Die Maxwellschen Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
(→Die 2. Maxwellsche Gleichung (Erzeugung von elektrischen Wirbelfeldern / Induktion)) |
(→Elektro- und Magnetostatik) |
||
| Zeile 9: | Zeile 9: | ||
:<math>{Q \over A}=\epsilon_0 E</math> | :<math>{Q \over A}=\epsilon_0 E</math> | ||
: <math>Q = \epsilon_0 E \, A = \epsilon_0 \int E \cdot dA</math> (bei genauerer Betrachtung) | : <math>Q = \epsilon_0 E \, A = \epsilon_0 \int E \cdot dA</math> (bei genauerer Betrachtung) | ||
| − | |||
: <math>Q = \epsilon_0 \int E \cdot dA</math> | : <math>Q = \epsilon_0 \int E \cdot dA</math> | ||
| Zeile 17: | Zeile 16: | ||
Material im elektrischen Feld: | Material im elektrischen Feld: | ||
| − | Auch die Enden der Polarisation sind Quellen und Senken | + | Auch die Enden der Polarisation sind Quellen und Senken der elektrischen Feldstärke. |
| − | "Es gehen genausoviele Polarisierungslinien hinein wie elektrische | + | "Es gehen genausoviele Polarisierungslinien hinein wie elektrische Feldstärkelinien heraus." |
: <math>\epsilon_0 \int E \cdot dA = -\int P \cdot dA</math> | : <math>\epsilon_0 \int E \cdot dA = -\int P \cdot dA</math> | ||
An den Enden des polarisierten Gegenstandes befinden sich Polarisationsladungen, welche die Quellenstärke angeben: | An den Enden des polarisierten Gegenstandes befinden sich Polarisationsladungen, welche die Quellenstärke angeben: | ||
| − | : <math>Q_{pol}=\int P \cdot dA</math> | + | : <math>Q_{pol} = -\int P \cdot dA</math> |
| − | + | Zusammen mit den elektrischen Ladungen gibt es also zwei Möglichkeiten Quellen und Senken der elektrischen Feldstärke zu erzeugen: | |
| − | Zusammen mit den elektrischen Ladungen gibt es also zwei Möglichkeiten Quellen und Senken | + | : <math>\epsilon_0 \int E \cdot dA = Q + Q_{pol} \qquad \text{mit} \qquad Q_{pol} = -\int P \cdot dA</math> |
| − | : <math>\epsilon_0 \int E \cdot dA = Q | + | |
| − | + | ||
Es ist üblich die Polarisierung und die elektrische Feldstärke zu einer Größe, der "elektrischen Flusdichte D" zusammenzufassen. Die elektrische Flussdichte entspricht in einfachen Fällen, wie einem Kondensator, der Flächenladungsdichte. | Es ist üblich die Polarisierung und die elektrische Feldstärke zu einer Größe, der "elektrischen Flusdichte D" zusammenzufassen. Die elektrische Flussdichte entspricht in einfachen Fällen, wie einem Kondensator, der Flächenladungsdichte. | ||
| + | :<math> \int (\epsilon_0 E + P )\cdot dA = Q </math> | ||
:<math>\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}</math> | :<math>\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}</math> | ||
| Zeile 36: | Zeile 34: | ||
vergrößern | vergrößern | ||
| − | + | Die Enden der Magnetisierung sind Quellen und Senken der magnetischen Feldstärke. | |
| − | Die Enden der Magnetisierung sind Quellen und Senken | + | "Es gehen genausoviele Magnetisierungslinien hinein wie magnetische Feldstärkelinien heraus." |
| − | "Es gehen genausoviele Magnetisierungslinien hinein wie magnetische | + | |
: <math>\mu_0 \int E \cdot dA = -\mu_0\, \int M \cdot dA</math> | : <math>\mu_0 \int E \cdot dA = -\mu_0\, \int M \cdot dA</math> | ||
Die Quellenstärke wird also durch die Stärke der Pole gegeben. Diese Polstärke kann man auch als "magnetische Ladung" bezeichnen: | Die Quellenstärke wird also durch die Stärke der Pole gegeben. Diese Polstärke kann man auch als "magnetische Ladung" bezeichnen: | ||
| − | : <math>Q_{mag}=\int M \cdot dA</math> | + | :<math>Q_{mag}= -\mu_0 \, \int M \cdot dA</math> |
Im Gegensatz zum elektrischen Feld gibt es keine magnetischen Monopole, deswegen kann man magnetische Felder nur durch Magnetisierung erzeugen: | Im Gegensatz zum elektrischen Feld gibt es keine magnetischen Monopole, deswegen kann man magnetische Felder nur durch Magnetisierung erzeugen: | ||
| − | : <math>\mu_0 \int | + | : <math>\mu_0 \int E \cdot dA = Q_{mag} \qquad \textrm{mit} \qquad Q_{mag} = -\mu_0\, \int M \cdot dA</math> |
| − | + | ||
