Aufgaben zum elektrischen Energietransport - Lösungen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 11. Februar 2019, 12:51 Uhr

0) Erbsen- und Energietransport

Der "Erbsentransport" ist ein Modell für den Transport von Energie durch den elektrischen Stromkreis. In jeder Zeile steht das Ergebnis einer Messung.
Ergänze die fehlenden Werte.

1.Zeile

Fünf Personen transportieren jeweils 3 Erbsen, dass sind zusammen:

[math]5\,\rm P\!\!\!\! / \cdot 3\,\rm \frac{E}{P\!\!\!\! /} = 15\,\rm E[/math]

Die Personenstromstärke ist die Anzahl der Personen pro Zeit:

[math]\frac{5\,\rm P}{10\,\rm s}=0{,}5\rm \frac{P}{s}[/math]

Die Erbsenstromstärke berechnet sich entweder als Erbsenanzahl pro Zeit:

[math]\frac{15\,\rm E}{10\,\rm s}= 1{,}5\,\rm \frac{E}{s}[/math]

Oder über die Erbsenbeladung und die Personenstromstärke:

[math] 3\,\rm \frac{E}{P\!\!\!\! /} \cdot 0{,}5\rm\frac{P\!\!\!\! /}{s} = 1{,}5\,\rm \frac{E}{s}[/math]

2.Zeile

Die Erbsenstromstärke ist 6 mal so groß wie die Personenstromstärke:

[math] 6\,\rm \frac{E}{P\!\!\!\! /} \cdot 0{,}5\rm\frac{P\!\!\!\! /}{s} = 3\,\rm \frac{E}{s}[/math]

Es läuft eine "halbe Person" pro Sekunde im Kreis, in 20 Sekunden sind das also 10 Personen:

[math]0{,}5\,\rm \frac{P}{s\!\!\! /} \cdot 20\,\rm s\!\!\! / = 10\,\rm P[/math]

Pro Sekunde werden 3 Erbsen transportiert, in 20 Sekunden sind das 60 Erbsen:

[math]3\,\rm \frac{E}{s\!\!\! /} \cdot 20\,\rm s\!\!\! / = 60\,\rm E[/math]

Oder man überlegt sich, dass 10 Personen jeweils 6 Erbsen transportieren:

[math]10\,\rm P\!\!\!\! / \cdot 6\,\rm \frac{E}{P\!\!\!\! /} = 60\,\rm E[/math]

3.Zeile

Die Erbsenstromstärke ist 4-mal so groß wie die Personenstromstärke. Also trägt jede Person 4 Erbsen:

[math] \frac{8\,\rm \frac{E}{s}}{2\rm\frac{P}{s}} = \frac{8}{2}\,\rm \frac{\frac{E}{s}}{\rm\frac{P}{s}} = \frac{8}{2}\,\rm\frac{E}{s\!\!\! /}\cdot \rm\frac{s\!\!\! /}{P} = 4\,\rm \frac{E}{P}[/math]

Es laufen zwei Personen pro Sekunde im Kreis, in 60 Sekunden sind das also 120 Personen:

[math]2\,\rm \frac{P}{s\!\!\! /} \cdot 60\,\rm s\!\!\! / = 120\,\rm P[/math]

Pro Sekunde werden 8 Erbsen transportiert, in 60 Sekunden sind das 480 Erbsen:

[math]8\,\rm \frac{E}{s\!\!\! /} \cdot 60\,\rm s\!\!\! / = 480\,\rm E[/math]

Oder man überlegt sich, dass 120 Personen jeweils 4 Erbsen transportieren:

[math]120\,\rm P\!\!\!\! / \cdot 4\,\rm \frac{E}{P\!\!\!\! /} = 480\,\rm E[/math]

Bei einem elektrischen Stromkreis hat man den Energietransport untersucht, indem die Stromstärke, die Energiestromstärke (Leistung) oder die Spannung (der Potentialunterschied) gemessen wurde. In jeder Zeile steht das Ergebnis einer Messung.
Ergänze die fehlenden Werte.

Vergleicht man die Tabelle mit der obenstehenden "Erbsentabelle", so sieht man, dass hier im elektrischen Fall genau die gleichen Zahlenwerte auftreten!

