Aufgaben zur Geschwindigkeit als Vektor - Lösungen - Versionsgeschichte

Patrick.Nordmann: /* 3) Über den Atlantik fliegen */

2014-10-22T13:29:36Z

‎3) Über den Atlantik fliegen

Patrick.Nordmann: /* 2) Über den Fluss */

2014-10-22T13:28:23Z

‎2) Über den Fluss

Patrick.Nordmann: /* 3) Über den Atlantik fliegen */

2014-10-17T16:56:00Z

‎3) Über den Atlantik fliegen

Patrick.Nordmann: /* 3) Über den Atlantik fliegen */

2014-10-17T16:54:37Z

‎3) Über den Atlantik fliegen

Patrick.Nordmann: /* 3) Über den Atlantik fliegen */

2014-10-17T16:07:51Z

‎3) Über den Atlantik fliegen

Patrick.Nordmann: /* 3) Über den Atlantik fliegen */

2014-10-12T08:02:43Z

‎3) Über den Atlantik fliegen

Patrick.Nordmann: /* 3) Über den Atlantik fliegen */

2014-10-12T08:01:22Z

‎3) Über den Atlantik fliegen

Patrick.Nordmann: /* Lösungen */

2014-10-11T22:28:41Z

‎Lösungen

Patrick.Nordmann: /* 2) Über den Fluss */

2014-10-11T22:26:25Z

‎2) Über den Fluss

Patrick.Nordmann: /* 2) Über den Fluss */

2014-10-11T21:39:22Z

‎2) Über den Fluss

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 [[Datei:Aufgabe_Geschwindigkeit_vektoriell_Flugzeug.png|thumb|453px]]
-'''b)''' Bei Windstille beträgt die Entfernung hin und zurück 18600 km und die Geschwindigkeit beträgt 825 km/h:
+'''b)''' Bei Windstille beträgt die Entfernung hin und zurück 18600 km und die Geschwindigkeit beträgt 925 km/h:
-:<math> \Delta t = \frac{\Delta s}{v} = \frac{18600\,\rm km}{825\,\rm km/h} = \mathrm{20{,}11\, h = 22\, h\ 6\,min }</math>
+:<math> \Delta t = \frac{\Delta s}{v} = \frac{18600\,\rm km}{925\,\rm km/h} = \mathrm{20{,}11\, h = 20\, h\ 6\,min }</math>
 Das Flugzeug ist im Vergleich zum Hin- und Rückweg mit Westwind um 14 Minuten schneller! Und dass, obwohl man mit Rückenwind 100km/h schneller und mit Gegenwind 100km/h langsamer ist. <br/> Auf dem Hin- und Rückweg ist man aber eine längere Zeit mit Gegenwind als mit Rückenwind unterwegs. Deshalb kann der Rückenwind den Gegenwind nicht wieder "wettmachen".

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 :<math>v_x = \frac{\Delta s}{\Delta t} \quad \Longleftrightarrow \quad 1\,\rm \frac{m}{s} = \frac{\Delta s}{13{,}3\,\rm s}</math>
 Nach der Strecke aufgelöst ergibt sich:
-:<math>\Delta s = v\, \Delta t = 1\,\rm \frac{m}{s} \cdot 13{,}3\,\rm s = 30\,\rm m</math>
+:<math>\Delta s = v\, \Delta t = 1\,\rm \frac{m}{s} \cdot 13{,}3\,\rm s = 13{,}3\,\rm m</math>
 [[Datei:Aufgabe_Geschwindigkeit_vektoriell_Fluss_schräg.png|thumb]]

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 '''c)''' Zuerst kann man ausrechnen, wie schnell das Flugzeug bei Windstille sein muss:
 :<math>v = \frac{\Delta s}{\Delta t}  = \frac{9300\,\rm km}{11,17\,\rm h} = 833\,\rm km/h</math>
-Gegen den Wind muss die Boing also mit 933 km/h relativ zur Luft fliegen und mit Rückenwind nur mit 733 km/h.
+Gegen den Wind muss die Boeing also mit 933 km/h relativ zur Luft fliegen und mit Rückenwind nur mit 733 km/h.

