Aufgaben zu Kreisbewegungen (Lösungen): Unterschied zwischen den Versionen
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| + | Lea, Martin und Karin fahren Karussell. Lea steht ziemlich weit Innen, nur 0,5 Meter von der Drehachse entfernt. Martin steht einen Meter und Karin ganz außen 1,5 Meter entfernt. | ||
| − | + | Ihre Eltern haben beobachtet, dass das Karussell sich in 2 Sekunden einmal dreht. Sie überlegen jetzt: "''Wie schnell ist meine Tochter und mein Sohn?''" | |
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| + | *Berechne die Frequenz, die Bahngeschwindigkeit und die Winkelgeschwindigkeit der drei und gib den Eltern eine Antwort. | ||
| + | :Alle Kinder sind in dem Sinne "gleichschnell", dass ihre Frequenz, Umlaufdauer und Winkelgeschwindigkeit gleichgroß sind. | ||
| + | :Ihre Bahngeschwindigkeiten sind aber unterschiedlich: Je weiter außen, desto schneller. | ||
| + | :Die Winkelgeschwindigkeit entspricht genau der Bahngeschwindigkeit bei einem Meter Radius! Sie ist eine "normierte Bahngeschwindigkeit". | ||
:Die Frequenz beträgt eine halbe Umdrehung pro Sekunde: | :Die Frequenz beträgt eine halbe Umdrehung pro Sekunde: | ||
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:Die Winkelgeschwindigkeit ist gerade <math>\pi</math> pro Sekunde: | :Die Winkelgeschwindigkeit ist gerade <math>\pi</math> pro Sekunde: | ||
:<math>\omega = 2\pi f = \frac{2 \pi}{T} = 2\pi \cdot 0{,}5 \frac{1}{\rm sec} = \pi \frac{1}{\rm sec}\approx 3 \frac{1}{\rm sec}</math> | :<math>\omega = 2\pi f = \frac{2 \pi}{T} = 2\pi \cdot 0{,}5 \frac{1}{\rm sec} = \pi \frac{1}{\rm sec}\approx 3 \frac{1}{\rm sec}</math> | ||
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| + | ===Plattenspieler und CD-Spieler=== | ||
| + | Ein Plattenspieler hat eine Frequenz von 33 oder 45 Umdrehungen pro Minute. | ||
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| + | *Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit am Ort der Abtastnadel? Der Abstand zwischen Nadel und der Mitte der Platte variiert dabei zwischen 5 und 20 cm. | ||
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| + | ::<math>f_1 = 33\rm \, \frac{1}{min} = 33\rm \, \frac{1}{60\,s} = 0{,}55\rm \, Hz</math> | ||
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| + | :Daraus kann man dann die Winkelgeschwindigkeiten bestimmen: | ||
| + | ::<math>\omega_1 = 2\, \pi \, f_1 = 3{,}46\rm\,Hz </math> | ||
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| + | :Die Bahngeschwindigkeiten ergeben sich aus der Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Radius: | ||
| + | ::<math>v_{1min}=\omega_1 \, r= 3{,}46\frac{1}{s} \cdot 5\rm\,cm = 17{,}3\rm\,\frac{cm}{s}</math> | ||
| + | ::<math>v_{2min}=\omega_2 \, r= 4{,}71\frac{1}{s} \cdot 5\rm\,cm = 23{,}6\rm\,\frac{cm}{s}</math> | ||
| + | ::<math>v_{1max}=\omega_1 \, r= 3{,}46\frac{1}{s} \cdot 20\rm\,cm = 69{,}1\rm\,\frac{cm}{s}</math> | ||
| + | ::<math>v_{2max}=\omega_2 \, r= 4{,}71\frac{1}{s} \cdot 20\rm\,cm = 94{,}2\rm\,\frac{cm}{s}</math> | ||
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| + | Eine Audio-CD wird von einem Laser abgetastet. Dabei wird sie so gedreht, dass sie eine konstante Bahngeschwindigkeit von 1,2 m/sec am Laser hat. ([http://de.wikipedia.org/wiki/Compact-Disc#Lesevorgang Wikipedia: CD-Lesevorgang]) | ||
