Experimentelle Untersuchung einer Schaukel: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 11. Oktober 2011, 23:01 Uhr

Kinder beim Schaukeln

Die Schaukel am Droste.

Vorüberlegungen

Wir sind zu unserer Schaukel am Droste gegangen.

Wir haben uns ein Bild mit einem schaukelnden Kind angesehen.

Entwicklung eigener Fragen

"Was kann man überhaupt fragen?" Beispiele für mögliche Fragen wurden von uns gesucht, darunter:

• "Wo kommt Energie her?"
• "Wie wirken physikalische Kräfte in Abhängigkeit voneinander?"
• "Wie viel Energie ist im physikalischen System?"
• "Welche Kräfte wirken?"
• "Welche Geschwindigkeit hätte die Schaukel am untersten Punkt?"
• "Welche Bewegung führt die Schaukel im Raum aus?"
• "Wie wird die Schaukel angetrieben?"
• (3) "Wie groß ist die Periodendauer?"
  • "Hängt sie vom Antrieb ab?"
  • "Hängt sie vom maximalen Ausschlag (Amplitude) ab?"
  • "Hängt sie von der Anzahl der Personen ab?"
  • "Ändert sich die Periode, wenn man sich stellt oder hinsetzt?"
• "Warum sind die Seile ganz gerade?"
• "Welche Sicherheitsvorschriften gibt es?"
• "Warum kann man nicht eine beliebige Höhe erreichen und auch keinen Überschlag machen?"

• Wie man antreibt
• Wirken von Kräften
• Beschreiben der Bewegung
• Impulsfluss
• Abhängigkeit der Bewegung
• Energiemenge/Fluss (z.B Wärme)
• Schwingungsdauer

Untersuchungen an der Droste-Schaukel

• (3) Wir haben jeweils 10 Perioden mit einer Handstoppuhr gemessen und dabei den Antrieb, die Amplitude, die Anzahl und Sitzposition der Leute variiert.

Messwerte:

Ergebnis:

Bei der Abhängigkeit von der Personenanzahl haben wir leider einmal die Amplitude "mittelgroß" gewählt, dadurch ist das Messergebnis schlecht vergleichbar.

Ausserdem nimmt die Amplitude, vor allem bei großer Anfangsamplitude schnell ab. Da die Periode von der Amplitude abhängt, wird das Ergebniss verfälscht.

Die Messgenauigkeit ist nicht besonders groß. Man müßte entweder eine genauere Messmethode anwenden oder durch viele Messwerte den zufälligen Fehler der Handmessung verkleinern. (Vgl. Messunsicherheit und Fehlerrechnung)

• ( ) Wir haben eine Videoaufnahme mit dazugehaltenem Maßstab gemacht. Den Film kann man mit einer Videoanalyse auswerten.

Entwicklung und Vereinfachung durch ein Modell

Auswählen einer leitenden Frage

Nach diesen ersten Gedanken, versuchten wir die Fülle an Fragen zu begrenzen und uns auf eine Frage zu einigen, die zum Grundverständnis der Physikalischen Abläufe einer schwingenden Schaukel am zuträglichsten sei und so vielleicht auch die anderen Fragen leichter zu beantworten seien. Diese Frage lautete: "Wovon hängt die Schwingungsdauer ab?" Da nun die leitende Frage gestellt war, mussten wir im nächsten Schritt wieder Einschränkungen in Kauf nehmen, in sofern, als dass uns nur ein sehr vereinfachtes Modell einer Schaukel zur Verfügung stand, an dem wir nun versuchen wollte Antworten zu finden.

Trotz der scheinbar nahezu idealen Bedingungen im Bezug auf Reibung, Luftwiderstand und Zuverlässigkeit des Schaukelmodells, wurde schnell klar, dass exakte Messergebnisse nie möglich sein werden, da sich die Amplitude der Schwingung relativ schnell wieder verkleinerte, nachdem man der Schaukel einen Schwingungsimpuls gab.

Mathematische Beschreibung

Trotz dieser und weiterer fast unvermeidbarer Ungenauigkeiten des Versuchs, probierte man im nächsten und letzten Schritt die Ergebnisse mathematisch zu erfassen, zu beschreiben und zu kategorisieren.