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 ====3) Über den Atlantik fliegen====
-'''a)''' Von Frankfurt nach Los Angeles fliegt die Boeing mit einer Geschwindigkeit von nur 825km/h relativ zum Erdboden. Damit benötigt sie für diese Strecke:
+'''a)''' Von Frankfurt nach Los Angeles fliegt die Boeing mit einer Geschwindigkeit von nur 825 km/h relativ zum Erdboden. Damit benötigt sie für diese Strecke:
 :<math>v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \quad \Longleftrightarrow \quad \Delta t = \frac{\Delta s}{v} = \frac{9300\,\rm km}{825\,\rm km/h} = \mathrm{11{,}27\, h = 11\, h\ 16\,min }</math>
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 :<math>v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \quad \Longleftrightarrow \quad \Delta t = \frac{\Delta s}{v} = \frac{9300\,\rm km}{1025\,\rm km/h} = \mathrm{9{,}07\, h = 11\, h\ 4\,min }</math>
 '''b)''' Bei Windstille beträgt die Entfernung hin und zurück 18600 km und die Geschwindigkeit beträgt 825 km/h:
 :<math> \Delta t = \frac{\Delta s}{v} = \frac{18600\,\rm km}{825\,\rm km/h} = \mathrm{20{,}11\, h = 22\, h\ 6\,min }</math>
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 Das Flugzeug ist im Vergleich zum Hin- und Rückweg mit Westwind um 14 Minuten schneller! Und dass, obwohl man mit Rückenwind 100km/h schneller und mit Gegenwind 100km/h langsamer ist. <br/> Auf dem Hin- und Rückweg ist man aber eine längere Zeit mit Gegenwind als mit Rückenwind unterwegs. Deshalb kann der Rückenwind den Gegenwind nicht wieder "wettmachen".
-'''c)''' Wie schnell muss das Flugzeug mit und gegen den Wind fliegen, damit die angegebene Reisezeit von 11h 10min eingehalten werden kann?
+'''c)''' Zuerst kann man ausrechnen, wie schnell das Flugzeug bei Windstille sein muss:
-Gegen den Wind von Frankfurt nach LA:
+:<math>v = \frac{\Delta s}{\Delta t}  = \frac{9300\,\rm km}{11,17\,\rm h} = 833\,\rm km/h</math>
-:<math>v - 100\,\rm km/h = \frac{\Delta s}{\Delta t}  = \frac{9300\,\rm km}{11,17\,\rm h} = 833\,\rm km/h</math>
+Gegen den Wind muss die Boing also mit 933 km/h relativ zur Luft fliegen und mit Rückenwind nur mit 733 km/h.
-−
-[[Datei:Aufgabe_Geschwindigkeit_vektoriell_Flugzeug.png|thumb|453px]]

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 ====3) Über den Atlantik fliegen====
-Ein Flug über den Atlantik zwischen Frankfurt und Los Angeles z.B. dauert ca. 11h 10min. Dabei legt das Flugzeug ca. 9.300km zurück. <br/>
+'''a)''' Von Frankfurt nach Los Angeles fliegt die Boeing mit einer Geschwindigkeit von nur 825km/h relativ zum Erdboden. Damit benötigt sie für diese Strecke:
-Die Flüge dauern erstaunlicherweise in beiden Richtungen etwa gleichlang, obwohl in der Flughöhe von 10km [http://de.wikipedia.org/wiki/Westwindzone Westwinde] von bis zu 400km/h wehen, im Mittel kann man eine Windgeschwindigkeit von 100km/h annehmen. <br/>
+:<math>v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \quad \Longleftrightarrow \quad \Delta t = \frac{\Delta s}{v} = \frac{9300\,\rm km}{825\,\rm km/h} = \mathrm{11{,}27\, h = 11\, h\ 16\,min }</math>
-Eine [http://www.boeing.de/Produkte-Dienstleistungen/Boeing-Commercial-Airplanes/747-8 Boeing 747-8l] hat eine maximale Reisegeschwindigkeit von Mach 0,86. Das sind 86% der Schallgeschwindigkeit und entspricht in 10km Höhe ungefähr einer Geschwindigkeit von 925km/h.
-:'''a)''' Wie lange braucht die Boeing für die Strecke Frankfurt-Los Angeles und zurück mindestens?
+Auf dem Rückweg fliegt sie mit 1025km/h. Damit benötigt sie für diese Strecke:
-:'''b)''' Angenommen es herrscht Windstille. Wie lange dauert der Flug nun hin und zurück mindestens? Vergleiche mit dem Hin- und Rückflug bei Westwind!
+:<math>v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \quad \Longleftrightarrow \quad \Delta t = \frac{\Delta s}{v} = \frac{9300\,\rm km}{1025\,\rm km/h} = \mathrm{9{,}07\, h = 11\, h\ 4\,min }</math>
-:'''c)''' Wie schnell muss das Flugzeug mit und gegen den Wind fliegen, damit die angegebene Reisezeit von 11h 10min eingehalten werden kann?
 [[Datei:Aufgabe_Geschwindigkeit_vektoriell_Flugzeug.png|thumb|453px]]

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	:'''c)''' Wie schnell muss das Flugzeug mit und gegen den Wind fliegen, damit die angegebene Reisezeit von 11h 10min eingehalten werden kann?		:'''c)''' Wie schnell muss das Flugzeug mit und gegen den Wind fliegen, damit die angegebene Reisezeit von 11h 10min eingehalten werden kann?

