*: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 16. November 2017, 11:25 Uhr

Mathematische Beschreibung des Doppelspalts (eine Formel:)

Man geht davon aus, dass von jeder Spaltmitte aus sich eine Elementarwelle ausbreitet. Damit erhält man genau die gleiche Situation wie bei der Zwei-Quellen-Interferenz von Schallwellen. Nun will man die Überlagerung berechnen, genauer, die Überlagerung an einer Stelle des Schirms.

Die betrachtete Stelle

$P$ ist um

$a$ aus der optischen Achse verschoben und

$L$ vom Doppelspalt entfernt. Der Schirm befindet sich im Abstand

$l$ vom Doppelspalt.
Die Spaltmitten haben einen Abstand

$d$ voneinander und

$\Delta s$ ist der Gangunterschied der beiden Strahlen.

An der Stelle $P$ überlagern sich zwei Schwingungen gleicher Frequenz, aber evt. unterschiedlicher Phase^[1] .

Die Phasenverschiebung hängt direkt mit dem Unterschied der Weglänge der Elementarwellen von den Spalten bis zur Stelle $P$ , dem sogenannten Gangunterschied $\triangle s$ zusammen. Ist z.B. $\triangle s = 2 \ \lambda$ , so ist die Phasenverschiebung $2\cdot 2\pi$ und die Amplitude der Schwingung ist groß ("konstruktive Interferenz"). Ist $\triangle s = 1{,}5 \ \lambda$ , so ist die Phasenverschiebung $1{,5}\cdot 2\pi$ und die Amplitude der Schwingung ist null("destruktive Interferenz").

In der weiteren Rechnung nimmt man vereinfachend an, dass die Strecken $S_1 P$ und $S_2 P$ parallel sind, was für einen "großen" Abstand zwischen Schirm und Spalt gerechtfertigt ist, denn dann ist $L$ wesentlich größer als $d$ . Diese Näherung wird auch "Fernfeld-Näherung", "Fraunhofer-Näherung" oder "Fraunhofer-Beugung" genannt. Dann sind die beiden rechtwinkligen Dreiecke $S_1 R S_2$ und $M O P$ ähnlich, denn sie haben gleiche Winkel. Demnach gilt:

$\frac{\triangle s}{d} = \frac{a}{L} = \sin(\alpha)$

Weil man den Abstand $L$ schlecht messen kann, $l$ aber gut, kann man $L$ entweder mit dem Satz des Pythagoras berechnen oder man setzt bei "kleinem" Winkel $\alpha$ auch einfach $l \approx L$ als Näherung ein:

$\sin(\alpha) = \frac{\triangle s}{d} = \frac{a}{L} =\frac{a}{\sqrt{a^2+l^2}}\approx \frac{a}{l} \qquad \triangle s: \text{Gangunterschied zu den ''Spaltmitten''}$ $\triangle s = k \ \lambda \qquad \qquad \text{konstruktive Interferenz: Maximum k-ter Ordnung (k= 0,1,...)}$ $\triangle s = k \ \lambda - 1/2 \ \lambda \quad \text{destruktive Interferenz: Minimum k-ter Ordnung (k= 1,2,...)}$

Fußnoten

Hochspringen ↑ Vgl. mit der Überlagerung von mechanischen Schwingungen oder mechanischen Wellen.

[1] Hochspringen ↑ Vgl. mit der Überlagerung von mechanischen Schwingungen oder mechanischen Wellen.