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| + | *Wie schnell muss man am Anfang der Spur r= 3cm und am Ende r= 8cm drehen? Gib die Frequenz, die Winkelgeschwindigkeit und die Umlaufdauer an. | ||
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| + | ===Eine Uhr=== | ||
| + | *Wie groß sind die Frequenz, die Umlaufdauer und die Winkelgeschwindigkeit von Stunden-, Minuten- und Sekundenzeiger einer Uhr?. | ||
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| + | ===Kosmische Geschwindigkeiten=== | ||
| + | Bekanntermaßen dreht sich die Erde einmal in 24 Stunden um sich selbst. | ||
| + | *Wie schnell ist deswegen eine Person, die am Äquator steht? (Und in Freiburg?) | ||
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| + | Die Erde dreht sich in 365 Tagen einmal um die Sonne. | ||
| + | *Wie schnell sind wir aufgrund der Bewegung der Erde um die Sonne? | ||
==Impuls, Kraft und Energie== | ==Impuls, Kraft und Energie== | ||
===Karussell fahren II=== | ===Karussell fahren II=== | ||
| + | Lea, Martin und Karin fahren Karussell. Ihr Ball stört Karin beim Karussellfahren. Deshalb möchte sie ihn ihrem Vater geben, der gut darauf aufpassen soll. Sie schaut, wo ihr Vater steht und läßt den Ball los, als sie ihren Vater sieht. Voll daneben! | ||
| + | *Mache eine Zeichnung von dem Vorgang aus der Vogelperspektive und erkläre, wann Karin hätte loslassen müssen. | ||
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[[Datei:Kreisbahn Fußball.png|thumb]] | [[Datei:Kreisbahn Fußball.png|thumb]] | ||
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*Das Verhalten des Balles läßt sich mit dem Trägheitsgsetz erklären: Der Ball behält nach dem Loslassen seinen Impuls bei, weil ihn keine Kraft mehr auf der Kreisbahn hält. Er fliegt tangential zur Bahnkurve weiter. Karin muss also eine 1/4 Umdrehung vorher loslassen! <br style="clear: both" /> | *Das Verhalten des Balles läßt sich mit dem Trägheitsgsetz erklären: Der Ball behält nach dem Loslassen seinen Impuls bei, weil ihn keine Kraft mehr auf der Kreisbahn hält. Er fliegt tangential zur Bahnkurve weiter. Karin muss also eine 1/4 Umdrehung vorher loslassen! <br style="clear: both" /> | ||
| − | + | Karin sagt ihren Eltern, dass sie im Karussell ganz arg nach außen gezogen wird und sie sich deshalb gut festhalten muss. | |
| + | Ihre Mutter entgegnet ihr, dass sie nur gesehen hat, dass Karin sich festgehalten hat. | ||
| + | *Erkläre der Mutter warum beide Recht haben, indem du beschreibst wie aus Karins Sicht Kräfte den Impuls verändern und wie das aus der Sicht der Mutter ist. | ||
| + | :Beide Sichtweisen sind richtig und zeigen, dass in verschiedenen Bezugssystemen bei der gleichen Bewegung unterschiedliche Kräfte wirken können. | ||
:Aus Sicht der Mutter ändert Karins Impuls ständig die Richtung. Die Richtungsänderung erreicht Karin durch das Ziehen nach Innen ("Zentripetalkraft"). | :Aus Sicht der Mutter ändert Karins Impuls ständig die Richtung. Die Richtungsänderung erreicht Karin durch das Ziehen nach Innen ("Zentripetalkraft"). | ||
:Aus der Sicht von Karin ändert sich ihr Impuls nicht, sie verharrt auf der gleichen Stelle des Karussells. | :Aus der Sicht von Karin ändert sich ihr Impuls nicht, sie verharrt auf der gleichen Stelle des Karussells. | ||
