Lösungen: Unterschied zwischen den Versionen
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'''2.'''1 Aufgabe 1: - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden | '''2.'''1 Aufgabe 1: - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden | ||
| − | Exponenten besteht. Oder wenn gilt: f(-x)=f(x) z.B. f(-2)=f(2) | + | Exponenten besteht. Oder wenn gilt: f(-x)= f(x) z.B. f(-2)= f(2) |
- Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. | - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. | ||
| − | oder wenn gilt: f(-x)=-f(x) z.B. f(-3)=-f(3) | + | oder wenn gilt: f(-x)= -f(x) z.B. f(-3)= -f(3) |
| − | '''2.'''1 Aufgabe 2: | + | '''2.'''1 Aufgabe 2: <math>P_1</math>(0|0) ist Sattelpunkt <math>\rightarrow</math> 3-fache Nullstelle |
| − | + | <math>P_x</math>(3|0) ist einfache Nullstelle | |
| − | <math>\rightarrow</math> Ansatz: f(x)= a_4 x^3(x-3) | + | <math>\rightarrow</math> Ansatz: f(x)= <math>a_4</math> <math>x^3</math>(x-3) |
| − | P2(2|-2): f(2)= -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 * 2^3(2-3)= -2 <math>\leftrightarrow</math> -8a_4 = -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 = <math>\frac{1}{4}</math> | + | P2(2|-2): f(2)= -2 <math>\leftrightarrow</math> <math>a_4</math> * <math>2^3</math>(2-3)= -2 <math>\leftrightarrow</math> <math>-8a_4</math> = -2 <math>\leftrightarrow</math> <math>a_4</math> = <math>\frac{1}{4}</math> |
| − | Funktionsgleichung: f(x)= <math>\frac{1}{4}</math>x^3(x-3) = <math>\frac{1}{4}</math>x^4 - <math>\frac{3}{4}</math>x^3 | + | Funktionsgleichung: f(x)= <math>\frac{1}{4}</math><math>x^3</math>(x-3) = <math>\frac{1}{4}</math><math>x^4</math> - <math>\frac{3}{4}</math><math>x^3</math> |
| − | '''2.'''1 Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=x^4 | + | '''2.'''1 Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=<math>x^4</math> |
| − | Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: f1(x)=(x-3)^4 | + | Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: f1(x)=<math>(x-3)^4</math> |
| − | Streckung um den Faktor 2: g(x)=2(x-3)^ | + | Streckung um den Faktor 2: g(x)=<math>2(x-3)^4</math> |
| − | Neue Funktionsgleichung: g(x)=2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162 | + | Neue Funktionsgleichung: g(x)=<math>2x^4</math> - <math>24x^3</math> + <math>108x^2</math> - 216x + 162 |
| − | b) Achsensymmetrie: g(-x)=g(x) | + | b) Achsensymmetrie: g(-x)= g(x) |
| − | g(x) = 2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162 | + | g(x) = <math>2x^4</math> - <math>24x^3</math> + <math>108x^2</math> - 216x + 162 |
| − | g(-x)= 2(-x)^4 - 24(-x)^3 + 108(-x)^2 -216(-x) + 162 | + | g(-x)= <math>2(-x)^4</math> - <math>24(-x)^3</math> + <math>108(-x)^2</math> -216(-x) + 162 |
| − | = 2x^4 + 24x^3 + 108x^2 + 216x + 162 | + | = <math>2x^4</math> + <math>24x^3</math> + <math>108x^2</math> + 216x + 162 |
<math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht achsensymmetrisch. | <math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht achsensymmetrisch. | ||
Punktsymmetrie: g(-x) = -g(x) (g(-x) siehe oben) | Punktsymmetrie: g(-x) = -g(x) (g(-x) siehe oben) | ||
| − | -g(x)= -2x^4 + 24x^3 - 108x^2 + 216x - 162 | + | -g(x)= <math>-2x^4</math> + <math>24x^3</math> - <math>108x^2</math> + 216x - 162 |
<math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ -g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht punktsymmetrisch | <math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ -g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht punktsymmetrisch | ||
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'''2.'''2 Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen | '''2.'''2 Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen | ||
