Die eulersche Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Schulphysikwiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Ableitungen von beliebigen Exponentialfunktionen)
(→‎Die Differentialgleichung von Exponentialfunktionen)
 
(10 dazwischenliegende Versionen des gleichen Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 3: Zeile 3:
 
Exponentialfunktionen beschreiben exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall. Dabei wird  ein Anfangswert <math>f(0)</math> immer wieder mit einer festen Basis <math>b</math>, die man auch Wachstumsfaktor nennt, multipliziert:
 
Exponentialfunktionen beschreiben exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall. Dabei wird  ein Anfangswert <math>f(0)</math> immer wieder mit einer festen Basis <math>b</math>, die man auch Wachstumsfaktor nennt, multipliziert:
  
 +
{|
 +
|style="vertical-align:top;"|
 
"Das menschliche Darmbakterium Escherichia coli hat unter Idealbedingungen in Laborkulturen eine Generationszeit von etwa 20 Minuten."<ref> Wikipedia: [https://de.wikipedia.org/wiki/Bakterielles_Wachstum#Exponentielle_Phase_.28log.29 Bakterielles_Wachstum] (26.11.2017)</ref>
 
"Das menschliche Darmbakterium Escherichia coli hat unter Idealbedingungen in Laborkulturen eine Generationszeit von etwa 20 Minuten."<ref> Wikipedia: [https://de.wikipedia.org/wiki/Bakterielles_Wachstum#Exponentielle_Phase_.28log.29 Bakterielles_Wachstum] (26.11.2017)</ref>
−
 
+
|
 
{|class="wikitable"
 
{|class="wikitable"
 
|Zeitschritte (je 20min)||0||1||2||3||4||...||<math>x</math>
 
|Zeitschritte (je 20min)||0||1||2||3||4||...||<math>x</math>
Zeile 10: Zeile 12:
 
|Anzahl ||1||2||4||8||16||...||<math>2^x</math>
 
|Anzahl ||1||2||4||8||16||...||<math>2^x</math>
 
|}
 
|}
−
 
+
|-
 +
|style="vertical-align:top;"|
 
Das radioaktive Iod-Isotop 131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen:<ref>Wikipedia: [https://de.wikipedia.org/wiki/Iod#Isotope Iodisotope] (26.11.2017)</ref>
 
Das radioaktive Iod-Isotop 131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen:<ref>Wikipedia: [https://de.wikipedia.org/wiki/Iod#Isotope Iodisotope] (26.11.2017)</ref>
−
 
+
|
 
{|class="wikitable"
 
{|class="wikitable"
 
|Zeitschritte (je 8Tage)||0||1||2||3||4||...||<math>x</math>
 
|Zeitschritte (je 8Tage)||0||1||2||3||4||...||<math>x</math>
 
|-
 
|-
 
|Masse (in g)||100||50||25||12,5||6,25||...||<math>100\cdot 0{,}5^x</math>
 
|Masse (in g)||100||50||25||12,5||6,25||...||<math>100\cdot 0{,}5^x</math>
 +
|}
 
|}
 
|}
  
 
===Die Graphen der Exponentialfunktionen mit Startwert 1===
 
===Die Graphen der Exponentialfunktionen mit Startwert 1===
 
{{#widget:Iframe  
 
{{#widget:Iframe  
−
|url=https://www.geogebra.org/material/iframe/id/sw4JpZh6/width/600/height/600/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
+
|url=https://www.geogebra.org/material/iframe/id/sw4JpZh6/width/603/height/550/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
 
|width=400
 
|width=400
−
|height=400
+
|height=367
 
|border=0
 
|border=0
 
}}
 
}}
  
−
==Die Eulersche Zahl e==
+
==Die natürliche Exponentialfunktion==
 
Die Eulersche Zahl lautet ungefähr:
 
Die Eulersche Zahl lautet ungefähr:
 
<math>e = 2{,}7182818284590452353602874713526624977572470936999595749 \ldots</math><ref>Bei der [https://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil NASA](26.11.2017) gibt's e auf fünf Millionen Nachkommastellen! (von Robert Nemiroff and Jerry Bonnell) </ref>
 
<math>e = 2{,}7182818284590452353602874713526624977572470936999595749 \ldots</math><ref>Bei der [https://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil NASA](26.11.2017) gibt's e auf fünf Millionen Nachkommastellen! (von Robert Nemiroff and Jerry Bonnell) </ref>
Zeile 36: Zeile 40:
 
''Ein'' Grund von vielen ist die Bestimmung der Ableitung von Exponentialfunktionen. Denn was ist z.B. <math>\left(2^x\right)'</math>?
 