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	:'''b)''' Angenommen es herrscht Windstille. Wie lange dauert der Flug nun hin und zurück mindestens? Vergleiche mit dem Hin- und Rückflug bei Westwind!		:'''b)''' Angenommen es herrscht Windstille. Wie lange dauert der Flug nun hin und zurück mindestens? Vergleiche mit dem Hin- und Rückflug bei Westwind!
	:'''c)''' Wie schnell muss das Flugzeug mit und gegen den Wind fliegen, damit die angegebene Reisezeit von 11h 10min eingehalten werden kann?		:'''c)''' Wie schnell muss das Flugzeug mit und gegen den Wind fliegen, damit die angegebene Reisezeit von 11h 10min eingehalten werden kann?
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		+	[[Datei:Aufgabe_Geschwindigkeit_vektoriell_Flugzeug.png\|thumb]]

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	:'''b)''' Angenommen es herrscht Windstille. Wie lange dauert der Flug nun hin und zurück mindestens? Vergleiche mit dem Hin- und Rückflug bei Westwind!		:'''b)''' Angenommen es herrscht Windstille. Wie lange dauert der Flug nun hin und zurück mindestens? Vergleiche mit dem Hin- und Rückflug bei Westwind!
	:'''c)''' Wie schnell muss das Flugzeug mit und gegen den Wind fliegen, damit die angegebene Reisezeit von 11h 10min eingehalten werden kann?		:'''c)''' Wie schnell muss das Flugzeug mit und gegen den Wind fliegen, damit die angegebene Reisezeit von 11h 10min eingehalten werden kann?
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 Oder man berechnet den schrägen Weg, also die Länge der Rolltreppe, den er mit 80cm/s zurücklegt.
 ====2) Über den Fluss====
-[[Datei:Aufgabe_Geschwindigkeit_vektoriell_Fluss.png|thumb|300px]]
+[[Datei:Aufgabe_Geschwindigkeit_vektoriell_Fluss.png|thumb]]
 Wenn Eva senkrecht zur Wasserströmung paddelt, setzt sich ihre Geschwindigkeit relativ zum Ufer aus zwei zueinander senkrecht stehenden Komponenten zusammen.
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 :<math>v= \sqrt{\left( 1\,\rm \frac{m}{s}\right)^2 + \left( 1{,}5\,\rm\frac{m}{s} \right)^2} = \sqrt{3{,}25\,\rm\frac{m^2}{s^2}} = 1{,}8 \,\rm\frac{m}{s}</math>
-'''b)''' Evas Geschwindigkeit quer zur Wasserströmung beträgt 1m/s. Daher braucht sie auch 20s bis zum anderen Ufer:
+'''b)''' Evas Geschwindigkeit quer zur Wasserströmung beträgt 1,5m/s. Daher braucht sie ca. 13s für die 20m bis zum anderen Ufer:
-:<math>v_y = \frac{\Delta s}{\Delta t} \quad \Longleftrightarrow \quad 1\,\rm \frac{m}{s} = \frac{20\,\rm m}{\Delta t}</math>
+:<math>v_y = \frac{\Delta s}{\Delta t} \quad \Longleftrightarrow \quad 1{,}5\,\rm \frac{m}{s} = \frac{20\,\rm m}{\Delta t}</math>
 Nach der Zeit aufgelöst ergibt sich:
-:<math>\Delta t = \frac{20\,\rm m}{1\,\rm \frac{m}{s}} = 20\,\rm s</math>
+:<math>\Delta t = \frac{20\,\rm m}{1{,}5\,\rm \frac{m}{s}} = 13{,}3\,\rm s</math>
-'''c)''' Da sie 20s unterwegs ist und in jeder Sekunde 1,5m abgetrieben wird, wird sie insgesamt um 30m abgetrieben:
+'''c)''' Da sie 13,3s unterwegs ist und in jeder Sekunde 1m abgetrieben wird, wird sie insgesamt um 13,3m abgetrieben:
-:<math>v_x = \frac{\Delta s}{\Delta t} \quad \Longleftrightarrow \quad 1{,}5\,\rm \frac{m}{s} = \frac{\Delta s}{20\,\rm s}</math>
+:<math>v_x = \frac{\Delta s}{\Delta t} \quad \Longleftrightarrow \quad 1\,\rm \frac{m}{s} = \frac{\Delta s}{13{,}3\,\rm s}</math>
 Nach der Strecke aufgelöst ergibt sich:
-:<math>\Delta s = v\, \Delta t = 1{,}5\,\rm \frac{m}{s} \cdot 20\,\rm s = 30\,\rm m</math>
+:<math>\Delta s = v\, \Delta t = 1\,\rm \frac{m}{s} \cdot 13{,}3\,\rm s = 30\,\rm m</math>
-Jetzt will Eva wieder zurückfahren, aber diesmal möchte sie nicht wieder abgetrieben werden, sondern genau auf der gegenüberliegenden Seite ankommen.
+[[Datei:Aufgabe_Geschwindigkeit_vektoriell_Fluss_schräg.png|thumb]]
-:'''d)''' Welche Fahrtrichtung muss Eva wählen, wenn sie weiterhin mit 1 m/s paddelt?
+'''d)''' Eva muss so schräg fahren, dass die Summe ihrer Geschwindigkeit relativ zum Wasser und der Strömungsgeschwindigkeit senkrecht zur Wasserströmung ist. (Dazu muss ihre Geschwindigkeitskomponente gegen die Wasserströmung gerade 1m/s betragen.) <br/>
-:'''e)''' Wie lange dauert die Fahrt?
+Daraus ergibt sich für den Winkel <math>\beta</math>:
 ====3) Über den Atlantik fliegen====