Lösungen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 20. Januar 2012, 16:18 Uhr

Lösung zu:

1.3  Aufgabe 1: (9.5;10.5;5,5)
     Aufgabe 2: L = { }

2.1  Aufgabe 1: - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden
Exponenten besteht. Oder wenn gilt: f(-x)= f(x) z.B. f(-2)= f(2)

- Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht.
oder wenn gilt: f(-x)= -f(x) z.B. f(-3)= -f(3)
 
2.1  Aufgabe 2: [math]P_1[/math](0|0) ist Sattelpunkt [math]\rightarrow[/math] 3-fache Nullstelle
                      [math]P_x[/math](3|0) ist einfache Nullstelle
                      [math]\rightarrow[/math] Ansatz: f(x)= [math]a_4[/math] [math]x^3[/math](x-3)
                      P2(2|-2): f(2)= -2 [math]\leftrightarrow[/math] [math]a_4[/math] * [math]2^3[/math](2-3)= -2 [math]\leftrightarrow[/math] [math]-8a_4[/math] = -2 [math]\leftrightarrow[/math] [math]a_4[/math] = [math]\frac{1}{4}[/math]
                      Funktionsgleichung: f(x)= [math]\frac{1}{4}[/math][math]x^3[/math](x-3) = [math]\frac{1}{4}[/math][math]x^4[/math] - [math]\frac{3}{4}[/math][math]x^3[/math]

2.1  Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=[math]x^4[/math] 
                         Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: f1(x)=[math](x-3)^4[/math]
                         Streckung um den Faktor 2: g(x)=[math]2(x-3)^4[/math] 
                         Neue Funktionsgleichung: g(x)=[math]2x^4[/math] - [math]24x^3[/math] + [math]108x^2[/math] - 216x + 162

                b) Achsensymmetrie: g(-x)= g(x)
                         g(x) = [math]2x^4[/math] - [math]24x^3[/math] + [math]108x^2[/math] - 216x + 162
                         g(-x)= [math]2(-x)^4[/math] - [math]24(-x)^3[/math] + [math]108(-x)^2[/math] -216(-x) + 162
                              = [math]2x^4[/math] + [math]24x^3[/math] + [math]108x^2[/math] + 216x + 162
                         [math]\rightarrow[/math] g(-x) ≠ g(x) [math]\rightarrow[/math] Der Graph ist nicht achsensymmetrisch.
                   Punktsymmetrie: g(-x) = -g(x)         (g(-x) siehe oben)
                         -g(x)= [math]-2x^4[/math] + [math]24x^3[/math] - [math]108x^2[/math] + 216x - 162
                         [math]\rightarrow[/math] g(-x) ≠ -g(x) [math]\rightarrow[/math] Der Graph ist nicht punktsymmetrisch

2.2  Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen

2.2  Aufgabe 2: f(x)= [math]\frac{1}{2}[/math][math]x^3[/math] [math]- 3x^2[/math] [math]\rightarrow[/math] keine Symmetrie!
                      f(x)=0 [math]\leftrightarrow[/math] [math]x^2[/math] ( [math]\frac{1}{2}[/math]x - 3) = 0
                      [math]\rightarrow[/math] [math]x_{1/2}[/math] = 0    [math]x_3[/math] = 6

2.2  Aufgabe 3:       f(x)= [math]4x^3[/math] + [math]12x^2[/math]
                      f´(x)= [math]12x^2[/math] + 24x
                      f´´(x)= 24x + 24
                      f´´´(x)= 24

                      f´(x)    = 0             
                      24x + 24 = 0

                      x       = -1
                      f´´´(x) ≠ 0
                      f´´´(-1)= 24

                      An der Stelle -1 liegt eine Wendestelle vor!

2.3  Aufgabe 1:       • f´(x)= [math]8 e^{2x}[/math]     , f´´(x)= [math]16 e^{2x}[/math]     , f´´´(x)= [math]32 e^{2x}[/math] 
                      • f´(x)= [math]e^{x+4}[/math]     , f´´(x)= [math]e^{x+4}[/math]     , f´´´(x)= [math]e^{x+4}[/math] 
                      • f´(x)= [math](x+3)e^x[/math] , f´´(x)= [math](x+4)e^x[/math] , f´´´(x)= [math](x+5)e^x[/math]