Heuristische Lösungen der eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödingergleichung: Unterschied zwischen den Versionen
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Aktuelle Version vom 13. Juni 2023, 16:08 Uhr
(Kursstufe > Atomphysik und die Schrödingergleichung)
Inhaltsverzeichnis
Ziel
Wir suchen Funktionen [math]\psi(x)[/math], mit den folgenden Eigenschaften:
- [math]\Psi''(x)=-c (E-E_{pot}(x))\Psi(x)[/math], mit [math]c=\frac{8\pi^2m}{h^2}[/math]
- Die Funktion muss sinnvoll als Zustandsfunktion eines Quants interpretierbar sein.
Eigenschaften der Zustandsfunktion
vergrößern
Anhand des Beispiels des endlich hohen Potentialtopfes kann man sich die wesentlichen Eigenschaften der Zustandsfunktion klar machen.
- gebundener Zustand: [math]E \lt E_a[/math]
- im Kasten: [math] E \gt E_{pot}[/math]
- Außerhalb des Kastens: [math]E \lt E_{pot}[/math]
- freier Zustand: [math]E \gt E_a[/math]
Übersicht der Eigenschaften
An Orten [math]x[/math] mit "kleinem" Potential: Wellenförmiger Verlauf "Stehende Welle"
- Falls [math]\psi(x)\gt0[/math], dann ist [math]\psi''(x)\gt0[/math], die Kurve [math] \psi(x)[/math] ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve).
- Falls [math]\psi(x)\lt0[/math], dann ist [math]\psi''(x)\gt0[/math], die Kurve [math]\psi(x)[/math] ist linksgekrümmt (Linkskurve).
- Falls [math]\psi(x)=0[/math], dann ist [math]\psi''(x)=0[/math], die Kurve [math]\psi(x)[/math] hat einen Wendepunkt
An Orten [math]x[/math] mit "großem" Potential: [math] E \lt E_{pot}(x)[/math]: Exponentieller Verlauf "Tunneleffekt"
- Falls [math]\psi(x)\lt0[/math], dann ist [math]\psi''(x)\gt0[/math], die Kurve [math]\psi(x)[/math] ist linksgekrümmt (Linkskurve).
- Falls [math]\psi(x)\gt0[/math], dann ist [math]\psi''(x)\gt0[/math], die Kurve [math]\psi(x)[/math] ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve).
An Orten mit [math]E = E_{pot}(x)[/math]
- Hier ist [math]\psi''(x)=0[/math], die Kurve [math]\psi(x)[/math] hat einen Wendepunkt.
Randbedingung
Die Zustandsfunktion muss für große und kleine Werte von x gegen Null streben, sonst ist sie nicht normierbar. Die Fläche unter [math]\psi^2[/math] muss Eins betragen.
Links
- Ein intuitiver Zugang zur Schrödingergleichung (Dr. Josef Küblbeck)
- Der Weg zur Schrödinger-Gleichung (Münchner Internetprojekt zur Lehrerfortbildung in Quantenmechanik (milq))
