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=Fehlerrechnung=
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==Aufgaben zu Energieverlust und Wirkungsgrad==
==Systematische und zufällige Messfehler==
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'''1)''' "Ein Automotor hat einen Wirkungsgrad von ca. <math>1/3 \approx 33 \%</math>."
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:Was ist damit gemeint?
  
*Jede Messung ermittelt nur einen ungenauen Wert einer Größe.
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*Dabei enthaltene Messfehler teilt man in systematische und zufällige Fehler ein.
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|style="vertical-align:top;"|
:Systematische Fehler entstehen z.B. durch einen falschen Versuchsaufbau. Sie verschieben die gemessenen Werte um einen festen Betrag. Sie sind schwer abzuschätzen oder zu korrigieren.
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'''2)''' In diesem Energieflussdiagramm ist der Weg der Energie bei einem Kohlekraftwerk dargestellt.
:Bei zufälligen Fehlern geht man davon aus, dass die Messwerte um den korrekten Wert schwanken. Zufällige Fehler werden durch Schwankungen der Messgröße, der Messgeräte, der Umwelt, durch den Beobachter etc. verursacht. Sie sind unvermeidbar, können aber abgeschätzt und durch Wiederholung verringert werden. Dazu verwendet man die Statistik.
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:'''a)''' Wie geht die meiste Energie der Kohle "verloren"?
 
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:'''b)''' Welchen Wirkungsgrad hat das Kohlekraftwerk ohne Energietransport zum Verbraucher und mit Transport zum Verbraucher?
:{|
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:'''c)''' Bei einem Kraftwerk mit "Kraft-Wärme-Kopplung" werden die umliegenden Gebäude durch die Wärme des Kraftwerks geheizt und mit warmem Wasser versorgt. Durch große Rohre wird diese "Fernwärme" bis in die Häuser geleitet. Kleinere Anlagen werden auch "Blockheizkraftwerk" genannt.
<gallery widths=162px heights=162px  perrow=2 caption="Graphische Veranschaulichung der Fehlertypen">
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:Erkläre was der Vorteil der "Kraft-Wärme-Kopplung" gegenüber einem normalen Kraftwerk ist. Warum macht es einen Unterschied, ob es Sommer oder Winter ist?
Bild:Fehlerdarstellung Zielscheibe systematisch-klein zufällig-klein.png|Kleiner zufälliger Fehler<br/>Kleiner systematischer Fehler
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Bild:Fehlerdarstellung Zielscheibe systematisch-groß zufällig-klein.png|Kleiner zufälliger Fehler<br/>Großer systematischer Fehler
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[[Datei:Energieflussbild Kohlekraftwerk.png|369px]]
Bild:Fehlerdarstellung Zielscheibe systematisch-klein zufällig-groß.png|Großer zufälliger Fehler<br/>Kleiner systematischer Fehler
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Bild:Fehlerdarstellung Zielscheibe systematisch-groß zufällig-groß.png|Großer zufälliger Fehler<br/>Großer systematischer Fehler
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</gallery>
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'''3)''' Werden viele Energieumlader zu einer Kette geschaltet, so berechnet sich der Gesamt-Wirkungsgrad, indem man alle einzelnen Wirkungsgrade multipliziert. ([[Energieverluste_und_der_Wirkungsgrad_von_Energiewandlern#Wirkungsgrad|Tabelle von Wirkungsgraden]])
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<br/>Fährt zum Beispiel ein Mensch Fahrrad, der vorher ein Brot gegessen hat, so wird die Energie zuerst von der Weizenpflanze von Licht auf das Weizenkorn umgeladen. Der Mensch lädt die Energie des Korns auf die Bewegung um:
  
