Experimentelle Untersuchung einer Schaukel: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 4. Oktober 2006, 19:11 Uhr

Datei:Schaukelklein.jpg

Vorüberlegungen

Zu untersuchen:

• Wie man antreibt
• Wirken von Kräften
• Beschreiben der Bewegung
• Impulsfluss
• Abhängigkeit der Bewegung
• Energiemengen/Fluss (zB Wärme)

Beschreibung der Bewegung:

Vereinfachung als Fadenpendel (mathematischer Pendel)

Koordinatensystem

Angabe des Ortes

durch y:Elongation

Bei y=0: Pendel in Ruhelage

Messen der Elongation mit Hilde des Winkels [math]\varphi[/math]

Weitere Vereinfachung: Ungedämpftes Pendel (Ohne Energieverlust)

Maximale Auslenkung: [math]\hat y[/math](Amplitude)

Periode(ndauer)T: Zeit einer Schwingung

Frequenz f: Anzahl Schwingungen pro Zeit

[ T=1/f | f=1/T ]

Wovon hängt die Frequenz der frei schwingenden Schaukel ab?

• Fadenlänge l
• Masse m
• Amplitude [math]\hat y[/math]
• Reibung

Periodenlänge eines Fadenpendels

Aufbau:

Mittels einer Klemme wird eine Stange senkrecht an einem Tisch angebracht. An dieser Stange wird am oberen Ende ein Haken sowie ein Geodreieck angebracht. Das Geodreieck hat die Funktion, die Amplitude zu messen und wird daher so angebracht, dass die längere Seite oben ist und und die auf das Geodreieck aufgetragene Senkrechte genau auf der Stange verläuft. Am Haken wird nun ein Faden befestigt, an dessen Ende ein Kugel befestigt ist. Mit dem so entstandenen Pendel werden die Versuche durchgeführt, deren Ergebnisse unten aufgeführt sind.

Beobachtung/Messwerte:

Abhängigkeit von der Fadenlänge l:

Tabelle 1

 [math]m[/math] = 0,1342 kg; [math]\hat y[/math] = 30°  
 [math]l[/math]  |  10 cm  | 20 cm | 30 cm  | 40 cm  | 50 cm
 [math]T[/math] | 0,75 s |  1 s   | 1,16 s | 1,25 s | 1,47 s
 [math]T[/math] | 0,78 s |  1 s   | 1,16 s | 1,25 s | 1,5 s
 [math]T[/math] | 0,78 s | 1,03 s | 1,16 s | 1,32 s | 1,5 s
 [math]T[/math] | 0,78 s | 0,97 s | 1,16 s | 1,35 s | 1,5 s
 [math]T[/math] | 0,78 s |  1 s   | 1,16 s | 1,28 s | 1,56 s
D[math]T[/math] | 0,774 s |  1 s  | 1,16 s | 1,29 s | 1,506 s

Abhängigkeit von der Amplitude [math]\hat y[/math]:

Tabelle 2

 [math]m[/math] = 0,1342 kg; [math]l[/math] = 30 cm
 [math]\hat y[/math] |    15°  |   30°  |    45°  |   60°   |   75°   |    90°
 [math]T[/math] | 1,09 s  | 1,16 s | 1,16 s  | 1,22 s  | 1,25 s  | 1,35 s
 [math]T[/math] | 1,13 s  | 1,16 s | 1,13 s  | 1,18 s  | 1,25 s  | 1,41 s 
 [math]T[/math] | 1,09 s  | 1,16 s | 1,18 s  | 1,18 s  | 1,22 s  | 1,35 s
 [math]T[/math] | 1,13 s  | 1,16 s | 1,16 s  | 1,18 s  | 1,25 s  | 1,35 s
 [math]T[/math] | 1,09 s  | 1,16 s | 1,16 s  | 1,18 s  | 1,25 s  | 1,37 s
D[math]T[/math] | 1,106 s | 1,16 s | 1,158 s | 1,188 s | 1,244 s  | 1,366 s

Die Amplitude des Fadenpendels ist sehr stabil, nach 10 Perioden beträgt sie bei einer Startamplitude von 30° noch etwa 25°. In der Tabelle nicht aufgeführt, da für unsere Zwecke wertlos sind Extremversuche mit Startamplituden über 90° da hier die Kugel nicht auf einer stabilen Kreisbahn pendelt.