Es ist üblich die Magnetisierung und die magnetische Feldstärke zu einer Größe, der "magnetischen Flussdichte B" zusammenzufassen. Die magnetische Flussdichte ist die entscheidende Größe für die Lorentzkraft und die Induktion. | Es ist üblich die Magnetisierung und die magnetische Feldstärke zu einer Größe, der "magnetischen Flussdichte B" zusammenzufassen. Die magnetische Flussdichte ist die entscheidende Größe für die Lorentzkraft und die Induktion. | ||
| + | :<math> \int \mu_0 (H+M) \cdot dA = 0</math> | ||
:<math>\vec{B} = \mu_0 (\vec H + \vec M)</math> | :<math>\vec{B} = \mu_0 (\vec H + \vec M)</math> | ||
| − | + | :<math> \int B \cdot dA = 0 </math> | |
| − | : <math> \int B \cdot dA = 0 </math> | + | |
Die Linien der magnetischen Flußdichte bilden daher stets geschlossene Kreise. | Die Linien der magnetischen Flußdichte bilden daher stets geschlossene Kreise. | ||
Version vom 17. Dezember 2015, 12:08 Uhr
Inhaltsverzeichnis
- 1 James Clerk Maxwell
- 2 Elektro- und Magnetostatik
- 3 Elektromagnetismus
- 4 Links
James Clerk Maxwell
Der 1831 in Edinburgh geborene James Maxwell war, bis zu seinem Tod 1879, einer der bedeutensten Physiker des 20.ten Jahrhunderts. Zu seinen wichtigsten Entdeckungen zählen die Geschwindigkeitsverteilung von Gasmolekülen (Maxwellverteilung), die Vereinigung elektrischer und magnetischer Phenomene zum Elektromagnetismus (Maxwellsche Gleichungen), sowie Theorien über die (elektromagnetische)-Wellenartigkeit des Lichts.
Elektro- und Magnetostatik
Die 3. Maxwellsche Gleichung (Erzeugung von elektrischen Feldern durch Ladung und Polarisation)
vergrößern
Siehe: Felderzeugende Ladung und Feldstärke Weitere Abstraktion:
- [math]{Q \over A}=\epsilon_0 E[/math]
- [math]Q = \epsilon_0 E \, A = \epsilon_0 \int E \cdot dA[/math] (bei genauerer Betrachtung)
- [math]Q = \epsilon_0 \int E \cdot dA[/math]
Die Summe der elektrischen Feldstärke von allen Punkten einer geschlossenen Fläche entspricht der elektrischen Ladung innerhalb dieser Fläche.
Material im elektrischen Feld:
Auch die Enden der Polarisation sind Quellen und Senken der elektrischen Feldstärke. "Es gehen genausoviele Polarisierungslinien hinein wie elektrische Feldstärkelinien heraus."
- [math]\epsilon_0 \int E \cdot dA = -\int P \cdot dA[/math]
An den Enden des polarisierten Gegenstandes befinden sich Polarisationsladungen, welche die Quellenstärke angeben:
- [math]Q_{pol} = -\int P \cdot dA[/math]
Zusammen mit den elektrischen Ladungen gibt es also zwei Möglichkeiten Quellen und Senken der elektrischen Feldstärke zu erzeugen:
- [math]\epsilon_0 \int E \cdot dA = Q + Q_{pol} \qquad \text{mit} \qquad Q_{pol} = -\int P \cdot dA[/math]
Es ist üblich die Polarisierung und die elektrische Feldstärke zu einer Größe, der "elektrischen Flusdichte D" zusammenzufassen. Die elektrische Flussdichte entspricht in einfachen Fällen, wie einem Kondensator, der Flächenladungsdichte.
- [math] \int (\epsilon_0 E + P )\cdot dA = Q [/math]
- [math]\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}[/math]
- [math] \int D \cdot dA = Q [/math]
Die 4. Maxwellsche Gleichung (Erzeugung von magnetischen Feldern durch Magnetisierung)
vergrößern
Die Enden der Magnetisierung sind Quellen und Senken der magnetischen Feldstärke. "Es gehen genausoviele Magnetisierungslinien hinein wie magnetische Feldstärkelinien heraus."
- [math]\mu_0 \int E \cdot dA = -\mu_0\, \int M \cdot dA[/math]
Die Quellenstärke wird also durch die Stärke der Pole gegeben. Diese Polstärke kann man auch als "magnetische Ladung" bezeichnen:
- [math]Q_{mag}= -\mu_0 \, \int M \cdot dA[/math]
Im Gegensatz zum elektrischen Feld gibt es keine magnetischen Monopole, deswegen kann man magnetische Felder nur durch Magnetisierung erzeugen:
- [math]\mu_0 \int E \cdot dA = Q_{mag} \qquad \textrm{mit} \qquad Q_{mag} = -\mu_0\, \int M \cdot dA[/math]
Es ist üblich die Magnetisierung und die magnetische Feldstärke zu einer Größe, der "magnetischen Flussdichte B" zusammenzufassen. Die magnetische Flussdichte ist die entscheidende Größe für die Lorentzkraft und die Induktion.