1.Zeile

Fünf Coulomb Ladung transportieren jeweils 3 Joule Energie, dass sind zusammen:

[math]5\,\rm C \cdot 3\,\rm V = 15\,\rm C\!\!\!\! / \cdot \rm \frac{J}{C\!\!\!\! /} = 15\,\rm J[/math]

Die Stromstärke ist Ladung pro Zeit:

[math]\frac{5\,\rm C}{10\,\rm s}=0{,}5\rm \frac{C}{s}=0{,}5\rm A[/math]

Die Leistung (Energiestromstärke) berechnet sich entweder als Energie pro Zeit:

[math]\frac{15\,\rm J}{10\,\rm s}= 1{,}5\,\rm \frac{J}{s}= 1{,}5\,\rm W[/math]

Oder über die Spannung und die Stromstärke:

[math] 3\,\rm V \cdot 0{,}5\rm A = 3\,\rm \frac{J}{C\!\!\!\! /} \cdot 0{,}5\rm \frac{C\!\!\!\! /}{s} = 1{,}5\,\rm \frac{J}{s} = 1{,}5\,\rm W[/math]

2.Zeile

Die Energiestromstärke (Leistung) ist 6 mal so groß wie die Stromstärke:

[math] 6\,\rm V \cdot 0{,}5\rm A = 6\,\rm \frac{J}{C\!\!\!\! /} \cdot 0{,}5\rm \frac{C\!\!\!\! /}{s} = 3\,\rm \frac{J}{s} = 3\,\rm W[/math]

Es fließt ein halbes Coulomb pro Sekunde im Kreis, in 20 Sekunden sind das also 10 Coulomb:

[math]0{,}5\,\rm A \cdot 20\,\rm s = 0{,}5\,\rm \frac{C}{s\!\!\! /} \cdot 20\,\rm s\!\!\! / = 10\,\rm C[/math]

Pro Sekunde werden 3 Joule Energie transportiert, in 20 Sekunden sind das 60 Joule:

[math]3\,\rm W \cdot 20\,\rm s = 3\,\rm \frac{J}{s\!\!\! /} \cdot 20\,\rm s\!\!\! / = 60\,\rm J[/math]

Oder man überlegt sich, dass 10 Coulomb Ladung jeweils 6 Joule Energie transportieren:

[math]10\,\rm C \cdot 6\,\rm V = 10\,\rm C\!\!\!\! / \cdot 6\,\rm \frac{J}{C\!\!\!\! /} = 60\,\rm J[/math]

3.Zeile

Die Erbsenstromstärke ist 4-mal so groß wie die Personenstromstärke. Also trägt jede Person 4 Erbsen:

[math] \frac{8\,\rm \frac{E}{s}}{2\rm\frac{P}{s}} = \frac{8}{2}\,\rm \frac{\frac{E}{s}}{\rm\frac{P}{s}} = \frac{8}{2}\,\rm\frac{E}{s\!\!\! /}\cdot \rm\frac{s\!\!\! /}{P} = 4\,\rm \frac{E}{P}[/math]

Es laufen zwei Personen pro Sekunde im Kreis, in 60 Sekunden sind das also 120 Personen:

[math]2\,\rm \frac{P}{s\!\!\! /} \cdot 60\,\rm s\!\!\! / = 120\,\rm P[/math]

Pro Sekunde werden 8 Erbsen transportiert, in 60 Sekunden sind das 480 Erbsen:

[math]8\,\rm \frac{E}{s\!\!\! /} \cdot 60\,\rm s\!\!\! / = 480\,\rm E[/math]

Oder man überlegt sich, dass 120 Personen jeweils 4 Erbsen transportieren:

[math]120\,\rm P\!\!\!\! / \cdot 4\,\rm \frac{E}{P\!\!\!\! /} = 480\,\rm E[/math]

1) Energiehunger

Alle Lebewesen und alle Maschinen brauchen Energie.

Ein Mensch braucht ohne jede körperliche Anstrengung etwa 7 MegaJoule Energie am Tag. Das nennt man auch den "Grundumsatz". Bei leichter Anstrengung etwa 10-13 MegaJoule pro Tag. Die genaue Energiemenge hängt vom Körpergewicht, vom Geschlecht und weiteren Faktoren ab.

Körperlich schwer arbeitende Menschen brauchen bis zu 20 MegaJoule pro Tag und Leistungssportler an einzelnen Tagen bis zu 50 MegaJoule Energie pro Tag!

