Beschreibung einer harmonischen Schwingung mit einer Differentialgleichung - Versionsgeschichte

Patrick.Nordmann: /* Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung */

2021-10-19T16:34:05Z

‎Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung

Patrick.Nordmann: /* Graphisches Lösen */

2017-03-23T17:07:42Z

‎Graphisches Lösen

Patrick.Nordmann: /* Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung */

2017-03-23T17:05:35Z

‎Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung

Patrick.Nordmann: /* Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung */

2016-10-11T17:39:00Z

‎Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung

Patrick.Nordmann: /* Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung */

2016-10-11T17:37:47Z

‎Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung

Patrick.Nordmann am 29. März 2016 um 05:17 Uhr

2016-03-29T05:17:30Z

Patrick.Nordmann: /* Lösen durch Ableiten */

2015-01-19T20:42:37Z

‎Lösen durch Ableiten

Patrick.Nordmann: /* Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung */

2015-01-13T14:57:30Z

‎Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung

Patrick.Nordmann: /* Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung */

2014-11-26T16:01:23Z

‎Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung

Patrick.Nordmann am 19. November 2013 um 23:44 Uhr

2013-11-19T23:44:54Z

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 ==Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung==
-[[Bild:Schwingungen_Wagen_an_Feder.png|thumb|250px|Die Ausgangssituation.]]
+{|
+|valign="top"|
-[[Bild:Schwingungen_y_F_Zusammenhang.png|thumb|Zusammenhang von Ort und Rückstellkraft.]]
-−
 * Man betrachtet eine vereinfachte Situation: Ein Körper wird als punktförmige Masse idealisiert, die an einer masselosen, hookschen Feder befestigt ist und sich reibungslos bewegen kann.
 * Die äußere Situation wird durch den Zusammenhang von Ort y und Kraft F gegeben. (Wo wirkt welche Kraft?)
 Bei einer hookschen Feder ist die Kraft proportional zur Auslenkung. Die Proportionalitätskonstante ist die Federhärte D. Die Rückstellkraft wirkt immer entgegen der Elongationsrichtung, es gilt also: <math> F=-Dy </math>.
 * Wir suchen nun Bewegungen des Körpers in der Zeit, also Zeit-Ort-Zusammenhänge y(t), die in diesem Kraftverlauf möglich sind.
 * Die Lösung liefert uns das Newtonsche Axiom <math> F=\dot p = m a = m \ddot y</math>. Es beschreibt nämlich den Zusammenhang zwischen Kraftverlauf und dem zeitlichen Ablauf der Bewegung!
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 Wir suchen also Zeit-Ort-Gesetze, deren zweite zeitliche Ableitung ein negatives Vielfaches von sich selbst sind!!
 ===Graphisches Lösen===

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 ||<math>y < 0 </math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> || <math> y > 0 </math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> || Der Graph hat eine Linkskurve.
 |-
-||<math> y << 0</math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> || <math> y >> 0</math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> ||Der Graph hat starke Linkskurve.
+||<math> y << 0</math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> || <math> y >> 0</math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> ||Der Graph hat eine starke Linkskurve.
 |-
 |}
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 Beginnt man das Zeichnen des Graphens für <math>t=0</math> und <math>y>0</math>, so ergibt sich der gleiche Verlauf, nur etwas verschoben.
 Aus diesen Überlegungen wird klar, dass der Graph eine Art Wellenlinie sein muss und dass die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus gute Kandidaten dafür sind.
-−
 ===Lösen durch Ableiten===

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 Bei einer hookschen Feder ist die Kraft proportional zur Auslenkung. Die Proportionalitätskonstante ist die Federhärte D. Die Rückstellkraft wirkt immer entgegen der Elongationsrichtung, es gilt also: <math> F=-Dy </math>.
 * Wir suchen nun Bewegungen des Körpers in der Zeit, also Zeit-Ort-Zusammenhänge y(t), die in diesem Kraftverlauf möglich sind.
-* Die Lösung liefert uns das Newtonsche Axiom <math> F=\dot p = m a = m \ddot y</math>. Es beschreibt nämlich den Zusammenhang zwischen Kraftverlauf und zeitlichen Ablauf der Bewegung!
+* Die Lösung liefert uns das Newtonsche Axiom <math> F=\dot p = m a = m \ddot y</math>. Es beschreibt nämlich den Zusammenhang zwischen Kraftverlauf und dem zeitlichen Ablauf der Bewegung!
 Die Kraft hat man nun auf zwei Arten beschrieben. Einerseits abhängig von der Zeit und andererseits räumlich, abhängig vom Ort. Dann kann man die beiden Ansätze gleichsetzen:

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 |}
-Wir suchen also Zeit-Ort-Gesetze, deren zweite zeitliche Ableitung ein Vielfaches von sich selbst sind!!
+Wir suchen also Zeit-Ort-Gesetze, deren zweite zeitliche Ableitung ein negatives Vielfaches von sich selbst sind!!
 ===Graphisches Lösen===