- [math] \int \mu_0 (H+M) \cdot dA = 0[/math]
- [math]\vec{B} = \mu_0 (\vec H + \vec M)[/math]
- [math] \int B \cdot dA = 0 [/math]
Die Linien der magnetischen Flußdichte bilden daher stets geschlossene Kreise.
Elektromagnetismus
Die 1. Maxwellsche Gleichung / Durchflutungsgesetz (Erzeugung von magnetischen Wirbelfeldern)
Etwas analoges zu einem elektrischen Wirbelfeld findet man im magnetischen Feld bei den magnetischen Wirbelfeldern. Wie bereits bekannt entstehen diese um elektrische Ströme. (siehe Die magnetische Feldstärke.)
Allgemeiner gefasst:
- [math]Hl = I[/math] entspricht [math]\int H \cdot ds = I[/math]
Der Verschiebungsstrom
Gedankenversuch: Laden eines Kondensators
- Aufbau
- Ablauf
Nach dem Ampereschen Gesetz müsste sich überall entlang des Kabels ein magnetisches Wirbelfeld bilden, solange der Kondensator aufgeladen wir und dazu ein Strom fließt. Die Vorstellung, das dieses magnetische Wirbelfeld allerdings genau beim Kondensator aufhört und direkt danach wieder beginnt, wirkt allderings befremdlich.
Aus diesem Grund erweiterte Maxwell das Amperesche Gesetz um den so genannten Verschiebungsstrom:
Wir betrachten zunächst die Ladung des Kondensators, indem wir uns eine Fläche um eine der Platten vorstellen:
Nach 1. Maxwellschen Gleichung erhalten wir:
- [math]Q = \epsilon_0 \int E \cdot dA[/math]
Die leiten wir nach der Zeit ab:
- [math]{dQ \over dt} = \epsilon_0 {d \over dt}\int E \cdot dA[/math]
Da die zeitliche Ableitung der Ladung auch als Strom gesehen werden kann:
- [math]I_v = \epsilon_0 {d \over dt}\int E \cdot dA[/math]
Diesen Verschiebungsstrom setzen wir nun wieder in das Amperesche Gesetz ein:
vergrößern vergrößern
- [math]\int H \cdot ds = I + \epsilon_0 {d \over dt}\int E \cdot dA[/math]
Um ein elektrischen Strom oder um ein sich änderndes elektrisches Feld entsteht also auch ein magnetisches Wirbelfeld.
Die 2. Maxwellsche Gleichung / Induktionsgesetz (Erzeugung von elektrischen Wirbelfeldern)
Versuch: Elektrisches Wirbelfeld (Elektrodenlose Ringentladung)
- Aufbau
Eine mit Neon gefüllte Glaskugel ist von einer Ringspule umgeben. Man legt eine hochfrequente (ca.10000Hz) Welchselspannung mit etwa 400 V an die Spule und erzeugt so ein sich schnell änderndes torusförmiges magnetisches Wechselfeld.
Bild 1
Rückseite der Geräte
Der alternative Aufbau mit einer Funkenstrecke
Hier wird die Eingangsspannung mit einem [math]320\,\rm \Omega[/math] Widerstand geregelt.
- Beobachtung
Bild 1
Mit der Funkenstrecke leuchtet das Gas so intensiv, dass man es schlecht beobachten kann.
Mit der regelbaren Eingangsspannung kann man die Intensität des Leuchtens herunterregeln.
Video des Versuchs.
Überlegung für Potentialfelder
Ein geschlossener rosa Kreis entsteht innerhalb der Glaskugel. Dies lässt auf ein elektrisches Feld schließen. Da dies jedoch rund ist, kann es sich nicht um ein Potenzialfeld handeln, sonder nur um ein elektrisches Wirbelfeld.
- [math]U_{1,2} = \phi_1 - \phi_2 = \int_{P_1}^{P_2} E \cdot ds[/math]
Bei gleichem Anfangs- und Endpunkt:
- [math]\int_{P_1}^{P_1} E \cdot ds = 0\quad \text{also}\quad \oint_{} E \cdot ds = 0[/math]
Im Wirbelfeld
Für ein Wirbelfeld wird dieses geschlossene Integral also nicht null ergeben, sondern eine andere induzierte Spannung: [math]\oint_{} E_{ind} \cdot ds = U_{ind}[/math]
Mit [math]U_{ind} = -{d \Phi \over dt}[/math]:
- [math]\oint_{} E_{ind} \cdot ds = -{d \Phi \over dt}[/math]
Da [math]\Phi = A \cdot B \quad \text{genauer}\quad \Phi = \int B \cdot dA[/math]:
- [math]\oint_{} E_{ind} \cdot ds = -{d \over dt}\int B \cdot dA[/math]
Um ein sich änderndes Magnetfeld entsteht also ein elektrisches Wirbelfeld.
Links
- Video und Versuchsaufbau elektrodenlose Ringentladung (Landesbildungsserver BaWü)
- Elektrodenlose Ringentladung Vorlesungssammlung Physik der Universität Ulm
- youtube: Tesla Trafo(Leybold)