==Angabe von Messfehlern==
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[[Datei:Energieumladerkette_Vegetarier.png|514px]]
*Als absolute Angabe mit Einheiten: <math>l=2\,\rm m \ (\pm 0,01\,\rm m) \qquad  \qquad l = l_0 \pm \Delta l</math>
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:<math> 35\% \cdot 30\% = 0{,}35 \cdot 0{,}3 = 0{,}105 =10{,}5 \%</math>
*Als relative Angabe ohne Einheiten: <math>l=2\,\rm m \ (\pm 0,05)\ (\pm 5 \%) \qquad (\pm \frac{\Delta l}{l})</math>
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Der Wirkungsgrad beträgt insgesamt ca. 10%. Das heißt ca. 10% der Energie aus dem Sonnenlicht ist in der Bewegung angekommen.
*Mit Hilfe von geltenden Ziffern, wobei nur die letzte Ziffer fehlerbehaftet ist: <math>l=2,000\,\rm m</math>
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==Statistische Beurteilung von zufälligen Fehlern==
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*Dazu müssen eine möglichst große Anzahl von <math>N</math> Messungen der gleichen Größe <math>x</math> durchgeführt werden.
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[[Bild:Gausskurve_sw.jpg|thumb|Gaußsche Glockenkurve]]
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*Häufig kann man annehmen, dass der Messwert normalverteilt ist, die Häufigkeiten also der Gaußschen Glockenkurve entsprechen. (Das liegt daran, dass eine zufällige Größe, die von sehr vielen voneinander unabhängigen Einflüssen abhängt, normalverteilt ist. (Sogenannter "zentraler Grenzwertsatz"))
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*Der Verlauf der Kurve und damit die Messwerte werden durch die Angabe des Mittelwerts (<math>\bar x</math>) und der Standardabweichung (<math>s</math> oder <math>\sigma</math>) vollständig festgelegt. Der Mittelwert gibt den Ort des Maximums an, die Standardabweichung gibt den Abstand der Wendestellen von der Extremstelle an.
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:<math>\bar x = \frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N} \qquad \sigma = s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N (\bar x - x_i)^2}{N-1}}</math>
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[[Bild:Gausskurve_mit_Vertrauensgrenzen.jpg|thumb|Gausskurve mit Vertrauengrenzen]]
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*Die Standardabweichung der Messwerte gibt an, wie genau die Messungen waren. Kleine Abweichung = Genaue Messung. Man kann damit auch die Wahrscheinlichkeit angeben, dass ein Messwert innerhalb eines Bereichs liegt.
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Maximale absolute Abweichung | Vertrauensniveau
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            s                |    68% (ca. 2/3)
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          2 s                |    95%
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        2,5 s                |    99%
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*Für das Gesamtergebnis ist aber nicht der einzelne Messwert, sondern der Mittelwert der N Messwerte interessant. Dies berücksichtigt dann auch die Tatsache, dass der Mittelwert immer weniger unsicher wird, je mehr Messungen durchgeführt werden!
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:Für den Mittelwert gibt es auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer anderen Glockenkurve. Daraus ergibt sich die Standardabweichung des Mittelwertes <math>s_M</math>. Sie ergibt eine Abschätzung für den Fehler des Mittelwertes und wird als '''Fehler der Messung''' angegeben.
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:<math>s_M = \frac{s}{\sqrt{N}}</math>
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:Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% liegt also der Mittelwert der N Messungen im Bereich <math>\bar x \pm s_M</math>.
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==Fehlerfortpflanzung==
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*Häufig werden eine oder mehrere fehlerbehaftete Ergebnisse verwendet, um ein Gesamtergebnis zu berechnen, das natürlich auch fehlerbehaftet ist. Man spricht von Fehlerfortpflanzung.
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===Summen und Differenzen===
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*Die absoluten Fehler addieren sich.
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;Beispiel:
+
Es wird die Dicke eines Blatt Papiers zu <math>0{,}2\,\rm mm \ (\pm 0{,}01\,\rm mm)</math> bestimmt. Für die Dicke von 50 Blättern ergibt sich: <math>10\,\rm mm \ (\pm 0{,}5\,\rm  mm)</math>
+
  
===Produkte und Quotienten===
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'''a)''' Berechne den Gesamt-Wirkungsgrad von:
*Die relativen Fehler addieren sich.
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#einer Glühlampe, die von einem Kohlekraftwerk betrieben wird.
'''Beispiel:'''  
+
#der Energieumladerkette der Dampfmaschine: Dampfmotor > Generator > Glühlampe.
Zur Bestimmung der Geschwindigkeit wurde die Strecke und die Zeit gemessen:  
+
  
:<math>s = 5\,\rm m \ (\pm 0{,}01 \,\rm m) \ (\pm 0{,}2\%)</math>
+
'''b)''' Vergleiche den Wirkungsgrad von:
 +
#einem Benzinauto mit einem Elektroauto, das den Akku mit einem Kohlekraftwerk lädt.
 +
#einer Gasheizung mit einer Elektroheizung, die von einem Kohlekraftwerk angetrieben wird.
  