• Im roten Koordinatensystem ist eine Angabe des Ortes möglich.
• Die Auslenkung y heisst Elongation.
• Bei y=0 ist das Pendel in der Ruhelage
• Das Messen, bzw die Angabe der Elongation ist mit Hilfe des Winkels [math]\varphi[/math] möglich.
• Maximale Auslenkung: [math]\hat y[/math](Amplitude)
• Periode(ndauer) T: Zeit einer Schwingung
• Frequenz f: Anzahl Schwingungen pro Zeit [math]T=\frac{1}{f} \qquad f=\frac{1}{T}[/math]

Fazit

Der Versuch zeigte, dass von der ersten Frage bis zum Ergebnis viel Abstriche zu machen waren im Bezug auf Realitätsnähe des Versuchs/Modells sowie auf die Beweglichkeit der Fragestellung. Nur sehr explizite und genaue Fragestllungen und Herangehensweisen sind realistisch durchführbar, dies wurde einem hiermit gezeigt.

So kann man sagen,dass ein erstes und vereinfachtes Bild der physikalischen Vorgehenswiese bei der Beschreibung von physikalischen Phänomenen gewonnen war.

Untersuchungsauftrag: Wovon hängt die Frequenz der frei schwingenden Schaukel ab?

• Untersuchen Sie experimentell, wovon die Frequenz, bzw. die Schwingungsdauer einer Schaukel abhängt.

Mögliche Beeinflussungen durch:

• Schaukellänge l
• Masse m
• Amplitude [math]\hat y[/math]
• Reibung

Man muss also immer nur eine Größe variieren und dann jeweils die Periode messen. Misst man z.B. für verschiedene Amplituden die Periode erhält man einen Zusammenhang zwischen Amplitude und Periodendauer, der streng genommen nur für die gewählte Länge, Masse usw. gilt.

Ändert sich die Periode bei Variation einer Größe nicht, so ist sie davon unabhängig.

Periodenlänge eines Fadenpendels

• Vereinfachung des schaukelnden Kindes als Fadenpendel (mathematisches Pendel)
  • Die Masse wird als punktförmig angenommen, die Aufhängung als masselos.
• Weitere Vereinfachung: Ungedämpftes Pendel (Ohne Energieverlust)

Aufbau:

Das Fadenpendel

Mittels einer Klemme wird eine Stange senkrecht an einem Tisch angebracht. An dieser Stange wird am oberen Ende ein Haken sowie ein Geodreieck angebracht. Das Geodreieck hat die Funktion, die Amplitude zu messen und wird daher so angebracht, dass die längere Seite oben ist und und die auf das Geodreieck aufgetragene Senkrechte genau auf der Stange verläuft.

Am Haken wird nun ein Faden befestigt, an dessen Ende ein Kugel befestigt ist. Mit dem so entstandenen Pendel werden die Versuche durchgeführt, deren Ergebnisse unten aufgeführt sind.

Zur Untersuchung der Abhängigkeit von einer Größe muß diese variiert und alle anderen konstant gehalten werden.

Beobachtung/Messwerte:

Abhängigkeit von der Fadenlänge l:

Tabelle 1

 [math]m[/math] = 0,1342 kg; [math]\hat y[/math] = 30°  
 [math]l[/math]  |  10 cm  | 20 cm | 30 cm  | 40 cm  | 50 cm
 [math]T[/math] | 0,75 s |  1 s   | 1,16 s | 1,25 s | 1,47 s
 [math]T[/math] | 0,78 s |  1 s   | 1,16 s | 1,25 s | 1,5 s
 [math]T[/math] | 0,78 s | 1,03 s | 1,16 s | 1,32 s | 1,5 s
 [math]T[/math] | 0,78 s | 0,97 s | 1,16 s | 1,35 s | 1,5 s
 [math]T[/math] | 0,78 s |  1 s   | 1,16 s | 1,28 s | 1,56 s
D[math]T[/math] | 0,774 s |  1 s  | 1,16 s | 1,29 s | 1,506 s

Abhängigkeit von der Amplitude [math]\hat y[/math]:

Tabelle 2

 [math]m[/math] = 0,1342 kg; [math]l[/math] = 30 cm
 [math]\hat y[/math] |    15°  |   30°  |    45°  |   60°   |   75°   |    90°
 [math]T[/math] | 1,09 s  | 1,16 s | 1,16 s  | 1,22 s  | 1,25 s  | 1,35 s
 [math]T[/math] | 1,13 s  | 1,16 s | 1,13 s  | 1,18 s  | 1,25 s  | 1,41 s 
 [math]T[/math] | 1,09 s  | 1,16 s | 1,18 s  | 1,18 s  | 1,22 s  | 1,35 s
 [math]T[/math] | 1,13 s  | 1,16 s | 1,16 s  | 1,18 s  | 1,25 s  | 1,35 s
 [math]T[/math] | 1,09 s  | 1,16 s | 1,16 s  | 1,18 s  | 1,25 s  | 1,37 s
D[math]T[/math] | 1,106 s | 1,16 s | 1,158 s | 1,188 s | 1,244 s  | 1,366 s

Die Amplitude des Fadenpendels ist sehr stabil, nach 10 Perioden beträgt sie bei einer Startamplitude von 30° noch etwa 25°. In der Tabelle nicht aufgeführt, da für unsere Zwecke wertlos sind Extremversuche mit Startamplituden über 90° da hier die Kugel nicht auf einer stabilen Kreisbahn pendelt.