• Berechne den Energiebedarf des Menschen in Joule pro Sekunde (Watt) und vergleiche mit diesen Maschinen:

1. Laptop: 30 Watt
2. Desktop: 120 Watt
3. Auto: 83 KiloWatt^[1]

Um den Energiebedarf zu vergleichen muss man die Leistung, also die Energie pro Zeit berechnen:

• Grundumsatz eines Menschen:

[math]P=\frac{E}{t}=\frac{7000000\,\rm J}{1\,\rm d}=\frac{7000000\,\rm J}{24\cdot 60 \cdot 60\,\rm s}=\frac{7000000\,\rm J}{86400\,\rm s}=81\,\rm\frac{J}{s}=81\,\rm W[/math]

• Gesamtumsatz bei leichter Anstrengung:

[math]P=\frac{E}{t}=\frac{10000000\,\rm J}{1\,\rm d}=\frac{10000000\,\rm J}{86400\,\rm s}=116\,\rm W[/math]

• Gesamtumsatz bei schwerer körperlicher Arbeit:

[math]P=\frac{E}{t}=\frac{20000000\,\rm J}{1\,\rm d}=\frac{20000000\,\rm J}{86400\,\rm s}=231\,\rm W[/math]

Ein Mensch hat ungefähr den gleichen Energiebedarf wie ein Computer.
Ein Auto braucht in etwa genauso viel Energie wie tausend Menschen!

2) Die Stromrechnung

Ausschnitt einer Stromrechnung.

Das Elektrizitätswerk liefert Energie mit dem elektrischen Strom nach Hause. Dafür läßt sich der Betreiber natürlich bezahlen.

Eine Lampe hat eine Leistung von 11 Watt.

a) Wieviel Energie benötigt sie in der Sekunde, in der Minute und in einer Stunde? Die Leistung ist die Energiestromstärke, also Energie pro Zeit: [math]P=\frac{E}{t} = 11\,\rm W[/math] Daraus folgt für die Energiemenge: In einer Sekunde: [math]E=P\,t = 11\,\rm W \cdot 1\,\rm s = 11\,\rm \frac{J}{s \!\!\! /} \cdot 1\,\rm s\!\!\! / = 11\,\rm J[/math] In einer Minute: [math]E=11\,\rm W \cdot 60\,\rm s = 660\,\rm J[/math] In einer Stunde: [math]E = 11\,\rm W \cdot 3600\,\rm s = 39600\,\rm J[/math]

Merkregel für die Leistung

In der Stromrechnung wird die Energiemenge nicht in Joule, sondern in "KiloWattStunden" (kWh) angegeben.

b) Wieviel Joule entspricht einer KiloWattStunde?

Das berechnet man genauso wie bei der 11-Watt-Lampe:

Zum Vergleich: Mit einer Tafel Schokolade nimmt man ca. [math]2500\,\rm kJ=2{,}5\,\rm MJ[/math] Energie zu sich und ein Liter Benzin enthält etwa [math]30.000\,\rm kJ = 30 \,\rm MJ[/math] Energie.

Die für ein Gerät benötigte Energie in KiloWattStunden kann man ganz einfach ausrechnen. Wenn man zum Beispiel ein Staubsauger mit einer Leistung von 1200 Watt 30 Minuten lang betreiben will, rechnet man:

[math]\text{Energie} = \text{Leistung (in kW)} \cdot \text{Zeit (in h)}[/math]

[math]\text{Energie} = 1{,}2\,\rm kW \cdot 0{,}5\,\rm h = 0{,}6\,\rm kWh[/math]

In dieser Tabelle hat Angela aufgeschrieben, welche Geräte sie am Tag wie lange benutzt. Ihr Elektrizitätswerk berechnet ihr 27 Cent pro KiloWattStunde. Berechne für sie ihren jährlichen Energiebedarf und die Kosten.

3) Lampen im Auto und zu Hause

Merkregel für das Energie- beladungsmaß

Neuere LED-Lampen haben zu Hause und in Automobilen Einzug gehalten. Ein 12-Watt-LED-Autoscheinwerfer ist genauso hell wie eine 12-Watt-LED-Lampe zu Hause. Die Elektrik im Auto wird mit einer Spannung von 12 Volt angetrieben, zu Hause beträgt die Netzspannung 230 Volt.

Vergleiche die Stromstärken der beiden Lampen.

Die "Watt-Zahl" gibt die Leistung der Geräte, also die Energiestromstärke an. Die Energiestromstärke ist die Stromstärke mal Beladungsmaß:

[math]P=U\,I[/math]

Das kann man nach der Stromstärke auflösen:

Im Auto: [math]I=\frac{P}{U}= \frac{12\,\rm W}{12\,\rm V}= 1\,\rm A[/math]

Zu Hause: [math]I=\frac{P}{U}= \frac{12\,\rm W}{230\,\rm V}= 0{,}052\,\rm A = 52\,\rm mA[/math]

Die Stromstärke ist im Auto viel größer, weil dort ein Coulomb Ladung nur 12 Joule Energie transportiert im Vergleich zu 230 Joule pro Coulomb "aus der Steckdose".