Erklärung/Auswertung

Um die Abhängigkeit von [math]T[/math] und [math]l[/math] möglichst durch eine Konstante zu definieren, werden verschiedene mathematische einfache Möglichkeiten ausprobiert:

([math]c[/math] steht für die restlichen Bestandteile der Schwingungsformel; die Rechnungen gelten für [math]\hat y=30[/math]°)

1. [math]T = l c[/math]

[math]T \over l[/math][math] = c[/math] ; [math]0,774 \over 0,1[/math][math] = 7,74[/math] ; [math]1 \over 0,2[/math][math] = 5[/math] ; [math]1,16\over 0,3[/math][math] = 3,87[/math] ; [math]1,29\over 0,4[/math][math] = 3,225[/math] ; [math]1,506\over 0,5[/math][math] = 3,012[/math]

2. [math]T = l^2 c[/math]

[math]T \over l^2[/math][math] = c[/math] ; [math]0,774 \over 0,1^2[/math][math] = 77,4[/math] ; [math]1 \over 0,2^2[/math][math] = 25[/math] ; [math]1,16\over 0,3^2[/math][math] = 12,88[/math] ; [math]1,29\over 0,4^2[/math][math] = 8,06[/math] ; [math]1,506\over 0,5^2[/math][math] = 6,02[/math]

3. [math]T = \sqrt{l} c[/math]

[math]c=[/math][math] T \over \sqrt{l}[/math] ; [math] 0,774 \over \sqrt{0,1}[/math][math]=2,45[/math] ; [math] 1 \over \sqrt{0,2}[/math][math]=2,24[/math] ; [math] 1,16\over \sqrt{0,3}[/math][math]=2,12[/math] ; [math] 1,29\over \sqrt{0,4}[/math][math]=2,04[/math] ; [math] 1,506\over \sqrt{0,5}[/math][math]=2,13[/math]

Die einzige der Formeln, deren Ergebnisse nur hinter dem Komma unterschiedlich sind, ist: [math]T = \sqrt{l} c[/math] Wir müssen also davon ausgehen, dass die Unterschiede, die bei 3. bestehen aufgrund von Messungenauigkeiten entstehen und den Durchschnitt der fünf Werte ausrechen, der da lautet: 2,2.

Wir gehen nun davon aus, dass die gesuchte Konstante be ieiner Amplitude von 30° etwa 2,2 beträgt.

Periodenlänge einer schwingenden Stange

Aufbau:

Text Text Text Text Text Text TextText Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text

Beobachtung/Messwerte:

Abhängigkeit von der Amplitude [math]\hat y[/math]:

Tabelle 1

[math]m[/math] = 1.01kg; [math]l[/math] = 1.01m  
[math]\hat y[/math] in ° |              30        / avg. |              45        / avg. |              90        / avg. |
[math]T[/math] in s | 1.67; 1.61; 1.62; 1.67 / 1.64 | 1.71; 1.72; 1.65; 1.68 / 1.69 | 1.9 ; 1.95; 1.93; 1.89 / 1.92 |

Tabelle 2

[math]m[/math] = 0.23kg; [math]l[/math] = 1.06m
[math]\hat y[/math] in ° |              30        / avg. |              45        / avg. |              90        / avg. |
[math]T[/math] in s | 1.66; 1.72; 1.7 ; 1.67 / 1.69 | 1.76; 1.73; 1.79; 1.81 / 1.77 | 1.98; 1.97; 1.95; 1.99 / 1.97 |

Tabelle 3

[math]m[/math] = 0.31kg; [math]l[/math] = 0.33m
[math]\hat y[/math] in ° |              30        / avg. |              45        / avg. |              90        / avg. |
[math]T[/math] in s | 0.98; 1.02; 0.96; 0.97 / 0.98 | 1.01; 1.04; 1.04; 1.03 / 1.03 | 1.11; 1.04; 1.11; 1.17 / 1.11 |

Während der Versuchsdurchführung können wir an unserer Stativstange ein gewisses "Mitschwingen" beobachten, im Takt zum eigentlich schwingenden Objekt.
Weiterhin ist noch hinzuzufügen, dass die maximale Elongation von Periode zu Periode um ein sehr unterschiedliches Maß abnimmt, die Differenzen werden immer kleiner. Da wir dies bei all unseren Testreihen beobachten, testen wir abgesondert den "Extremfall", eine Amplitude von 180°, um diesen Effekt zu verstärken. Hierbei können wir beobachten, dass bereits nach einer Periode die Differenz der Amplitude etwa 60° beträgt; nach der zweiten 30°, usw.

Erklärung/Auswertung

Wie aus den Tabellen 1.03und 2 zu entnehmen ist, haben unsere Stangen eine sehr ähnliche Länge ([math]l[/math]), jedoch eine unterschiedliche Masse: Stange 2 wiegt weniger als ein Viertel von Stange 1. Hiermit können wir Johannes' anfängliche Hypothese, dass die Masse ([math]m[/math]) irrelevant sei, sehr gut untermauern. Für die einzelnen Amplituden ([math]\hat y[/math]) weichen die Perioden ([math]T[/math]) jeweils nur um ein paar Hunderstelsekunden voneinander ab. "Ein solch geringer Unterschied hat seinen Ursprung nicht in einer so großen Massenrelation von 1:4" denken wir uns; die geringfügigen Längenunterschiede und Messungenauigkeiten müssen hierfür verantwortlich sein.
An dieser Stelle kommt Stange 3 ins Spiel, mit einer dritten Länge. Somit lässt sich die Abhängigkeit der Periode von der Länge besser untersuchen: auf den ersten Blick ist klar, dass die Periode mit Zunahme der Länge ebenfalls zunimmt ([math]l \propto T[/math]?). Um die genaue Abhängigkeit herauszufinden, probieren wir gängige Verhältnisse mithilfe einer allgemeinen Formel aus:
([math]c[/math] steht für die restlichen Bestandteile der Schwingungsformel; die Rechnungen gelten für [math]\hat y=45[/math]°)

