkt und Abstand Punkt-Ebene
*Abstand paralleler Geraden
*Höhe eines Dreiecks (geht schneller mit dem Kreuzprodukt)
*(Punkt an Gerade spiegeln)

====Abstand windschiefer Geraden====
*Hilfsebene durch eine, parallel zur anderen Geraden
*Abstand Stützpunkt-Hilfsebene

====Spiegelungen====
*Punkt an Ebene
*Punkt an Gerade

=Wahrscheinlichkeitsrechnung=
====Zufallsexperimente====
 "Glück im Spiel - Pech in der Liebe!"
 "Dein Würfel ist gezinkt!"
 "Ich hab' drei Asse!"
 "Bei 'Siedler von Catan' kommt der Räuber am häufigsten."
*<nowiki>[absolute und relative Häufigkeiten]<nowiki>
*<nowiki>[Wahrscheinlichkeit: "Gesetz" der großen Zahlen]</nowiki>
*Laplace-Experimente
**günstige und mögliche Ergebnisse
*Schreibweise: <math>P(X = \textrm{gerade}) = \frac{1}{2}</math> , Zufallsvariable X
*Wahrscheinlichkeitsverteilung
*Gegenereignis
*"mindestens", "höchstens"

====Baumdiagramme====
 "Beim 'Mensch-ärgere-dich-nicht' komme ich nie aus dem Häuschen."
 "Die Chance im Lotto zu gewinnen ist kleiner als die vom Blitz erschlagen zu werden!"
*mehrstufige Zufallsexperimente
*Pfadregel (Produktregel) bei "und"
*Summenregel bei "oder"
*Ziehen mit/ohne Zurücklegen
*Gegenereignis

====Erwartungswert====
 "Ich setze beim Roulette 100€ auf 'Rot'. Wenn ich gewinne, bekomme ich 200€ zurück, das ist fair!"
*(un)faire Spiele

====Binomialverteilung====
 "In jedem 7. Ei steckt ein Schlumpf. Ich kaufe gleich 100 Eier!"
*Bernoulli-Experimente (Bernoulli-Kette der Länge n)
*Binomialkoeffizient "n über r", WTR|GTR: nCr
*Formel für r Treffer bei n Versuchen (Binomialverteilung)
*Erwartungswert der Binomialverteilung

====kummulierte Wahrscheinlichkeiten====
 "Ich will aber auf jeden Fall 20 Schlümpfe haben!"
*"höchstens" r Treffer, WTR|GTR: binomial cdf
*"mindestens" r Treffer, Gegenwahrscheinlichkeit zu "höchstens"

====Einseitiger Test von Hypothesen====
 "In meinen 100 Eier waren nur 12 Schlümpfe drin! In den Eiern sind wahrscheinlich zu wenige Schlümpfe!"
*Stichprobenumfang, Signifikanzniveau
*Nullhypothese, Gegenhypothese
*linksseitiger Test, Ablehnungsbereich rechts (zu viel)
*rechtsseitiger Test, Ablehnungsbereich links (zu wenig)
*Annahmebereich
*Irrtumswahrscheinlichkeit