''Ein'' Grund von vielen ist die Bestimmung der Ableitung von Exponentialfunktionen. Denn was ist z.B. <math>\left(2^x\right)'</math>?
  
−
===Die Ableitung von Exponentialfunktionen===
+
=====Die Differentialgleichung von Exponentialfunktionen=====
 
An den Beispielen mit den Bakterien oder dem radioaktiven Iod sieht man:
 
An den Beispielen mit den Bakterien oder dem radioaktiven Iod sieht man:
 
*Je größer der Bestand, desto größer die Änderungsrate.
 
*Je größer der Bestand, desto größer die Änderungsrate.
 +
 +
Wie hängt die Änderungsrate (Steigung) vom Bestand (Funktionswert) ab?
 +
{{#widget:Iframe
 +
|url=https://www.geogebra.org/material/iframe/id/SjqZsMv5/width/753/height/798/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
 +
|width=502
 +
|height=532
 +
|border=0
 +
}}
 +
 
Diese Aussage kann man auch mathematisch präziser formulieren und mit Hilfe des Differenzenquotienten beweisen:
 
Diese Aussage kann man auch mathematisch präziser formulieren und mit Hilfe des Differenzenquotienten beweisen:
 
{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
 
{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
 
|
 
|
 
:Bei exponentiellem Wachstum/Zerfall ist die Änderungsrate proportional zum Bestand:
 
:Bei exponentiellem Wachstum/Zerfall ist die Änderungsrate proportional zum Bestand:
−
::<math>f'(x) = k \cdot f(x) \qquad \text{}</math> (Differentialgleichung)
+
::<math>f'(x) = k \cdot f(x) \qquad \text{}</math> (Differentialgleichung, kurz DGL)
 
:Die Zahl <math>k</math> heißt "Wachstumskonstante":
 
:Die Zahl <math>k</math> heißt "Wachstumskonstante":
 
::<math> k > 1 </math>: Exponentielles Wachstum
 
::<math> k > 1 </math>: Exponentielles Wachstum
−
::<math> 0 < k < 1 </math>: Exponentieller Zerfall
+
::<math> k < 1 </math>: Exponentieller Zerfall
 
|}
 
|}
  
Zeile 82: Zeile 95:
 
::<math>f'(x) = 1 \cdot f(x) \qquad \left( e^x \right) ' = e^x \qquad e\approx 2{,}718</math>
 
::<math>f'(x) = 1 \cdot f(x) \qquad \left( e^x \right) ' = e^x \qquad e\approx 2{,}718</math>
 
|}
 
|}
 +
 
==Ableitungen von beliebigen Exponentialfunktionen==
 
==Ableitungen von beliebigen Exponentialfunktionen==
 
Das Ableiten der natürlichen Exponentialfunktion ist ganz einfach, man muss nur nichts machen!
 
Das Ableiten der natürlichen Exponentialfunktion ist ganz einfach, man muss nur nichts machen!
 
Bei Produkten oder Verkettungen muss man dementsprechend Produkt- und Kettenregel anwenden.
 
Bei Produkten oder Verkettungen muss man dementsprechend Produkt- und Kettenregel anwenden.
  
−
Will man eine Exponentialfunktion ableiten, welche nicht die Basis e hat, so muss man sie vorher in die Basis e umschreiben:
+
Will man eine Exponentialfunktion ableiten, welche nicht die Basis e hat, so muss man sie vorher in die Basis e umschreiben. Dazu benötigt man den natürlichen Logarithmus, kurz <math>\ln(x)</math>. Der natürliche Logarithmus von 2 ist die Zahl, mit der man e potenzieren muss, um 2 zu erhalten:
 
:<math>2^x = \left(e^? \right)^x \qquad ? =\ln (2)\approx 0{,}693 </math>
 
:<math>2^x = \left(e^? \right)^x \qquad ? =\ln (2)\approx 0{,}693 </math>
 
:<math> 2^x = \left(e^ {\ln (2)} \right)^x = e^{\ln (2) \cdot x}  \approx e^{0{,}693 \cdot x}</math>
 
:<math> 2^x = \left(e^ {\ln (2)} \right)^x = e^{\ln (2) \cdot x}  \approx e^{0{,}693 \cdot x}</math>
Zeile 94: Zeile 108:
 
:Man kann jede Exponentialfunktion zur Basis <math>e</math> schreiben:
 
:Man kann jede Exponentialfunktion zur Basis <math>e</math> schreiben:
 
::<math>f(x) = b^x = \left( e^{\ln (b)} \right)^x = e^{\ln(b)\cdot x} </math>
 
::<math>f(x) = b^x = \left( e^{\ln (b)} \right)^x = e^{\ln(b)\cdot x} </math>
 +
::<math>\left( e^{\ln(b)\cdot x} \right)' =  \ln(b) \cdot e^{\ln(b)\cdot x} \qquad \text{}</math> (Kettenregel)
 
:Die Wachstumskonstante ist <math>\ln (b)</math>.
 