4) Sicherungen

Sicherungskasten einer Wohnung

In Wohnungen ist jeder Raum über eine Sicherung an das Stromnetz angeschlossen. Die maximale Stromstärke beträgt häufig 16 Ampère.

a) Welche dieser Geräte kann man gleichzeitig in der Küche betreiben?

1. Wasserkocher 2000W
2. Staubsauger 2400W
3. Radio 20W
4. Lampe 10W
5. Mixer 1600W

Bei der maximalen Stromstärke von 16 Ampere erreicht man eine Leistung (Energiestromstärke) von:

[math]P=U\, I = 230\,\rm V \cdot 16\,\rm A = 3680\,\rm W[/math]

Man könnte also den Wasserkocher zusammen mit Mixer, Radio und Lampe betreiben, dafür braucht man eine Leistung von 3630 Watt. Den Wasserkocher kann man jedenfalls nicht gleichzeitig mit dem Staubsauger betreiben!

Sicherungskasten eines Autos. Die Sicherungen sind mit der maximalen Stromstärke in Ampère beschriftet.

Auch in Autos sind Sicherungen verbaut, um die Kabel vor Überhitzung zu schützen. Anders als in der Wohnung sind dies einfache Schmelzsicherungen, die bei zu großer Stromstärke einfach durchschmelzen und dann ersetzt werden müssen.

Beim Starten wird der Verbrennungsmotor von einem Elektromotor, dem "Anlasser", gedreht. Der Anlasser hat eine Leistung zwischen einem und zwei KiloWatt und bekommt seine Energie aus der Auto-Batterie, die eine Spannung von 12 Volt hat.

b) Der Anlasser ist ohne Sicherung direkt an die Batterie angeschlossen. Warum wohl?

Um eine Leistung von 2000 Watt bei einer so niedrigen Spannung zu erhalten, muß die Stromstärke sehr groß sein:

[math]I=\frac{P}{U} = \frac{2000\,\rm W}{12\,\rm V}= 167\,\rm A[/math]

Für eine so große Stromstärke sind dicke und kurze Kabel mit einem kleinen Widerstand nötig, damit sie nicht warm werden. Deshalb ist es aufwendig noch eine Sicherung einzubauen!

5) Batterien und Akkus als Energiespeicher

Ein Bleiakkumulator für's Auto ("Auto-Batterie")

So wird sie eingebaut.

Aus Versehen läßt Peter das Licht über Nacht an seinem geparkten Auto an.

a) Warum kann das zu einem Problem werden?

Die Batterie hat nur eine gewisse Energiemenge gespeichert. Es kann sein, dass die Batterie durch den Betrieb der Lampen über Nacht entladen wird, dass heißt, dass sie keine Energie mehr enthält. Dann kann man am nächsten Morgen den Motor nicht mehr starten. In so einem Fall benötigt man die Starthilfe eines anderen Wagens. Dazu läßt man den Motor des funktionierenden Wagens laufen, verbindet dann die volle Batterie mit der leeren Batterie und startet den Motor.

An Peters Auto sind zwei Frontscheinwerfer mit je 12 Watt und zwei Rücklichter mit je 3 Watt.

b) Wieviel Strom fließt durch die Lampen und wieviel durch die Batterie?

Jede Lampe wird einzeln an die Batterie angeschlossen, die Lampen sind parallel geschaltet. Die Stromstärken betragen:

[math]I=\frac{P}{U} = \frac{12\,\rm W}{12\,\rm V}= 1\,\rm A[/math]

[math]I=\frac{P}{U} = \frac{12\,\rm W}{3\,\rm V}= 0{,}25\,\rm A[/math]

Durch die Batterie fließt der gesamte Strom der Stärke [math]2{,}5\,\rm A[/math].

Die Frage ist nun, ob am nächsten Morgen die Batterie "leer" ist, also keine Energie mehr enthält.

Auf Batterien ist angegeben "wie groß" sie sind. Bei Peters Autobatterie findet sich zum Beispiel die Aufschrift 12V/44Ah. Das bedeutet, dass die Batterie 44 Stunden lang einen Strom der Stärke 1 Ampère antreiben kann. Oder 22 Stunden lang einen Strom der Stärke 2 Ampère.

c) Wie lange kann man mit dieser Batterie eine 12-Watt-Lampe betreiben?