| − | '''2.'''2 Aufgabe 2: f(x)= <math>\frac{1}{2}</math>x^3 - 3x^2 <math>\rightarrow</math> keine Symmetrie! | + | '''2.'''2 Aufgabe 2: f(x)= <math>\frac{1}{2}</math><math>x^3</math> <math>- 3x^2</math> <math>\rightarrow</math> keine Symmetrie! |
| − | f(x)=0 <math>\leftrightarrow</math> x^2 ( <math>\frac{1}{ | + | f(x)=0 <math>\leftrightarrow</math> <math>x^2</math> ( <math>\frac{1}{2}</math>x - 3) = 0 |
| − | <math>\rightarrow</math> | + | <math>\rightarrow</math> <math>x_{1/2}</math> = 0 <math>x_3</math> = 6 |
| − | '''2.'''2 Aufgabe 3: f(x)= 4x^3 + 12x^2 | + | '''2.'''2 Aufgabe 3: f(x)= <math>4x^3</math> + <math>12x^2</math> |
| − | f´(x)= 12x^2 + 24x | + | f´(x)= <math>12x^2</math> + 24x |
f´´(x)= 24x + 24 | f´´(x)= 24x + 24 | ||
f´´´(x)= 24 | f´´´(x)= 24 | ||
| − | f´(x)= 0 | + | f´(x) = 0 |
24x + 24 = 0 | 24x + 24 = 0 | ||
| − | x = -1 | + | x = -1 |
f´´´(x) ≠ 0 | f´´´(x) ≠ 0 | ||
f´´´(-1)= 24 | f´´´(-1)= 24 | ||
Aktuelle Version vom 20. Januar 2012, 16:18 Uhr
Lösung zu:
1.3 Aufgabe 1: (9.5;10.5;5,5)
Aufgabe 2: L = { }
2.1 Aufgabe 1: - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Oder wenn gilt: f(-x)= f(x) z.B. f(-2)= f(2) - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. oder wenn gilt: f(-x)= -f(x) z.B. f(-3)= -f(3) 2.1 Aufgabe 2: [math]P_1[/math](0|0) ist Sattelpunkt [math]\rightarrow[/math] 3-fache Nullstelle [math]P_x[/math](3|0) ist einfache Nullstelle [math]\rightarrow[/math] Ansatz: f(x)= [math]a_4[/math] [math]x^3[/math](x-3) P2(2|-2): f(2)= -2 [math]\leftrightarrow[/math] [math]a_4[/math] * [math]2^3[/math](2-3)= -2 [math]\leftrightarrow[/math] [math]-8a_4[/math] = -2 [math]\leftrightarrow[/math] [math]a_4[/math] = [math]\frac{1}{4}[/math] Funktionsgleichung: f(x)= [math]\frac{1}{4}[/math][math]x^3[/math](x-3) = [math]\frac{1}{4}[/math][math]x^4[/math] - [math]\frac{3}{4}[/math][math]x^3[/math] 2.1 Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=[math]x^4[/math] Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: f1(x)=[math](x-3)^4[/math] Streckung um den Faktor 2: g(x)=[math]2(x-3)^4[/math] Neue Funktionsgleichung: g(x)=[math]2x^4[/math] - [math]24x^3[/math] + [math]108x^2[/math] - 216x + 162 b) Achsensymmetrie: g(-x)= g(x) g(x) = [math]2x^4[/math] - [math]24x^3[/math] + [math]108x^2[/math] - 216x + 162 g(-x)= [math]2(-x)^4[/math] - [math]24(-x)^3[/math] + [math]108(-x)^2[/math] -216(-x) + 162 = [math]2x^4[/math] + [math]24x^3[/math] + [math]108x^2[/math] + 216x + 162 [math]\rightarrow[/math] g(-x) ≠ g(x) [math]\rightarrow[/math] Der Graph ist nicht achsensymmetrisch. Punktsymmetrie: g(-x) = -g(x) (g(-x) siehe oben) -g(x)= [math]-2x^4[/math] + [math]24x^3[/math] - [math]108x^2[/math] + 216x - 162 [math]\rightarrow[/math] g(-x) ≠ -g(x) [math]\rightarrow[/math] Der Graph ist nicht punktsymmetrisch
2.2 Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen 2.2 Aufgabe 2: f(x)= [math]\frac{1}{2}[/math][math]x^3[/math] [math]- 3x^2[/math] [math]\rightarrow[/math] keine Symmetrie! f(x)=0 [math]\leftrightarrow[/math] [math]x^2[/math] ( [math]\frac{1}{2}[/math]x - 3) = 0 [math]\rightarrow[/math] [math]x_{1/2}[/math] = 0 [math]x_3[/math] = 6 2.2 Aufgabe 3: f(x)= [math]4x^3[/math] + [math]12x^2[/math] f´(x)= [math]12x^2[/math] + 24x f´´(x)= 24x + 24 f´´´(x)= 24 f´(x) = 0 24x + 24 = 0 x = -1 f´´´(x) ≠ 0 f´´´(-1)= 24 An der Stelle -1 liegt eine Wendestelle vor!
2.3 Aufgabe 1: • f´(x)= [math]8 e^{2x}[/math] , f´´(x)= [math]16 e^{2x}[/math] , f´´´(x)= [math]32 e^{2x}[/math] • f´(x)= [math]e^{x+4}[/math] , f´´(x)= [math]e^{x+4}[/math] , f´´´(x)= [math]e^{x+4}[/math] • f´(x)= [math](x+3)e^x[/math] , f´´(x)= [math](x+4)e^x[/math] , f´´´(x)= [math](x+5)e^x[/math]