Erklärung/Auswertung

Um die Abhängigkeit von [math]T[/math] und [math]l[/math] möglichst durch eine Konstante zu definieren, werden verschiedene mathematische einfache Möglichkeiten ausprobiert:

([math]c[/math] steht für die restlichen Bestandteile der Schwingungsformel; die Rechnungen gelten für [math]\hat y=30[/math]°)

1. [math]T = l c[/math]

[math]T \over l[/math][math] = c[/math] ; [math]0,774 \over 0,1[/math][math] = 7,74[/math] ; [math]1 \over 0,2[/math][math] = 5[/math] ; [math]1,16\over 0,3[/math][math] = 3,87[/math] ; [math]1,29\over 0,4[/math][math] = 3,225[/math] ; [math]1,506\over 0,5[/math][math] = 3,012[/math]

2. [math]T = l^2 c[/math]

[math]T \over l^2[/math][math] = c[/math] ; [math]0,774 \over 0,1^2[/math][math] = 77,4[/math] ; [math]1 \over 0,2^2[/math][math] = 25[/math] ; [math]1,16\over 0,3^2[/math][math] = 12,88[/math] ; [math]1,29\over 0,4^2[/math][math] = 8,06[/math] ; [math]1,506\over 0,5^2[/math][math] = 6,02[/math]

3. [math]T = \sqrt{l} c[/math]

[math]c=[/math][math] T \over \sqrt{l}[/math] ; [math] 0,774 \over \sqrt{0,1}[/math][math]=2,45[/math] ; [math] 1 \over \sqrt{0,2}[/math][math]=2,24[/math] ; [math] 1,16\over \sqrt{0,3}[/math][math]=2,12[/math] ; [math] 1,29\over \sqrt{0,4}[/math][math]=2,04[/math] ; [math] 1,506\over \sqrt{0,5}[/math][math]=2,13[/math]

Die einzige der Formeln, deren Ergebnisse nur hinter dem Komma unterschiedlich sind, ist: [math]T = \sqrt{l} c[/math] Wir müssen also davon ausgehen, dass die Unterschiede, die bei 3. bestehen aufgrund von Messungenauigkeiten entstehen und den Durchschnitt der fünf Werte ausrechen, der da lautet: 2,2.

Wir gehen nun davon aus, dass die gesuchte Konstante be ieiner Amplitude von 30° etwa 2,2 beträgt.

Periodenlänge einer schwingenden Stange

Aufbau:

Der schwingende Stab

Mittels einer Klemme wird eine Stange senkrecht an einem Tisch angebracht. An dieser Stange wird am oberen Ende ein Geodreieck sowie eine kleinere, senkrecht zur Ersten stehenden Stange befestigt. Das Geodreieck hat die Funktion, die Amplitude zu messen und wird daher so angebracht, dass die längere Seite oben ist und und die auf das Geodreieck aufgetragene Senkrechte genau auf der Stange verläuft. An der zweiten Stange wird nun erneut eine Dritte befestigt, senkrecht zur Kurzen, also parallel zur Ersten. Diese dritte Stange ist im Gegensatz zu den anderen beiden frei schwingend. Da das so entstandenen Pendel schon über ein Eigengewicht verfügt, wird auf ein zusätzliches Gewicht verzichtet. Mit dieser Konstruktion werden dann die Versuche durchgeführt, deren Ergebnisse unten aufgeführt sind. Zur Untersuchung der Abhängigkeit von einer Größe muß diese variiert und alle anderen konstant gehalten werden.

