Die Bewegungsgesetze einer harmonischen Schwingung: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>E_{kin}=\frac{1}{2}m \, v^2 = \frac{p^2}{2\, m}</math>
 
<math>E_{kin}=\frac{1}{2}m \, v^2 = \frac{p^2}{2\, m}</math>
  
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Die "restlichen" Energieformen wie Spann- und Lageeneergie ergänzen die Bewegungsenergie immer zu einer konstanten Summe. (Zumindest bei einer ungedämpften Schwingung.) Legt man das Nullniveau von potentieller Energie so, dass sie bei maximaler Bewegungsenergie gerade verschwindet, dann ist die maximale Bewegungsenergie gerade die Gesamtenergie der Schwingung!  
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Die "restlichen" Energieformen wie Spann- und Lageeneergie ergänzen die Bewegungsenergie immer zu einer konstanten Summe. (Zumindest bei einer ungedämpften Schwingung.) Die maximale Bewegungsenergie ist die Energiemenge, die im Laufe der Zeit ständig ihre Form (den Träger wechselt). Diese Energiemenge ist daher auch die Gesamteneergie der Schwingung!  
  
 
  <math>E_{kin} = \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \cos^2(w\, t) \qquad \qquad \hat E_{kin} =\frac{1}{2} m \, \hat y^2 \omega^2 </math> ist die maximale Bewegungsenergie.
 
  <math>E_{kin} = \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \cos^2(w\, t) \qquad \qquad \hat E_{kin} =\frac{1}{2} m \, \hat y^2 \omega^2 </math> ist die maximale Bewegungsenergie.

Version vom 10. Dezember 2011, 23:43 Uhr

Das Ortsgesetz

Aus der Zeigerdarstellung oder aus der Differentialgleichung folgt beidesmal der sinusförmige Verlauf der Elongation, also des Ortes: 

[math]y = \hat y \sin (\omega t)[/math]

Berechnung des Geschwindigkeitsgesetzes

Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderungsrate des Ortes, also muss man nach der Zeit ableiten. Dabei muss man die Kettenregel beachten.

v(t)=˙s(t)=(ˆysin(ωt)˙)=ˆycos(ωt)ω (Wiederholung: [f(g(t))]′=f′(g(t))g′(t)) 

[math] v(t) = \hat y \omega cos(\omega t) = \hat v cos(\omega t)\qquad \qquad \hat v = \hat y \omega [/math] ist die maximale Geschwindigkeit.

Berechnung des Beschleunigungsgesetzes

Um die Beschleunigung zu erhalten, muss man die Geschwindigkeit erneut ableiten.

a=˙v=ˆyω˙cos(ωt)=ˆyω(−sin(ωt))ω 

[math]a(t)=-\hat y \omega^2 \sin(\omega t) = \hat a \sin(\omega \, t)\qquad \qquad \hat a = -\hat y \omega ^2 [/math] ist die maximale Beschleunigung.

Folgerungen aus den Bewegungsgesetzen

Impuls

Der Impuls hängt direkt mit der Geschwindigkeit über p=mv zusammen: 

[math]p(t)=m \, \hat y\, \omega \ cos(\omega\, t) \qquad \qquad \hat p = m\, \hat y \,\omega[/math] ist der maximale Impuls.

Kraft

In Abhängigkeit von der Zeit

Die Beschleunigung hängt direkt mit der wirkenden Kraft über F=m a zusammen, daher folgt: 

[math]F(t)=-m\, \hat y\, \omega^2 \ \sin(\omega\, t) = \hat F \sin(\omega\, t)\qquad \qquad \hat F = -m\, \hat y \,\omega ^2[/math] ist die maximale Kraft.

In Abhängigkeit vom Ort

Ausserdem folgt aus der sinusförmigen Bewegung auch der lineare Zusammenhang F=−Dy von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder. Dazu muss man nur y=ˆysin(ωt) einsetzen:

F=−mˆyω2 sin(ωt) 
[math]F = -m \omega^2 \, y[/math]  , mit [math]D = m \omega^2[/math]


Energie

In Abhängigkeit von der Zeit

Die Bewegungsenergie hängt direkt mit der Geschwindigkeit, bzw. mit dem Impuls zusammen: Ekin=12mv2=p22m

Die "restlichen" Energieformen wie Spann- und Lageeneergie ergänzen die Bewegungsenergie immer zu einer konstanten Summe. (Zumindest bei einer ungedämpften Schwingung.) Die maximale Bewegungsenergie ist die Energiemenge, die im Laufe der Zeit ständig ihre Form (den Träger wechselt). Diese Energiemenge ist daher auch die Gesamteneergie der Schwingung! 

[math]E_{kin} = \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \cos^2(w\, t) \qquad \qquad \hat E_{kin} =\frac{1}{2} m \, \hat y^2 \omega^2 [/math] ist die maximale Bewegungsenergie.
Die Energie einer harmonischen Schwingung ist proportional zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude.

Wegen sin2(t)+cos2(t)=1 ist der die Bewegungsenergie ergänze Anteil der potentiellen Energie gerade:

Epot==12mˆy2ω2sin2(wt)

In Abhängigkeit vom Ort

Frequenz

Die maximal wirkende Rückstellkraft läßt sich auf zwei Arten berechnen. Einmal über die maximale Beschleunigung −ˆyω2 und einmal über die maximale Auslenkung ˆy.

Aus demder sinusförmigen Bewegung folgt auch der lineare Zusammenhang F=−Dy von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder: F(t)=−mˆyω2 sin(ωt)=ˆFsin(ωt)ˆF=−mˆyω2 ist die maximale Kraft.


(Siehe hier.)


ˆF=mˆa=−Dˆy

⇒−mˆyω2=−Dˆy. Teilt man nun noch durch die Amplitude ˆy und die Masse m, so folgt: 

[math]\omega^2= \frac{D}{m}[/math]  oder  [math]\omega= \sqrt{\frac{D}{m}}[/math]  ;  [math] f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}[/math]  ;  [math] T =  2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}[/math]   
Frequenz einer harmonischen Schwingung, sie hängt nicht von der Amplitude ab!

Die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt aus der Kreisfrequenz mit: ω=2πf und T=1f

Beispiel: Federpendel

Das Federpendel benöigt für 10 Schwingungen 12s bei einer Amplitude von 9cm.


T=1,2 ω=(2∗π1,2)


s(t)=9cm⋅sin((2∗π1,2s)∗t

v(t)=9cm∗(2∗π1,2s)∗cos((2∗π1,2s)∗t)

ˆv=9cm∗(2∗π1,2s)=47cms

Aufgaben

Zu 108.2

ω: Winkelgeschwindigkeit f: Umläufe pro Zeit

z.B.: f=2Hz

w=2∗π∗(1s)=4∗π∗(1s)

⇒ω=2∗π∗f und weil f=(1T)


ω=(2∗πT)

Zu 108.3

ϕ0: Phasenverschiebung

ϕ0=0∘: Schwingung in Phase

ϕ0=π(180∘): gegenphasig

Links

</math>

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