:<math>t = 2 \,\rm s \ (\pm 0{,}1 \,\rm s) \ (\pm 5\%)</math>
+
==Energie im Haushalt==
 +
'''1) Energie sparen im Haushalt'''
  
:<math>v=\frac{s}{t}= 2{,}5 \,\rm m/s \ (\pm 5{,}2\%)</math>
+
In einem Haushalt braucht man Energie für die vielen elektrischen Geräte, wie Waschmaschine, Lampen, Computer,... und für die Heizung, das warme Wasser und für das Auto.
 +
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*Zeichne ein Diagramm, aus dem hervorgeht, wofür ein durchschnittlicher Haushalt viel Energie benötigt und wofür weniger. (Infos im Artikel: [https://www.ndr.de/ratgeber/klimawandel/CO2-Ausstoss-in-Deutschland-Sektoren,kohlendioxid146.html Energiebedarf in Deutschland])
  
Aus dem relativen Fehler ist es nun auch möglich wieder den absoluten Fehler zu berechnen.
+
 
  
===Potenzen und Wurzeln===
+
'''2) Energiemengen und Kosten berechnen'''
*Die relativen Fehler werden mit der Potenz gewichtet und addiert.
+
;Beispiel:
+
Bestimmung der kinetischen Energie eines Radfahrers.
+
:<math>
+
\begin{alignat}{2}
+
E_{kin}      &= \frac{1}{2}\, m\, v^2 & \qquad (v \textrm{ in } \rm\frac{m}{s} )\\
+
              &= \frac{1}{2}\, m\, \frac{v^2}{3{,}6^2} & \qquad (v \textrm{ in } \rm\frac{km}{h} )
+
\end{alignat}
+
</math>
+
:<math>m = 85,3\,\rm kg \ (\pm 0,1\,\rm kg) \ (\pm 0{,}12\%)</math>
+
:<math>v = 18\,\rm \frac{km}{h} \ (\pm 1 \,\rm\frac{km}{h}) \ (\pm 5{,}6\%) </math>
+
  
Der relative Messfehler der Geschwindigkeit wird nun doppelt gewichtet (mit zwei multipliziert):
+
Peters Schreibtischlampe hat eine Leistung von 20 Watt. Er schaltet sie am Tag ca. 2 Stunden an. Für eine Kilowattstunde Energie verlangt sein Stromanbieter 25 Cent.
:<math>E_{kin} = 1066{,}66\,\rm J \ (\pm 11{,}32\%)</math>
+
Um diese Messung zu verbessern, muss man vor allem die Geschwindigkeit genauer messen.
+
  
;Beispiel:
+
*Wieviel Energie benötigt man um die Lampe eine Sekunde, eine Minute oder eine Stunde anzuschalten?
Bestimmung der Periodendauer eines Pendels.
+
*Was kostet Peter die Schreibtischlampe pro Monat und pro Jahr?
  
:<math>T = 2\pi \, \frac{\sqrt{l}}{\sqrt{g}} = 2\pi \, \frac{l^{1/2}}{g^{1/2}}</math>
 
  
:<math>l = 0{,}6\,\rm m \ (\pm 0{,}1\%)</math>
+
'''3) Verschiedene Lichtquellen'''
  
:<math>g = 9{,}81 \,\rm m/s^2 \ (\pm 0{,}01\%)</math>
+
Herbert mag das Licht von Energiesparlampen nicht und beleuchtet sein Wohnzimmer deshalb mit einer Glühlampe. Andrea hat sich dagegen für die gesamte Wohnung Energiesparlampen zugelegt, während Maria sich für LED-Lampen entschieden hat.
  
Die relativen Messfehler werden nun mit 1/2 gewichtet (multipliziert) und addiert:
+
*Vergleiche die verschiedenen Lampentypen bezüglich Energiebedarf, Wärmeentwicklung und Lebensdauer.
  
:<math>T = 1{,}5539 s \ (\pm 0,055\%)</math>
+
Ein Glühwürmchen kann auch Licht produzieren und zwar mit einem Wirkungsgrad von über 90%
 +
*Was ist damit gemeint?
  