| − | :Die Summe der auf sie wirkenden Kräfte ist daher Null! Die sie nach | + | :Die Summe der auf sie wirkenden Kräfte ist daher Null! Die sie nach außen ziehende Trägheitskraft ("Zentrifugalkraft") gleicht sie durch das Ziehen nach Innen aus. |
:Die wirkenden Kräfte in den verschiedenen Bezugssystemen kann man in [[Animation: Zentrifugal- und Zentripetalkraft|dieser Animation]] sehen. | :Die wirkenden Kräfte in den verschiedenen Bezugssystemen kann man in [[Animation: Zentrifugal- und Zentripetalkraft|dieser Animation]] sehen. | ||
| − | *Je größer die Masse der Kinder, desto stärker müssen sie sich festhalten. Ich nehme für alle drei Kinder an, sie hätten eine Masse von 30 kg. | + | Lea steht ziemlich weit Innen, nur 0,5 Meter von der Drehachse entfernt. Martin steht einen Meter und Karin ganz außen 1,5 Meter entfernt. |
| + | Ihre Eltern haben beobachtet, dass das Karussell sich in 2 Sekunden einmal dreht. | ||
| + | *Mit welcher Kraft müssen sich Lea, Martin und Karin festhalten? (Schätze fehlende Angaben.) | ||
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| + | :Je größer die Masse der Kinder, desto stärker müssen sie sich festhalten. Ich nehme für alle drei Kinder an, sie hätten eine Masse von 30 kg. | ||
:Für die Stärke der Zentripetal- und Zentrifugalkraft gilt: | :Für die Stärke der Zentripetal- und Zentrifugalkraft gilt: | ||
:<math>F_Z=\frac{m\,v^2}{r}=m\, \omega^2 \, r</math> Für diesen Fall mit gleicher Winkelgeschwindigkeit ist die zweite Formel praktischer: | :<math>F_Z=\frac{m\,v^2}{r}=m\, \omega^2 \, r</math> Für diesen Fall mit gleicher Winkelgeschwindigkeit ist die zweite Formel praktischer: | ||
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:Bei Martin wirkt also eine Beschleunigung, die gerade der Erdbeschleunigung entspricht. Er muss genauso stark ziehen, als ob er sich einer einer Reckstange hochziehen würde. | :Bei Martin wirkt also eine Beschleunigung, die gerade der Erdbeschleunigung entspricht. Er muss genauso stark ziehen, als ob er sich einer einer Reckstange hochziehen würde. | ||
:Karin muss sogar mit ihrer 1,5 fachen Gewichtskraft ziehen! | :Karin muss sogar mit ihrer 1,5 fachen Gewichtskraft ziehen! | ||
| + | |||
| + | ==Links== | ||
| + | * [http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/mechanik2/kreis/medien/cd_dvd.htm Landesbildungsserver BaWü: Die Cd und die Kreisbewegung] | ||
Version vom 21. Juli 2025, 22:46 Uhr
(Klassische Mechanik > 'Kreisbewegungen)
Inhaltsverzeichnis
"Drehgeschwindigkeiten"
Karussell fahren
Lea, Martin und Karin fahren Karussell. Lea steht ziemlich weit Innen, nur 0,5 Meter von der Drehachse entfernt. Martin steht einen Meter und Karin ganz außen 1,5 Meter entfernt.
Ihre Eltern haben beobachtet, dass das Karussell sich in 2 Sekunden einmal dreht. Sie überlegen jetzt: "Wie schnell ist meine Tochter und mein Sohn?"
- Berechne die Frequenz, die Bahngeschwindigkeit und die Winkelgeschwindigkeit der drei und gib den Eltern eine Antwort.
- Alle Kinder sind in dem Sinne "gleichschnell", dass ihre Frequenz, Umlaufdauer und Winkelgeschwindigkeit gleichgroß sind.
- Ihre Bahngeschwindigkeiten sind aber unterschiedlich: Je weiter außen, desto schneller.
- Die Winkelgeschwindigkeit entspricht genau der Bahngeschwindigkeit bei einem Meter Radius! Sie ist eine "normierte Bahngeschwindigkeit".