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 {|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
+|
-:<math>\ddot y= -\frac{D}{m} \ y  </math>
+:<math>\ddot y(t) = -\frac{D}{m} \ y(t)  </math>
 Differentialgleichung (DGL) der harmonischen Schwingung
 |}
-Wir suchen also Zeit-Orts-Gesetze, deren zweite zeitliche Ableitung ein Vielfaches von sich selbst sind!!
+Wir suchen also Zeit-Ort-Gesetze, deren zweite zeitliche Ableitung ein Vielfaches von sich selbst sind!!
 ===Graphisches Lösen===

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		+	([[Inhalt_Kursstufe\|'''Kursstufe''']] > [[Inhalt_Kursstufe#Mechanische Schwingungen\|''' Mechanische Schwingungen''']])
		+
		+
	Ziel dieser Untersuchung einer Schwingung ist es, von den Eigenschaften des schwingenden Systems auf die Bewegung zu schließen. Damit kann man von z.B. der Masse, der Härte der Feder oder der Stärke der Gravitation, etc. auf Eigenschaften der Schwingung, wie die Frequenz, die maximale Geschwindigkeit, etc schließen.		Ziel dieser Untersuchung einer Schwingung ist es, von den Eigenschaften des schwingenden Systems auf die Bewegung zu schließen. Damit kann man von z.B. der Masse, der Härte der Feder oder der Stärke der Gravitation, etc. auf Eigenschaften der Schwingung, wie die Frequenz, die maximale Geschwindigkeit, etc schließen.

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 Dieser Ansatz löst also die DGL <math>\ddot y = + \frac{D}{m}\, y</math>. Das entspricht einer Kraft, die proportional zur Auslenkung ist, aber nicht zur Ruhelage hin wirkt, sondern von ihr weg! In diesem Fall würde sich ein Gegenstand exponentiell von der Ruhelage entfernen.
-Man sieht außerdem die starke Vewandschaft zwischen der e-Funktion und den Winkelfunktionen. Wenn man sich mit komplexen Zahlen beschäftigt, versteht man warum. (Eine kurze Einführung findet man [http://www.fieldtheory.uni-oldenburg.de/polley/QM/poster.pdf hier]. (L.Polley, Fachbereich Physik, Universität Oldenburg))
+Man sieht außerdem die starke Verwandschaft zwischen der e-Funktion und den Winkelfunktionen. Wenn man sich mit komplexen Zahlen beschäftigt, versteht man warum. (Eine kurze Einführung findet man [http://www.fieldtheory.uni-oldenburg.de/polley/QM/poster.pdf hier]. (L.Polley, Fachbereich Physik, Universität Oldenburg))
 ===Berechnung der Frequenz===

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 :<math> m \,\ddot y = -D \, y</math>
- <math>\ddot y= -\frac{D}{m} \ y  </math>   Differentialgleichung (DGL) der harmonischen Schwingung
+{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
 Wir suchen also Zeit-Orts-Gesetze, deren zweite zeitliche Ableitung ein Vielfaches von sich selbst sind!!
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 ===Lösen durch Ableiten===
 Durch systematisches Probieren findet man Lösungen dieser DGL:
- <math> y(t)=\hat y \, \sin(\omega \,t)</math> Schwingungen mit einer beliebigen Amplitude und Frequenz
+{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
- <math> y(t)=\hat y \, \sin(\omega t + \varphi_0)</math> Schwingungen mit einer zusätzlichen Phasenverschiebung
- <math> y(t) = 0</math> Der Stillstand ist auch eine Lösung!
+:<math> y(t)=\hat y \, \sin(\omega \,t)</math>
 Zur Begründung muss man die Ortsgesetze zweimal ableiten, z.B. bei
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 Dieser Ansatz löst also die DGL <math>\ddot y = + \frac{D}{m}\, y</math>. Das entspricht einer Kraft, die proportional zur Auslenkung ist, aber nicht zur Ruhelage hin wirkt, sondern von ihr weg! In diesem Fall würde sich ein Gegenstand exponentiell von der Ruhelage entfernen.
-Man sieht ausserdem die starke Vewandschaft zwischen der e-Funktion und den Winkelfunktionen. Wenn man sich mit komplexen Zahlen beschäftigt, versteht man warum. (Eine kurze Einführung findet man [http://www.fieldtheory.uni-oldenburg.de/polley/QM/poster.pdf hier]. (L.Polley, Fachbereich Physik, Universität Oldenburg))
+Man sieht außerdem die starke Vewandschaft zwischen der e-Funktion und den Winkelfunktionen. Wenn man sich mit komplexen Zahlen beschäftigt, versteht man warum. (Eine kurze Einführung findet man [http://www.fieldtheory.uni-oldenburg.de/polley/QM/poster.pdf hier]. (L.Polley, Fachbereich Physik, Universität Oldenburg))
 ===Berechnung der Frequenz===
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 <math>\ddot y= -\frac{D}{m} \, y  </math>  , so folgt direkt:
- die Frequenz einer harmonischen Schwingung, sie hängt nicht von der Amplitude ab!
+{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
- <math>\omega^2= \frac{D}{m}</math>  oder  <math>\omega= \sqrt{\frac{D}{m}}</math>  ;  <math> f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}</math>  ;  <math> T =  2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}</math>
 Die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt aus der Kreisfrequenz mit:

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 <math> \omega=2\,\pi\, f </math> und <math> T = \frac{1}{f}</math>
-==Untersuchung dreier Schwingungen==
+==[[Untersuchung von Schwingungen mit der Differentialgleichung|Beispiele]]==
+Die Differentialgleichung und deren Lösung eines Fadenpendels, eines Federpendels und einer schwingenden Wassersäule findet man [[Untersuchung von Schwingungen mit der Differentialgleichung|hier]].
-* Ziel der Untersuchung ist es, das -Zeit-Orts-Gesetz <math> y(t)</math> und damit auch die Frequenz der Schwingung aus der äußeren Situation, wie z.B. die Masse eines Körpers herzuleiten.
-−
-Dazu ist es sinnvoll jeweils die DGL aufzustellen. Zunächst muss man ein Koordinatensystem wählen und den Ort-Kraft-Verlauf bestimmen. Vor allem beim Fadenpendel hilft auch ein Blick in ein Buch oder ins Internet weiter.
-−
-Als Ergebnis sollen Sie sowohl eine allgemeine Formel erstellen, sowie eine konkrete Rechnung mit den gemessenen Größen durchführen.
-−
-* Welche Schlussfolgerung können Sie aus der allgemeinen Lösung ziehen? (Z.B. Abhängigkeit von der Masse, etc.)
-−
-* Vergleichen Sie dann die errechnete Frequenz mit der gemessenen und führen Sie eine Fehlerrechnung durch.
-−
-−
-===Das Fadenpendel===
-−
-[[Bild:Fadenpendel_mit_Kraftvektoren.jpg|thumb|none|Fadenpendel mit wirkenden Kräften]]
-−
-−
-<math> F_{II}=-mg*sin(\phi)</math>
-−
-da: <math> y=\phi*l</math>
-−
-<math> F_{II}=-mg*sin((1/l) * y)</math>
-−
-<math> F_{II}=-m*\ddot y</math>
-−
-<math> \ddot y=g*sin((1/l) * y)</math>
-−
-===Schwingendes Wasser im U-Rohr===
-{|
-|[[Bild:Versuchsaufbau_Schwingendes_Wasser_im_U-Rohr.jpg|thumb|120px|none|Versuchsaufbau: Schwingendes Wasser im U-Rohr]]
-|[[Bild:Wassersäule_U-Rohr_schematisch.jpg|thumb|none|Der schematische Versuchsaufbau]]
-|}
-−
-Um die Amplitude in ein Koordinatensystem einzuzeichnen, nimmt man nur eine Seite des Schlauches und misst den Ausschlag s der Flüssigkeit aus der Ruhelage nach oben bezieghungsweise unten.
-−
-−
-Vermutungen wovon die Frequenz abhängen könnte
-−
-*Wassermenge
-*Rohrdicke
-*Rohrkrümmung
-*Rauigkeit
-*Art der Flüssigkeit
-*Amplitude
-−
-Aus den in der Differienzialgleichung verwendeten Faktoren lässt sich schließen, dass von diesen Vermutungen die Wassermenge und die Rohrdicke sowie zusätzlich die Erdbeschleunigung einen Einfluss auf die Frequenz nehmen. Ergebnis DGL: <math> y''=-2APg/m*y</math>
-−
-===Federpendel im Gravitationsfeld===
-{|
-|[[Bild:Versuchsaufbau_Federpendel.jpg|thumb|none|100px|Versuchsaufbau Federpendel]]
-|[[Bild:Schwingungen_y_F_Zusammenhang_verschobener_Nullpunkt.png|thumb|300px|none]]
-|}
-Der Ursprung des Koordinatensystem entspricht bei a) dem Ende der entspannten Feder. Bei Abbildung b) entspricht der Ursprung der Ruhelage des Pendels. Sowohl bei a), als auch bei b), hängt die Masse m an der Feder
-−
-Daraus ergibt sich die Differentialgleichung zweiter Ordnung:
-<math>   \ddot y=-D/my</math>
-mit der Lsg:
-<math>   \sin(\sqrt{D/m}t)</math>
-woraus man auf die vollständige Zustandsvorschrift  <math>y</math> schliessen kann:
-<math>   y=\hat y\sin(wt)  \rightarrow  y=\hat y\sin(\sqrt{D/m}t)</math>