Dynamik (Zentripetalkraft und Bahnimpuls) der Kreisbewegung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 15. Juli 2015, 15:22 Uhr

Beispiele

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  Wie ist wohl dieses schöne Muster zustandegekommen?

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  Wie schafft es der Hammerwerfer diese Stahlkugel so weit zu werfen? Video: Weltrekordwurf von Youri Sedykh
  Bilderserie

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  Wenn man einen Milchaufschäumer zum Reinigen...

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  in einen Wasserstrahl hält...

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  spritzt das Wasser nach allen Seiten weg.

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  Sitzt du lieber Außen oder Innen?

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  Video: Die Kurve schneiden

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  Wikipedia: Ideallinie

Versuch: Tennisball schleudern

Simuliert den Hammerwurf. Wie fliegt der Hammer weg?

Versuch: Rutschende Münzen/fallende Männchen/rollende Kugeln

Münzen, Kugeln, Männchen drehen sich mit der gleichen Frequenz in unterschiedlichem Abstand zum Mittelpunkt auf einer drehenden Scheibe (Plattenspieler)

Wer fällt als erstes um?

Handversuch: Gummiprofen an Schnur durch Rohr

Viele Möglichkeiten

Genaue Vorgaben machen

ZB Abhängigkeit Frequenz - Kraft

Radius - Kraft

Masse - Kraft

Versuch ???

Feste Bahngeschwindigkeit, Man muss etwas um die Kurve kriegen: Drehstuhl im Flur, rollende Kugel auf Bahn, ...

Kraft messen oder fühlen.

qualitative Ergebnisse

Es wirkt eine Kraft senkrecht zur Bahn zum Mittelpunkt der Kreisbewegung.

Ohne die Kraft fliegt der Gegenstand tangential weg.

Diese Kraft ändert ständig die Richtung aber nicht die Menge des Impulses! Auch die Energiemenge bleibt konstant, durch die Kraft wird der Gegenstand nicht schneller.

Je schneller der Gegenstand und je enger der Kurvenradius, desto größer muss die Kraft sein.

Versuch: Messung der Zentripetalkraft

Versuchsaufbau zur Messung der Zentripetalkraft. ^[1]

Aufbau

Ein kleiner Wagen ist auf einer Schiene befestigt. Die Schiene kann mit einem Motor unterschiedlich schnell gedreht werden.

Eine Schnur ist an einem Kraftsensor und über eine Umlenkrolle am Wagen befestigt. Dreht sich die Schiene, so zieht die Schnur am Wagen und hält ihn so auf einer Kreisbahn. Diese Zentripetalkraft wird mit einem Kraftsensor gemessen.^[2]

Die Zentripetalkraft wird dann in Abhängigkeit vom Radius, der Winkelgeschwindigkeit und der Masse des Wagens gemessen. Dazu verändert man jeweils eine Größe und läßt die anderen konstant. Insbesondere ist von Interesse, wie sich bei einer Verdopplung des Radiuses oder der Winkelgeschwindigkeit oder der Masse die notwendige Zentripetalkraft ändert.

Mit einer Handstoppuhr kann man die Umlaufdauer ermitteln, am besten indem man die Zeit für 10 Umläufe bestimmt.

Die Masse wird mit einer Waage bestimmt.

Messungen

Ergebnisse

Berechnung der Zentripetalkraft

Eine Kugel bewegt sich um ein Kreiszentrum im Abstand 2.

Ein Gegenstand mit bekannter Masse [math]m[/math] umläuft ein Drehzentrum im Abstand [math]r[/math] und der Winkelgeschwindigkeit [math]\omega[/math]. Welche Zentripetalkraft benötigt man, um den Gegenstand auf der Kreisbahn zu halten?

Die Bewegungsgleichungen der Kreisbewegung beschreiben den zeitlichen Verlauf des Ortes, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung:

[math] \begin{array}{rrr} \vec s(t)= \;\;\;\; r \begin{pmatrix} \;\;\cos(\omega\,t) \\ \;\;\sin(\omega\,t) \end{pmatrix} = & \;\;\;\; r \ \vec {s_0} & \\ \vec v(t)= \;\omega\, r \begin{pmatrix} -\sin(\omega\,t) \\ \;\;\; \cos(\omega\,t) \end{pmatrix} = & \;\omega\, r \ \vec {v_0} \\ \vec a(t)= \omega^2\, r \begin{pmatrix} -\cos(\omega\,t) \\ -\sin(\omega\,t) \end{pmatrix} = & \omega^2\, r \ \vec {a_0} \end{array} [/math]

Der Impuls des Gegenstandes ist parallel zur Geschwindigkeit ([math]\vec p = m \, \vec v[/math]), man muss nur mit der Masse multiplizieren.