- Die Frequenz beträgt eine halbe Umdrehung pro Sekunde:
- [math]f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2 \,\rm sec}= 0,5 \, \frac{1}{\rm sec}=0{,}5 \,\rm Hz [/math]
- Die Winkelgeschwindigkeit ist gerade [math]\pi[/math] pro Sekunde:
- [math]\omega = 2\pi f = \frac{2 \pi}{T} = 2\pi \cdot 0{,}5 \frac{1}{\rm sec} = \pi \frac{1}{\rm sec}\approx 3 \frac{1}{\rm sec}[/math]
- Die Bahngeschwindigkeiten nehmen mit jedem 1/2 Meter um 1,5 m/sec zu:
- Lea: [math]v=\omega \, r = 3,14 \frac{1}{\rm sec}\cdot 0{,}\,\rm 5\, m \approx 1,5\frac{\rm m}{\rm sec}[/math]
- Martin: [math]v=\omega \, r = 3{,}14 \frac{1}{\rm sec}\cdot 1\,\rm m \approx 3 \frac{\rm m}{\rm sec}[/math]
- Karin: [math]v=\omega \, r = 3{,}14\frac{1}{\rm sec}\cdot 1{,}5\,\rm m \approx 4,5 \frac{\rm m}{\rm sec}[/math]
Plattenspieler und CD-Spieler
Ein Plattenspieler hat eine Frequenz von 33 oder 45 Umdrehungen pro Minute.
- Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit am Ort der Abtastnadel? Der Abstand zwischen Nadel und der Mitte der Platte variiert dabei zwischen 5 und 20 cm.
- Zunächst kann man für die verschiedenen "Drehgeschwindigkeiten" die Frequenz in Hertz berechnen:
- [math]f_1 = 33\rm \, \frac{1}{min} = 33\rm \, \frac{1}{60\,s} = 0{,}55\rm \, Hz[/math]
- [math]f_2 = 45\rm \, \frac{1}{min} = 45\rm \, \frac{1}{60\,s} = 0{,}75\rm \, Hz[/math]
- Daraus kann man dann die Winkelgeschwindigkeiten bestimmen:
- [math]\omega_1 = 2\, \pi \, f_1 = 3{,}46\rm\,Hz [/math]
- [math]\omega_1 = 2\, \pi \, f_1 = 4{,}71\rm Hz [/math]
- Die Bahngeschwindigkeiten ergeben sich aus der Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Radius:
- [math]v_{1min}=\omega_1 \, r= 3{,}46\frac{1}{s} \cdot 5\rm\,cm = 17{,}3\rm\,\frac{cm}{s}[/math]
- [math]v_{2min}=\omega_2 \, r= 4{,}71\frac{1}{s} \cdot 5\rm\,cm = 23{,}6\rm\,\frac{cm}{s}[/math]
- [math]v_{1max}=\omega_1 \, r= 3{,}46\frac{1}{s} \cdot 20\rm\,cm = 69{,}1\rm\,\frac{cm}{s}[/math]
- [math]v_{2max}=\omega_2 \, r= 4{,}71\frac{1}{s} \cdot 20\rm\,cm = 94{,}2\rm\,\frac{cm}{s}[/math]
Eine Audio-CD wird von einem Laser abgetastet. Dabei wird sie so gedreht, dass sie eine konstante Bahngeschwindigkeit von 1,2 m/sec am Laser hat. (Wikipedia: CD-Lesevorgang)
- Wie schnell muss man am Anfang der Spur r= 3cm und am Ende r= 8cm drehen? Gib die Frequenz, die Winkelgeschwindigkeit und die Umlaufdauer an.
Eine Uhr
- Wie groß sind die Frequenz, die Umlaufdauer und die Winkelgeschwindigkeit von Stunden-, Minuten- und Sekundenzeiger einer Uhr?.
Kosmische Geschwindigkeiten
Bekanntermaßen dreht sich die Erde einmal in 24 Stunden um sich selbst.