Beobachtung/Messwerte:

Abhängigkeit von der Amplitude [math]\hat y[/math]:

Tabelle 1

[math]m[/math] = 1.01kg; [math]l[/math] = 1.01m  
[math]\hat y[/math] in ° |              30        / avg. |              45        / avg. |              90        / avg. |
[math]T[/math] in s | 1.67; 1.61; 1.62; 1.67 / 1.64 | 1.71; 1.72; 1.65; 1.68 / 1.69 | 1.9 ; 1.95; 1.93; 1.89 / 1.92 |

Tabelle 2

[math]m[/math] = 0.23kg; [math]l[/math] = 1.06m
[math]\hat y[/math] in ° |              30        / avg. |              45        / avg. |              90        / avg. |
[math]T[/math] in s | 1.66; 1.72; 1.7 ; 1.67 / 1.69 | 1.76; 1.73; 1.79; 1.81 / 1.77 | 1.98; 1.97; 1.95; 1.99 / 1.97 |

Tabelle 3

[math]m[/math] = 0.31kg; [math]l[/math] = 0.33m
[math]\hat y[/math] in ° |              30        / avg. |              45        / avg. |              90        / avg. |
[math]T[/math] in s | 0.98; 1.02; 0.96; 0.97 / 0.98 | 1.01; 1.04; 1.04; 1.03 / 1.03 | 1.11; 1.04; 1.11; 1.17 / 1.11 |

Während der Versuchsdurchführung können wir an unserer Stativstange ein gewisses "Mitschwingen" beobachten, im Takt zum eigentlich schwingenden Objekt.
Weiterhin ist noch hinzuzufügen, dass die maximale Elongation von Periode zu Periode um ein sehr unterschiedliches Maß abnimmt, die Differenzen werden immer kleiner. Da wir dies bei all unseren Testreihen beobachten, testen wir abgesondert den "Extremfall", eine Amplitude von 180°, um diesen Effekt zu verstärken. Hierbei können wir beobachten, dass bereits nach einer Periode die Differenz der Amplitude etwa 60° beträgt; nach der zweiten 30°, usw.

Erklärung/Auswertung

Wie aus den Tabellen 1.03 und 2 zu entnehmen ist, haben unsere Stangen eine sehr ähnliche Länge ([math]l[/math]), jedoch eine unterschiedliche Masse: Stange 2 wiegt weniger als ein Viertel von Stange 1. Hiermit können wir Johannes' anfängliche Hypothese, dass die Masse ([math]m[/math]) irrelevant sei, sehr gut untermauern. Für die einzelnen Amplituden ([math]\hat y[/math]) weichen die Perioden ([math]T[/math]) jeweils nur um ein paar Hunderstelsekunden voneinander ab. "Ein solch geringer Unterschied hat seinen Ursprung nicht in einer so großen Massenrelation von 1:4" denken wir uns; die geringfügigen Längenunterschiede und Messungenauigkeiten müssen hierfür verantwortlich sein.
An dieser Stelle kommt Stange 3 ins Spiel, mit einer dritten Länge. Somit lässt sich die Abhängigkeit der Periode von der Länge besser untersuchen: auf den ersten Blick ist klar, dass die Periode mit Zunahme der Länge ebenfalls zunimmt ([math]l \propto T[/math]?). Um die genaue Abhängigkeit herauszufinden, probieren wir gängige Verhältnisse mithilfe einer allgemeinen Formel aus:
([math]c[/math] steht für die restlichen Bestandteile der Schwingungsformel; die Rechnungen gelten für [math]\hat y=45[/math]°)

1. [math]T = l c[/math]

[math]T \over l[/math][math] = c[/math] ; [math]1.77 \over l.06[/math][math] = 1.67[/math] ; [math]1.69 \over 1.01[/math][math] = 1.67[/math] ; [math]1.03\over 0.33[/math][math] = 3.12[/math]

1. [math]T = l^2 c[/math]

[math]T \over l^2[/math][math] = c[/math] ; [math]1.77 \over 1.06^2[/math][math] = 1.56[/math] ; [math]1.69 \over 1.01^2[/math][math] = 1.66[/math] ; [math]1.03\over 0.33^2[/math][math] = 9.46[/math]

1. [math]T = \sqrt{l} c[/math]

[math]c=[/math][math] T \over \sqrt{l}[/math] ; [math] 1.77 \over \sqrt{1.06}[/math][math]=1.71[/math] ; [math] 1.69 \over \sqrt{1.01}[/math][math]=1.68[/math] ; [math] 1.03\over \sqrt{0.33}[/math][math]=1.79[/math]

Nur bei [math]\sqrt {l}[/math] sind Züge einer Übereinstimmung zu erkennen. Somit lässt sich sagen, dass sich die Wurzel der Länge proportional zur Periode verhält ([math]\sqrt l \propto T[/math]).