1. [math]T = l c[/math]

[math]T \over l[/math][math] = c[/math] ; [math]1.77 \over l.06[/math][math] = 1.67[/math] ; [math]1.69 \over 1.01[/math][math] = 1.67[/math] ; [math]1.03\over 0.33[/math][math] = 3.12[/math]

1. [math]T = l^2 c[/math]

[math]T \over l^2[/math][math] = c[/math] ; [math]1.77 \over 1.06^2[/math][math] = 1.56[/math] ; [math]1.69 \over 1.01^2[/math][math] = 1.66[/math] ; [math]1.03\over 0.33^2[/math][math] = 9.46[/math]

1. [math]T = \sqrt{l} c[/math]

[math]c=[/math][math] T \over \sqrt{l}[/math] ; [math] 1.77 \over \sqrt{1.06}[/math][math]=1.71[/math] ; [math] 1.69 \over \sqrt{1.01}[/math][math]=1.68[/math] ; [math] 1.03\over \sqrt{0.33}[/math][math]=1.79[/math]

Nur bei [math]\sqrt {l}[/math] sind Züge einer Übereinstimmung zu erkennen. Somit lässt sich sagen, dass sich die Wurzel der Länge proportional zur Periode verhält ([math]\sqrt l \propto T[/math]).

Zusammenfassung

Man erhält beim schwingenden Stab und beim Fadenpendel jeweils einen funktionalen Zusammenhang zwischen Länge und Periode. Dieser gilt streng genommen nur für die untersuchte Amplitude. Das heißt, der Proportionalitätsfaktor hängt noch von der Amplitude ab. Ein Vergleich der beiden Schwingungen zeigt, dass der Stab, bei gleicher Länge, eine größere Periode hat. Das liegt am größeren Trägheitsmoment des Stabes, denn der Stab dreht sich beim Schwingen um seinen Schwerpunkt.

Schwingender Stab:
Abhängigkeit von l: [math]\hat y=45[/math]°

[math]T\over\sqrt{l}[/math](konstant)

[math]T\over\sqrt{l}[/math][math]\approx[/math]1,76 [math]s\over\sqrt{m}[/math]

[math]\Updownarrow[/math]

[math]T=1,76[/math][math]s\over\sqrt{m}[/math][math]sqrt{l}[/math]

[math]T=1,76[/math][math]s\over\sqrt{m}[/math][math]sqrt{2l'}[/math]

[math]T\approx 2,5[/math][math]s\over\sqrt{m}[/math][math]sqrt{l'}[/math]

Fadenpendel:
Abhängigkeit vom l: [math]\hat y=20[/math]°

[math]l\over T^2[/math][math]\approx 24[/math][math]m\over s^2[/math] (konstant)

[math]\Updownarrow[/math]

[math]T=\sqrt{l\over 0,24\frac{m}{s^{2}}[/math][math]=[/math][math]\sqrt{1 s^2\over 0,24 m}[/math][math]\cdot\sqrt{l}[/math]

[math]T\approx 2,0[/math][math]s\over\sqrt{m}[/math][math]\cdot\sqrt{l}[/math]

Fehlerbetrachtung

Bei den obigen Messwerten liegen natürlicherweise gewisse Ungenauigkeiten und Messfehler vor. In diesem speziellen Fall liegt das Fehlerspektrum bei der Periode [math]T[/math] bei ca. 0,05 sek und bei der Fadenlänge [math]l[/math] bei ca. 0,2 cm. Mit diesen Werten lässt sich nun ein Maximal- und ein Minimalwert errechnen. Der Durchschnitt dieser Extremwerte bietet dann ein zuverläassige Lösung für die Konstante [math]a[/math].

Fadenpendel:
[math]T\approx2\frac{s}{sqrt{m}}\sqrt{l} \ltbr/\gt\rightarrow2\frac{s}{sqrt{m}}\approx\frac{T}{sqrt{l}}[/math]

Max./Min. Betrachtung
[math]\bar T=1{,}32\pm 0{,}05s(\pm3{,}8%)[/math]
[math]l=47{,}5cm\pm0{,}2cm(\pm0{,}4%)[/math]

[math]\Rightarrow\[/math][math]a[/math][math]_m_a_x={(1{,}32+0{,}05)s \over \sqrt{(47{,}5-0{,}2)cm}}=1{,}992{s\over\sqrt{m}}[/math]

[math]a[/math][math]_m_i_n={(1{,}32-0{,}05)s\over\sqrt{(47{,}5+0{,}2)cm}}=1{,}838{s\over\sqrt{m}}[/math]

[math]\Longrightarrow[/math][math]a[/math][math]=1{,}915{s\over\sqrt{m}}\pm0{,}08{s\over\sqrt{m}}(\pm4%)[/math]