Die Kraft erhält durch Ableiten des Impulses ([math] \vec F = \dot {\vec p}[/math]) oder als das m-fache der Beschleunigung ([math]\vec F = m \, \vec a[/math]):

[math] \begin{array}{cc} \vec s(t)= \;\;\;\; r \ \vec {s_0} & \\ \vec v(t)= \;\omega\, r \ \vec {v_0} & \vec p(t)= m\,\omega\, r \ \vec {v_0} \\ \vec a(t)= \omega^2\, r \ \vec {a_0} & \vec F(t)= m\,\omega^2\, r \ \vec {a_0} \end{array} [/math]

Alle Bewegungsgesetze sind der Form "Zahl mal Vektor". Die Vektoren haben alle die Länge eins und geben daher nur die Richtung an.Der Impulssvektor ist tangential zur Kreisbahn und die Kraft zeigt zur Kreismitte. Die Zahl vor dem Vektor ist daher gerade der Betrag des Ortes, der Geschwindigkeit, usw.

Die Richtung der Vektoren verändert sich mit der Zeit, dagegen bleiben die Beträge immer konstant.

Formeln

Für gegebene Winkelgeschwindigkeit

Beschreibt eine Situation, in der die Frequenz, Umlaufdauer oder Winkelgeschwindigkeit festgelegt ist. Z. B. eine Waschmaschine, Karussell, Plattenspieler, etc.

Die obige Berechnung der Impuls- und Kraftvektoren lieferte den Betrag der Zentripetalkraft. Mit [math]\omega = 2\,\pi\,f = \frac{2\,\pi}{T}[/math] läßt sich die Winkelgeschwindigkeit auch mit der Frequenz oder der Umlaufdauer berechnen.

[math]F = m \, \omega^2 r = m \ 4\, \pi^2 \! f^2 \; r = m \, \frac{ 4 \, \pi^2 }{T^2} \, r[/math]

Die Zentripetalkraft ist bei fester Frequenz proportional zum Radius! (doppelter Radius - doppelte Kraft)

Für gegebene Bahngeschwindigkeit

Beschreibt eine Situation, bei der die Bahngeschwindigkeit festgelegt ist. Z. B. ein Fahrrad (Auto, Inliner, ...), das in die Kurve fährt.

Man setzt dazu die Winkelgeschwindigkeit [math]\omega = \frac{v}{r}[/math] ein und kürzt mit dem Radius [math]r[/math]:

[math]F=\frac{m \, v^2}{r}[/math]

Die Zentripetalkraft ist bei fester Bahngeschwindigkeit antiproportional zum Radius! (doppelter Radius - halbe Kraft)

Mischform mit Impuls

Mit [math]p = m \, v[/math] und [math]v=\omega \, r[/math] kann man die Größe der benötigten Zentripetalkraft auch mit dem Impuls ausdrücken:

Im Falle der konstanten Winkelgeschwindigkeit steigt die Impulsmenge und damit auch die Kraft proportional zum Radius. Denn bei doppeltem Radius verdoppelt sich auch der Umfang und somit die Bahngeschwindigkeit und der Impuls.

Im Falle der konstanten Bahngeschwindigkeit ist auch der Impuls konstant. Die Winkelgeschwindigkeit und damit auch die Kraft ist antiproportional zum Radius. Denn bei doppeltem Radius ist die Winkelgeschwindigkeit nur noch halb so groß.

Links

• youtube: hammer throw: 1986 Youri Sedykh's World Record Series
• Hammerwerferin Tatyana Lysenko

Fußnoten

1. ↑
   • 

     Befestigung der Stativstangen

   • 

     Befestigung des Motors

   • 

     Befestigung des Kraftsensors

2. ↑ Der Sensor hat gegenüber einem Federkraftmesser den Vorteil, dass er sich nur unwesentlich dehnt und dadurch den Radius der Kreisbewegung fast nicht ändert.