[1]

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-__NOTOC__
+__NOTOC__==Mathematische Beschreibung des Doppelspalts (eine Formel:)==
-==Aufgaben zu Schwingungen II==
-====Eine "Schwingungswaage"====
+Man geht davon aus, dass von jeder Spaltmitte aus sich eine Elementarwelle ausbreitet. Damit erhält man genau die gleiche Situation wie bei der [[Interferenz#Zwei-Quellen-Interferenz|Zwei-Quellen-Interferenz von Schallwellen]]. Nun will man die Überlagerung berechnen, genauer, die Überlagerung an einer Stelle des Schirms.
-[[Datei:Waage_weltraum.jpg|thumb]]
+[[Datei:Doppelspalt_Zeichnung.png|thumb|516px|Die betrachtete Stelle <math>P</math> ist um <math>a</math> aus der optischen Achse verschoben und <math>L</math> vom Doppelspalt entfernt. Der Schirm befindet sich im Abstand <math>l</math> vom Doppelspalt.
-In der International Space Station (ISS) funktionieren die "normalen" Waagen nicht mehr, weil man dort die Gewichtskraft nicht messen kann. Aber trotzdem kann man sich auch dort wiegen!
+<br>Die Spaltmitten haben einen Abstand <math>d</math> voneinander und <math>\Delta s</math> ist der Gangunterschied der beiden Strahlen.]]
-Der Sitz dieser "Weltraumwaage" ist zwischen zwei Federn gespannt und kann so frei schwingen.
+An der Stelle <math>P</math> überlagern sich zwei Schwingungen gleicher Frequenz, aber evt. unterschiedlicher Phase<ref>Vgl. mit der [[Überlagerung_von_harmonischen_Schwingungen#Schwingungen_mit_gleicher_Frequenz|Überlagerung von mechanischen Schwingungen]] oder [[Interferenz; Überlagerung von Wellen|mechanischen Wellen]].</ref> .
-*Erläutern Sie, warum man mit dieser Waage die Masse der Astronautin bestimmen kann. Benutzen Sie hierfür die Begriffe Trägheit und beschleunigende Kraft/Rückstellkraft.
+Die Phasenverschiebung hängt direkt mit dem Unterschied der Weglänge der Elementarwellen von den Spalten bis zur Stelle <math>P</math>, dem sogenannten ''Gangunterschied'' <math>\triangle s</math> zusammen.
-*Wie verändert sich die Frequenz, wenn man die Amplitude der Schwingung verändert? Warum ist das für die Weltraumwaage sehr praktisch?
+Ist z.B. <math>\triangle s = 2 \ \lambda</math>, so ist die Phasenverschiebung <math>2\cdot 2\pi</math> und die Amplitude der Schwingung ist groß ("konstruktive Interferenz"). Ist <math>\triangle s = 1{,}5 \ \lambda</math>, so ist die Phasenverschiebung <math>1{,5}\cdot 2\pi</math> und die Amplitude der Schwingung ist null("destruktive Interferenz").
-Der leere Stuhl hat eine Masse von <math>m_0=2\, \rm kg</math> und schwingt mit einer Periode von <math>T=0{,}33\, \rm s</math>.
+In der weiteren Rechnung nimmt man vereinfachend an, dass die Strecken <math>S_1 P</math> und <math>S_2 P</math> parallel sind, was für einen "großen" Abstand zwischen Schirm und Spalt gerechtfertigt ist, denn dann ist <math>L</math> wesentlich größer als <math>d</math>. Diese Näherung wird auch "Fernfeld-Näherung", "Fraunhofer-Näherung" oder "Fraunhofer-Beugung" genannt.
-*Bestimmen Sie hieraus die Härte <math>D</math> der Feder.
+Dann sind die beiden rechtwinkligen Dreiecke <math>S_1 R S_2</math> und <math>M O P</math> ähnlich, denn sie haben gleiche Winkel. Demnach gilt:
+:<math>\frac{\triangle s}{d} = \frac{a}{L} = \sin(\alpha)</math>
+Weil man den Abstand <math>L</math> schlecht messen kann, <math>l</math> aber gut, kann man <math>L</math> entweder mit dem Satz des Pythagoras berechnen oder man setzt bei "kleinem" Winkel <math>\alpha</math> auch einfach <math>l \approx  L</math> als Näherung ein:
-Nun steigt die Astronautin in den Stuhl und die Periodendauer verlängert sich auf <math>T=1{,}87\, \rm s</math>.
+ {|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
-*Welche Masse hat die Astronautin?
+|
+<math>\sin(\alpha) = \frac{\triangle s}{d} = \frac{a}{L} =\frac{a}{\sqrt{a^2+l^2}}\approx \frac{a}{l} \qquad \triangle s: \text{Gangunterschied zu den ''Spaltmitten''}</math>
-In einem Modellversuch schwingt ein Wagen zwischen zwei Federn. Die Federkonstante einer Feder beträgt D= 3 N/m. Zusammen wirken sie wie eine Feder mit der doppelten Federkonstante. Der Wagen hat eine Masse von 190,6g.
+<math>\triangle s = k \ \lambda  \qquad \qquad \text{konstruktive Interferenz: Maximum k-ter Ordnung (k= 0,1,...)}</math>
-*Wie schwer  ist eine am Wagen befestigte Batterie, wenn der Wagen mit ihr nun in 5,6 Sekunden viermal schwingt?
+<math>\triangle s = k \ \lambda - 1/2 \ \lambda \quad \text{destruktive Interferenz: Minimum k-ter Ordnung (k= 1,2,...)}</math>
-(Ein Video mit einer ähnlichen "body mass measurement device" der NASA findet sich [http://www.youtube.com/watch?v=8rt3udip7l4 hier].)
+|}
-(Auch LEIFI beschäftigt sich [http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/mechanische-schwingungen/aufgaben#lightbox=/themenbereiche/mechanische-schwingungen/lb/mechanische-schwingungen-massebestimmung-im-weltall-0 hier] damit.)
+====Fußnoten====
+<references />
-====Schaukeltier II====
-Große und kleine Kinder schaukeln auf dem gleichen Tier unterschiedlich. Was ist der Unterschied?
-====Schwingmännchen III====
-[[Datei:Schwingmännchen.jpg|thumb|Eine Schwingprinzessin]]
-Das Männchen bringt 200g auf die Waage und verlängert beim Dranhängen die vorher unbelastete Feder um 40cm.
-*Wieso beträgt die Federkonstante (D) gerade 1/20 N/cm = 0,05 N/cm?
-*Zeichnen Sie den Zusammenhang von Rückstellkraft und Auslenkung, also den Graphen von <math>F(y)</math> in ein Koordinatensystem.
-*Mit welcher Frequenz wird das Männchen schwingen?
-Hängt man das Männchen nur an die Hälfte der Feder, so wird bereits bei der halben Auslenkung die entsprechende Kraft erreicht. Die Federkonstante D verdoppelt sich also. Entsprechendes ergibt sich, wenn man zwei Federn aneinander hängt: Die Federkonstante halbiert sich.
-*An welcher Stelle der Feder muss man festhalten, damit sich dadurch die Frequenz verdoppelt?
-====Schwingmännchen IV====
-Wie kann man es erreichen, dass das Männchen "doppelt so schnell", also mit doppelter Frequenz, schwingt?
-====Schwingmännchen V====
-Wie verändert sich die Frequenz und die Energie des Männchens, wenn sich
-*die Federkonstante verdoppelt
-*die Masse verdoppelt
-*die Amplitude verdoppelt
-und dabei die jeweils anderen Größen unverändert bleiben?
-====Energie====
-Welche Energie hat eine schwingender Körper der Masse 1kg, wenn er eine Periodendauer von 1s und eine Amplitude von 1cm hat?
-====Energie II====
-Wie muss ein Körper der Masse 1kg schwingen, damit die Schwingung 1J Energie hat?
-====Energie III====
-Zwei gleichschwere Körper schwingen mit der gleichen Amplitude, aber der eine doppelt so schnell wie der andere. Vergleichen sie die Energiemengen.

*: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 16. November 2017, 11:25 Uhr

Mathematische Beschreibung des Doppelspalts (eine Formel:)

Fußnoten

Navigationsmenü

Ansichten

Meine Werkzeuge

Navigation

Kurse

Nützliches

Suche

Werkzeuge