In diesem Fall ist also der Gesamtfehler kleiner als der größte Einzelfehler!
+
==Fußnoten==
 +
<references />

Aktuelle Version vom 4. November 2024, 09:08 Uhr

Leere Seite

Aufgaben zu Energieverlust und Wirkungsgrad

1) "Ein Automotor hat einen Wirkungsgrad von ca. [math]1/3 \approx 33 \%[/math]."

Was ist damit gemeint?

2) In diesem Energieflussdiagramm ist der Weg der Energie bei einem Kohlekraftwerk dargestellt.

a) Wie geht die meiste Energie der Kohle "verloren"?
b) Welchen Wirkungsgrad hat das Kohlekraftwerk ohne Energietransport zum Verbraucher und mit Transport zum Verbraucher?
c) Bei einem Kraftwerk mit "Kraft-Wärme-Kopplung" werden die umliegenden Gebäude durch die Wärme des Kraftwerks geheizt und mit warmem Wasser versorgt. Durch große Rohre wird diese "Fernwärme" bis in die Häuser geleitet. Kleinere Anlagen werden auch "Blockheizkraftwerk" genannt.
Erkläre was der Vorteil der "Kraft-Wärme-Kopplung" gegenüber einem normalen Kraftwerk ist. Warum macht es einen Unterschied, ob es Sommer oder Winter ist?

Energieflussbild Kohlekraftwerk.png

3) Werden viele Energieumlader zu einer Kette geschaltet, so berechnet sich der Gesamt-Wirkungsgrad, indem man alle einzelnen Wirkungsgrade multipliziert. (Tabelle von Wirkungsgraden)
Fährt zum Beispiel ein Mensch Fahrrad, der vorher ein Brot gegessen hat, so wird die Energie zuerst von der Weizenpflanze von Licht auf das Weizenkorn umgeladen. Der Mensch lädt die Energie des Korns auf die Bewegung um:

Energieumladerkette Vegetarier.png

[math] 35\% \cdot 30\% = 0{,}35 \cdot 0{,}3 = 0{,}105 =10{,}5 \%[/math]

Der Wirkungsgrad beträgt insgesamt ca. 10%. Das heißt ca. 10% der Energie aus dem Sonnenlicht ist in der Bewegung angekommen.

a) Berechne den Gesamt-Wirkungsgrad von:

  1. einer Glühlampe, die von einem Kohlekraftwerk betrieben wird.
  2. der Energieumladerkette der Dampfmaschine: Dampfmotor > Generator > Glühlampe.

b) Vergleiche den Wirkungsgrad von:

  1. einem Benzinauto mit einem Elektroauto, das den Akku mit einem Kohlekraftwerk lädt.
  2. einer Gasheizung mit einer Elektroheizung, die von einem Kohlekraftwerk angetrieben wird.

Energie im Haushalt

1) Energie sparen im Haushalt

In einem Haushalt braucht man Energie für die vielen elektrischen Geräte, wie Waschmaschine, Lampen, Computer,... und für die Heizung, das warme Wasser und für das Auto.

  • Zeichne ein Diagramm, aus dem hervorgeht, wofür ein durchschnittlicher Haushalt viel Energie benötigt und wofür weniger. (Infos im Artikel: Energiebedarf in Deutschland)


2) Energiemengen und Kosten berechnen

Peters Schreibtischlampe hat eine Leistung von 20 Watt. Er schaltet sie am Tag ca. 2 Stunden an. Für eine Kilowattstunde Energie verlangt sein Stromanbieter 25 Cent.

  • Wieviel Energie benötigt man um die Lampe eine Sekunde, eine Minute oder eine Stunde anzuschalten?
  • Was kostet Peter die Schreibtischlampe pro Monat und pro Jahr?


3) Verschiedene Lichtquellen

Herbert mag das Licht von Energiesparlampen nicht und beleuchtet sein Wohnzimmer deshalb mit einer Glühlampe. Andrea hat sich dagegen für die gesamte Wohnung Energiesparlampen zugelegt, während Maria sich für LED-Lampen entschieden hat.

  • Vergleiche die verschiedenen Lampentypen bezüglich Energiebedarf, Wärmeentwicklung und Lebensdauer.

Ein Glühwürmchen kann auch Licht produzieren und zwar mit einem Wirkungsgrad von über 90%

  • Was ist damit gemeint?

Fußnoten