Zusammenfassung: Das elektrische Feld: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 5. Mai 2017, 08:23 Uhr

(Kursstufe > Das elektrische Feld)

Feldtheorie

• Das elektrische Feld vermittelt eine Wechselwirkung zwischen Gegenständen, die elektrische Ladung tragen.

Das elektrische Feld drückt alle Gegenstände mit gleichnamigen elektrischen Ladungen $$Q$$ voneinander weg (+ + oder - -)

und zieht alle Gegenstände mit ungleichnamigen elektrischen Ladungen aufeinander zu (+ -).

Feldenergie

• Trennt man Ladungen, so speichert das elektrische Feld die dazu nötige Energie.

Graphische Darstellung

• Die Feldlinien geben die Kraftrichtung auf einen positven Probekörper an.
• Die Feldflächen stehen senkrecht auf den Linien.

Zug- und Druckspannungen

• Das elektrische Feld steht parallel zu den Linien unter Zugspannung und parallel zu den Flächen unter Druckspannung.

"Feldlinien sind sich abstoßende Gummibänder"

Feldstärke

• Die Feldstärke ist der Ortsfaktor des Feldes an einer Stelle und eine vektorielle Größe.

Sie gibt die auf eine Ladungseinheit normierte Kraftwirkung an:

$$\vec E=\frac{\vec F}{Q} \quad \Leftrightarrow \quad \vec F=Q\, \vec E$$

Potential

• Bewegt man einen Probekörper in einem elektrischen Feld, so speichert das Feld die benötigte Energie oder gibt sie wieder ab.

Diese Energie heißt potentielle Energie.

• Der Probekörper bewegt sich im Feld ähnlich wie eine rollende Kugel im Potentialgebirge.

Feldflächen sind Äquipotentialflächen und entsprechen den Höhenlinien im Potentialgebirge.

• Das Potential eines Feldes gibt die auf eine Ladungseinheit normierte potentielle Energie in Bezug auf ein Nullniveau an.

Der Potentialunterschied zwischen zwei Punkten heißt Spannung:

$$\varphi = \frac{W}{Q}$$ ^[1] $$\textrm{ }\qquad \Delta \varphi = U$$

Bewegt sich ein Probekörper mit der Ladung Q die Spannung U herauf (herab), so nimmt die Energie zu (ab) um:

$$W = Q\,U$$

• Die Feldstärke ist die räumliche Änderungsrate des Potentials. ("Steilheit des Potentialgebirges")

$$E = \varphi' \approx \frac{\Delta \varphi}{\Delta s} = \frac{U}{d}$$

Ladung als Quellenstärke

• Die Feldstärke kann man als "Feldliniendichte" interpretieren.

Die "Anzahl der Feldinien" durch eine Fläche als Feldfluss.

• Der Feldfluss durch eine geschlossene Fläche ist gerade die enthaltene Ladung. Die Feldstärke ist proportional zur "Flächenladungsdichte".

Bei einer Feldstärke von 1 N/C und einer Oberfläche von 1m² beträgt die von der Fläche umschloßene Ladung $$8{,}85 \cdot 10^{-12} \mathrm C$$ .

$$\epsilon_0 \, E \, A = Q \quad \Leftrightarrow \quad E = \frac{1}{\epsilon_0}\frac{Q}{A} \qquad \qquad \qquad \varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12} \frac {\mathrm{A}\,\mathrm{s}} {\mathrm{V}\,\mathrm{m}} \text{ ist die elektrische Feldkonstante}$$

Der Kondensator

• Ein einfacher Plattenkondensator besteht aus zwei parallelen Platten.

Vereinfachend nimmt man an, dass sich nur zwischen den Platten ein homogenes Feld befindet.

• Einen geladenen Kondensator kann man mit einem aufgepumpten Fahrradreifen vergleichen:

Fahrradreifen	Kondensator
speichert Luft	speichert el. Ladung
Druckenergie der Luft	el. Energie des Feldes
Luftdruck	el. Potential
Druckunterschied	Spannung

• Der konstante Quotient aus Ladung und Spannung eines idealen Kondensators heißt "Kapazität".

Die Kapazität ist proportional zur Plattenfläche und antiproportional zum Plattenabstand.

$$C=\frac{Q}{U} \quad \Leftrightarrow \quad Q = C\, U \qquad \Leftrightarrow \quad U = \frac{1}{C}\, Q \qquad \rm{mit} \it \qquad C = \epsilon_0 \, \frac{A}{d} \quad \left[ C \, \right]= \rm 1\, Farad \;(F)$$

• Die gespeicherte Energie entspricht der Fläche unter der U(Q)-Kennlinie:

$$E_{el}=\frac{1}{2} \, Q \, U = \frac{1}{2}\, \frac{1}{C}\, Q^2 = \frac{1}{2}\, C \, U^2$$

• Ein Kondensator mit Dielektrikum der Permittivität $$\epsilon_r$$ hat eine um den Faktor $$\epsilon_r$$ größere Kapazität:

$$C = \epsilon_0 \, \epsilon_r \, \frac{A}{d}$$

• Bei gleicher Spannung speichert ein Kondensator durch das Dielektrikum $$\epsilon_r$$ mal soviel Energie, weshalb auch die Energiedichte steigt:

$$\rho = \frac{W}{V} = \epsilon_0 \, \epsilon_r \, E^2$$

Der Anteil von $$1/\epsilon_r$$ wird im elektrischen Feld gespeichert, der Rest im polarisierten Dielektrikum.

• Die Kraft auf die Platten eines idealen Kondensators ohne Dielektrikum beträgt:

$$F=\frac{1}{2} \, Q \, E = \frac{1}{2}\, \epsilon_0 \,A\,E^2 = \frac{Q^2}{2\epsilon_0\,A} = \frac{W}{d}$$

Fußnoten

1. Hochspringen ↑ Die potentielle Energie kürzt man normalerweise mit $$E_{pot}$$ ab, aber der Buchstabe $$E$$ steht schon für die Feldstärke.