Weil die Stromstärke 1 Ampère beträgt, kann man die Lampe 44 Stunden betreiben.

d) Wieviel Coulomb Ladung hat die Batterie dabei verschoben?

In jeder Sekunde wird ein Coulomb verschoben, in 44 Stunden entsprechend mehr:

[math]I=\frac{Q}{t} \quad \Rightarrow \quad Q = I \, t = 1\,\rm A \cdot 44\cdot 60\cdot 60 \,\rm s = 1\frac{C}{s}\cdot 44 \cdot 3600\,\rm s = 158400 \,\rm C[/math]

e) Wieviel Joule Energie hat die Batterie dabei der Lampe geliefert?

Merkregel für das Energie- beladungsmaß

Die Spannung beträgt 12 Volt, also werden mit jedem Coulomb Ladung 12 Joule Energie transportiert:

[math]U = \frac {E}{Q} \quad \Rightarrow \quad E = U \, Q = 12\,\rm V \cdot 44 \cdot 3600\,\rm C = 1900800\,\rm J \approx 2\,\rm MJ[/math]

Das ist gar nicht so viel, in etwa die Energiemenge einer Tafel Schokolade.

f) Wie lange kann die Batterie also die beiden Scheinwerfer und die Rückleuchten gleichzeitig betreiben?

Die Leistung aller Lampen beträgt 30 Watt, also 30 Joule pro Sekunde:

[math]P=\frac{E}{t} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{E}{P} = \frac{2\,\rm MJ}{30\,\rm W} = 67000\,\rm s = 1100\,\rm s = 18{,}5\,\rm h[/math]

Auf Batterien und Akkus findet man die Angabe der sogennannten "Kapazität". Diese gibt an, wieviel Ladung die Batterie verschieben kann:

1. Smartphone: 3,7V / 1300mAh
2. Laptop: 10,95V / 7100mAh
3. Bohrschrauber: 12V / 1200mAh
4. AA-Mignon: 1,2V / 2000mAh
5. älteres Motorrad: 6V / 4Ah

g) Berechne, wieviel Ladung die Batterien anschieben können und wieviel Energie dabei transportiert wird.

Die Angabe von 1000 mAh entspricht einer Ampèrestunde, also 3600 Coulomb Ladung.

Die Potentialdifferenz (Spannung) in Volt gibt an, wieviel Joule Energie ein Coulomb Ladung transportiert:

1. Smartphone: 4680 C / 17316 J = 17 kJ
2. Laptop: 25560 C / 279882 J = 280 kJ
3. Bohrschrauber: 4320 C / 51840 J = 52 kJ
4. AA-Mignon: 7200 C / 8640 J = 9 kJ
5. älteres Motorrad: 14400 C / 86400 J = 86 kJ

Ein Liter Benzin enthält ca. 30 MegaJoule Energie und in den Tank eines Autos passen ca. 50 Liter.

h) Wieviele Laptop-Akkus können den vollen Benzintank ersetzen?

In dem Laptopakku sind ca. 280 KiloJoule Energie, man braucht daher ungefähr 107 Akkus um die 30000 KiloJoule eines Liters Benzin zusammenzubekommen. Und somit fast 5400 Akkus um den vollen Tank zu ersetzen. Das ist leider eine ganze Menge! So viele Akkus sind teuer und schwer und das ist der Hauptgrund, warum es noch so wenige Elektroautos gibt. Deshalb wird intensiv an der Technik von Akkus geforscht und entwickelt.

6) Teure und billige Energie

Energie kann man mit ganz verschiedenen Energieträgern kaufen. Die Heizung zum Beispiel kann man mit Heizöl, Gas, Holz-Pellets, elektrisch oder mit Fernwärme betreiben. Das Auto bekommt die Energie mit Benzin und eine Taschenlampe mit einer Batterie. Mit welchem Energieträger ist die Energie denn am billigsten?

Fußnoten

1. ↑ Das entspricht einem Verbrauch von 8 Litern Benzin pro 100 km bei einer Geschwindigkeit von 130 km/h. Damit ist nicht die Leistung gemeint, die zum Antrieb des Autos genutzt wird, sondern die zum Betrieb des Motors benötigt wird. Von der Energie des Benzins werden nur ca. 25% zum Antrieb genutzt, der Rest geht vor allem mit der Abwärme verloren.