Zusammenfassung

Die experimentelle Untersuchung der Schaukel begann damit, sich Fragen zu der Schaukel zu überlegen, etwa welche Kräfte wirken auf die Schaukel. Daraufhin wurden Experimente und Messungen durchgeführt, um diese Fragen zu beantworten. Als technische Hilfsmittel dienten uns zur Zeitmessung eine Handstoppuhr, zum Messen der verschiedenen Längen ein Metermaß. Außerdem zogen wir zur genaueren Beschreibung der Bewegung der Schaukel im Raum eine Videoanalyse hinzu. Es wurde induktiv gearbeitet, also vom Beispiel über Versuche zur allgemeinen Formel; d.h. wir haben von Speziellem (Schaukel) auf Allgemeines (allgemein gültige Formeln) geschlossen.

Bei unserem Experiment haben wir anhand eines Modelles berechnet, wie sich eine Schaukel in der Realität verhält, und haben diese Beobachtungen auf unseren Versuch übertragen um genauere Messergebnisse zu erzielen.

Man erhält beim schwingenden Stab und beim Fadenpendel jeweils einen funktionalen Zusammenhang zwischen Länge und Periode. Dieser gilt streng genommen nur für die untersuchte Amplitude. Das heißt, der Proportionalitätsfaktor hängt noch von der Amplitude ab. Ein Vergleich der beiden Schwingungen zeigt, dass der Stab, bei gleicher Länge, eine größere Periode hat. Das liegt am größeren Trägheitsmoment des Stabes, denn der Stab dreht sich beim Schwingen um seinen Schwerpunkt.

Schwingender Stab:
Abhängigkeit von l: [math]\hat y=45[/math]°

[math]T\over\sqrt{l}[/math](konstant)

[math]T\over\sqrt{l}[/math][math]\approx[/math]1,76 [math]s\over\sqrt{m}[/math]

[math]\Updownarrow[/math]

[math]T=1,76[/math][math]s\over\sqrt{m}[/math][math]sqrt{l}[/math]

[math]T=1,76[/math][math]s\over\sqrt{m}[/math][math]sqrt{2l'}[/math]

[math]T\approx 2,5[/math][math]s\over\sqrt{m}[/math][math]sqrt{l'}[/math]

Fadenpendel:
Abhängigkeit vom l: [math]\hat y=20[/math]°

[math]l\over T^2[/math][math]\approx 24[/math][math]m\over s^2[/math] (konstant)

[math]\Updownarrow[/math]

[math]T=\sqrt{l\over 0,24\frac{m}{s^{2}}[/math][math]=[/math][math]\sqrt{1 s^2\over 0,24 m}[/math][math]\cdot\sqrt{l}[/math]

[math]T\approx 2,0[/math][math]s\over\sqrt{m}[/math][math]\cdot\sqrt{l}[/math]

Fehlerbetrachtung

Bei den obigen Messwerten liegen natürlicherweise gewisse Ungenauigkeiten und Messfehler vor. In diesem speziellen Fall liegt das Fehlerspektrum bei der Periode [math]T[/math] bei ca. 0,05 sek und bei der Fadenlänge [math]l[/math] bei ca. 0,2 cm. Mit diesen Werten lässt sich nun ein Maximal- und ein Minimalwert errechnen. Der Durchschnitt dieser Extremwerte bietet dann eine zuverlässige Lösung für die Konstante [math]a[/math].

Fadenpendel:

[math]T\approx 1,915 \frac{s}{sqrt{m}}\sqrt{l}[/math]

[math]\rightarrow 1,915 \frac{s}{sqrt{m}}\approx\frac{T}{sqrt{l}}[/math]

Max./Min. Betrachtung

[math]\bar T=1{,}32\pm 0{,}05s(\pm3{,}8%)[/math]

[math]l=47{,}5cm\pm0{,}2cm(\pm0{,}4%)[/math]

[math]\Rightarrow\[/math][math]a[/math][math]_m_a_x={(1{,}32+0{,}05)s \over \sqrt{(47{,}5-0{,}2)cm}}=1{,}992{s\over\sqrt{m}}[/math]

[math]a[/math][math]_m_i_n={(1{,}32-0{,}05)s\over\sqrt{(47{,}5+0{,}2)cm}}=1{,}838{s\over\sqrt{m}}[/math]

[math]\Longrightarrow[/math][math]a[/math][math]=1{,}915{s\over\sqrt{m}}\pm0{,}08{s\over\sqrt{m}}(\pm4%)[/math]

Eine statistische Auswertung der Messwerte ist nicht möglich, da jeweils nur drei Zeitmessungen vorgenommen wurden, was zu wenig ist. Vgl mit Messunsicherheit und Fehlerrechnung.