- Wie schnell ist deswegen eine Person, die am Äquator steht? (Und in Freiburg?)
Die Erde dreht sich in 365 Tagen einmal um die Sonne.
- Wie schnell sind wir aufgrund der Bewegung der Erde um die Sonne?
Impuls, Kraft und Energie
Karussell fahren II
Lea, Martin und Karin fahren Karussell. Ihr Ball stört Karin beim Karussellfahren. Deshalb möchte sie ihn ihrem Vater geben, der gut darauf aufpassen soll. Sie schaut, wo ihr Vater steht und läßt den Ball los, als sie ihren Vater sieht. Voll daneben!
- Mache eine Zeichnung von dem Vorgang aus der Vogelperspektive und erkläre, wann Karin hätte loslassen müssen.
- Das Verhalten des Balles läßt sich mit dem Trägheitsgsetz erklären: Der Ball behält nach dem Loslassen seinen Impuls bei, weil ihn keine Kraft mehr auf der Kreisbahn hält. Er fliegt tangential zur Bahnkurve weiter. Karin muss also eine 1/4 Umdrehung vorher loslassen!
Karin sagt ihren Eltern, dass sie im Karussell ganz arg nach außen gezogen wird und sie sich deshalb gut festhalten muss. Ihre Mutter entgegnet ihr, dass sie nur gesehen hat, dass Karin sich festgehalten hat.
- Erkläre der Mutter warum beide Recht haben, indem du beschreibst wie aus Karins Sicht Kräfte den Impuls verändern und wie das aus der Sicht der Mutter ist.
- Beide Sichtweisen sind richtig und zeigen, dass in verschiedenen Bezugssystemen bei der gleichen Bewegung unterschiedliche Kräfte wirken können.
- Aus Sicht der Mutter ändert Karins Impuls ständig die Richtung. Die Richtungsänderung erreicht Karin durch das Ziehen nach Innen ("Zentripetalkraft").
- Aus der Sicht von Karin ändert sich ihr Impuls nicht, sie verharrt auf der gleichen Stelle des Karussells.
- Die Summe der auf sie wirkenden Kräfte ist daher Null! Die sie nach außen ziehende Trägheitskraft ("Zentrifugalkraft") gleicht sie durch das Ziehen nach Innen aus.
- Die wirkenden Kräfte in den verschiedenen Bezugssystemen kann man in dieser Animation sehen.
Lea steht ziemlich weit Innen, nur 0,5 Meter von der Drehachse entfernt. Martin steht einen Meter und Karin ganz außen 1,5 Meter entfernt. Ihre Eltern haben beobachtet, dass das Karussell sich in 2 Sekunden einmal dreht.
- Mit welcher Kraft müssen sich Lea, Martin und Karin festhalten? (Schätze fehlende Angaben.)
- Je größer die Masse der Kinder, desto stärker müssen sie sich festhalten. Ich nehme für alle drei Kinder an, sie hätten eine Masse von 30 kg.
- Für die Stärke der Zentripetal- und Zentrifugalkraft gilt:
- [math]F_Z=\frac{m\,v^2}{r}=m\, \omega^2 \, r[/math] Für diesen Fall mit gleicher Winkelgeschwindigkeit ist die zweite Formel praktischer:
- Lea: [math]F_Z= 30\,\rm kg \cdot (3,14 \frac{1}{sec})^2 \cdot 0,5 \, m = 150 \, N[/math]
- Martin: [math]F_Z= 30\,\rm kg \cdot (3{,}14 \frac{1}{sec})^2 \cdot 1 \, m = 300 \, N[/math]
- Karin: [math]F_Z= 30\,\rm kg \cdot (3{,}14 \frac{1}{sec})^2 \cdot 1{,}5 \, m = 450 \, N[/math]
- Bei Martin wirkt also eine Beschleunigung, die gerade der Erdbeschleunigung entspricht. Er muss genauso stark ziehen, als ob er sich einer einer Reckstange hochziehen würde.
- Karin muss sogar mit ihrer 1,5 fachen Gewichtskraft ziehen!