:Die Wachstumskonstante ist <math>\ln (b)</math>.
 
::<math>f'(x) = \ln(b) \cdot f(x)</math>
 
::<math>f'(x) = \ln(b) \cdot f(x)</math>
 +
|}
 +
 +
=====Beispiele für Ableitungen=====
 +
{|class="wikitable"
 +
|
 +
<math>f(x)</math>
 +
|
 +
Regel(n)
 +
|
 +
<math>f'(x)</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>6\cdot 3^x = 6 \cdot e^{\ln (3)\cdot x}</math>
 +
|
 +
Kettenregel
 +
|
 +
<math>6\cdot e^{\ln(3)\, x}\cdot \ln(3) = 6\cdot \ln(3)\cdot e^{\ln(3)\, x}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>18\cdot 0{,}5^x = 18\cdot e^{\ln(0{,}5)\cdot x}</math>
 +
|
 +
Kettenregel
 +
|
 +
<math>18\cdot \ln(0{,}5)\cdot e^{\ln(0{,}5)\cdot x}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>2 \, e^{5x} + x^2</math>
 +
|
 +
Summenregel<br/>Kettenregel
 +
|
 +
<math>10\, e^{5x} + 2x</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>e^{\sin (x)}</math>
 +
|
 +
Kettenregel
 +
|
 +
<math>\cos (x) \, e^{\sin (x)}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>e^{-x^2}</math>
 +
|
 +
Kettenregel
 +
|
 +
<math>-2x\,e^{-x^2}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>x\, e^{-x}</math>
 +
|
 +
Produktregel<br/>Kettenregel
 +
|
 +
<math>1\cdot e^{-x} + x\cdot e^{-x}\cdot (-1)</math> <br/> <math>=e^{-x}-x\, e^{-x}</math> <br/><math>= (1-x)\, e^{-x}</math>
 +
 
|}
 
|}
  
 
==Fußnoten==
 
==Fußnoten==
 
<references />
 
<references />

Aktuelle Version vom 26. November 2017, 22:12 Uhr

Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen beschreiben exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall. Dabei wird ein Anfangswert [math]f(0)[/math] immer wieder mit einer festen Basis [math]b[/math], die man auch Wachstumsfaktor nennt, multipliziert:

"Das menschliche Darmbakterium Escherichia coli hat unter Idealbedingungen in Laborkulturen eine Generationszeit von etwa 20 Minuten."[1]

Zeitschritte (je 20min) 0 1 2 3 4 ... [math]x[/math]
Anzahl 1 2 4 8 16 ... [math]2^x[/math]

Das radioaktive Iod-Isotop 131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen:[2]

Zeitschritte (je 8Tage) 0 1 2 3 4 ... [math]x[/math]
Masse (in g) 100 50 25 12,5 6,25 ... [math]100\cdot 0{,}5^x[/math]

Die Graphen der Exponentialfunktionen mit Startwert 1

Die natürliche Exponentialfunktion

Die Eulersche Zahl lautet ungefähr: [math]e = 2{,}7182818284590452353602874713526624977572470936999595749 \ldots[/math][3]

Sie ist, wie [math]\pi[/math] oder [math]\sqrt 2[/math], eine irrationale Zahl mit unendlich vielen, nichtperiodischen Nachkommastellen.

Man kann alle Wachstumsvorgänge auch ohne diese Zahl beschreiben, wozu braucht man sie dann? Ein Grund von vielen ist die Bestimmung der Ableitung von Exponentialfunktionen. Denn was ist z.B. [math]\left(2^x\right)'[/math]?

Die Differentialgleichung von Exponentialfunktionen

An den Beispielen mit den Bakterien oder dem radioaktiven Iod sieht man:

  • Je größer der Bestand, desto größer die Änderungsrate.

Wie hängt die Änderungsrate (Steigung) vom Bestand (Funktionswert) ab?

Diese Aussage kann man auch mathematisch präziser formulieren und mit Hilfe des Differenzenquotienten beweisen:

Bei exponentiellem Wachstum/Zerfall ist die Änderungsrate proportional zum Bestand:
[math]f'(x) = k \cdot f(x) \qquad \text{}[/math] (Differentialgleichung, kurz DGL)
Die Zahl [math]k[/math] heißt "Wachstumskonstante":
[math] k \gt 1 [/math]: Exponentielles Wachstum
[math] k \lt 1 [/math]: Exponentieller Zerfall
Die Bedeutung der Wachstumskonstante

Um die Wachstumskonstante zu berechnen, kann man die DGL nach [math]k[/math] auflösen:

[math]k = \frac{f'(x)}{f(x)}[/math]

Der Quotient aus Änderungsrate und Funktionswert ist also für alle x immer gleich. Insbesondere gilt dies für [math]x=0[/math]:

[math]k=\frac{f'(0)}{f(0)} = \frac{f'(0)}{1} = f'(0)[/math]
Die Änderungsrate zu Beginn ist gerade die Wachstumskonstante:
[math]k = f'(0)[/math]
Definition der eulerschen Zahl e

Mit dem Schieberegler kann man die Basis der Exponentialfunktion verändern. Hat man den Knopf des Schiebereglers markiert, kann man zur Feinregulierung auch die Kursortasten benutzen.

Für welche Basis ist die Steigung bei x=0 gerade eins?

Es gibt genau eine Exponentialfunktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Die Basis dieser sogenannten "natürlichen Exponentialfunktion" ist die eulersche Zahl [math]e[/math]:

Die natürliche Exponentialfunktion stimmt mit ihrer Ableitung überein.
Die Basis dieser Exponentialfunktion heißt "Eulersche Zahl e".
Die Wachstumskonstante ist 1.
[math]f'(x) = 1 \cdot f(x) \qquad \left( e^x \right) ' = e^x \qquad e\approx 2{,}718[/math]

Ableitungen von beliebigen Exponentialfunktionen

Das Ableiten der natürlichen Exponentialfunktion ist ganz einfach, man muss nur nichts machen! Bei Produkten oder Verkettungen muss man dementsprechend Produkt- und Kettenregel anwenden.

Will man eine Exponentialfunktion ableiten, welche nicht die Basis e hat, so muss man sie vorher in die Basis e umschreiben. Dazu benötigt man den natürlichen Logarithmus, kurz [math]\ln(x)[/math]. Der natürliche Logarithmus von 2 ist die Zahl, mit der man e potenzieren muss, um 2 zu erhalten:

[math]2^x = \left(e^? \right)^x \qquad ? =\ln (2)\approx 0{,}693 [/math]
[math] 2^x = \left(e^ {\ln (2)} \right)^x = e^{\ln (2) \cdot x} \approx e^{0{,}693 \cdot x}[/math]
Man kann jede Exponentialfunktion zur Basis [math]e[/math] schreiben:
[math]f(x) = b^x = \left( e^{\ln (b)} \right)^x = e^{\ln(b)\cdot x} [/math]
[math]\left( e^{\ln(b)\cdot x} \right)' = \ln(b) \cdot e^{\ln(b)\cdot x} \qquad \text{}[/math] (Kettenregel)
Die Wachstumskonstante ist [math]\ln (b)[/math].
[math]f'(x) = \ln(b) \cdot f(x)[/math]
Beispiele für Ableitungen

[math]f(x)[/math]

Regel(n)

[math]f'(x)[/math]

[math]6\cdot 3^x = 6 \cdot e^{\ln (3)\cdot x}[/math]

Kettenregel

[math]6\cdot e^{\ln(3)\, x}\cdot \ln(3) = 6\cdot \ln(3)\cdot e^{\ln(3)\, x}[/math]

[math]18\cdot 0{,}5^x = 18\cdot e^{\ln(0{,}5)\cdot x}[/math]

Kettenregel

[math]18\cdot \ln(0{,}5)\cdot e^{\ln(0{,}5)\cdot x}[/math]

[math]2 \, e^{5x} + x^2[/math]

Summenregel
Kettenregel

[math]10\, e^{5x} + 2x[/math]

[math]e^{\sin (x)}[/math]

Kettenregel

[math]\cos (x) \, e^{\sin (x)}[/math]

[math]e^{-x^2}[/math]

Kettenregel

[math]-2x\,e^{-x^2}[/math]

[math]x\, e^{-x}[/math]

Produktregel
Kettenregel

[math]1\cdot e^{-x} + x\cdot e^{-x}\cdot (-1)[/math]
[math]=e^{-x}-x\, e^{-x}[/math]
[math]= (1-x)\, e^{-x}[/math]

Fußnoten

  1. ↑ Wikipedia: Bakterielles_Wachstum (26.11.2017)
  2. ↑ Wikipedia: Iodisotope (26.11.2017)
  3. ↑ Bei der NASA(26.11.2017) gibt's e auf fünf Millionen Nachkommastellen! (von Robert Nemiroff and Jerry Bonnell)
Von „http://schulphysikwiki.de/index.php?title=Die_eulersche_Zahl_e_und_die_natürliche_Exponentialfunktion&oldid=14134“