Die Energie des elektrischen Feldes: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Betrachtungen zur Energie des elektrischen Feldes führt man am Beispiel eines idealen Plattenkondensators durch. Dadurch sind die Ergebnisse auch auf alle homogenen Felder übertragbar. Bei inhomogenen Feldern muss man einen hinreichend kleinen Raumausschnitt wählen, in dem das Feld annähernd homogen ist.
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([[Inhalt_Kursstufe|'''Kursstufe''']] > [[Inhalt_Kursstufe#Das elektrische Feld|'''Das elektrische Feld''']])
  
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==Energiegehalt des elektrischen Feldes eines Kondensators==
 
  
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Man lädt einen idealen Plattenkondensator auf und betrachtet die dazu benötigte Energiemenge.
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Die Betrachtungen zur Energie des elektrischen Feldes führt man am Beispiel eines idealen Plattenkondensators durch. Dadurch sind die Ergebnisse auch auf alle homogenen Felder übertragbar. Bei inhomogenen Feldern muss man einen hinreichend kleinen Raumausschnitt wählen, in dem das Feld annähernd homogen ist.
  
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Entweder integriert man zeitlich über die Energiestromstärke: <math>E_{el}=\int_0^\infty \dot E\, dt=\int_0^\infty U\, I\, dt</math> Dazu muss man aber den genauen zeitlichen Verlauf von Spannung und Stromstärke kennen, was die Beschreibung mit einer DGL nach sich zieht.
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====Energiedichte des elektrischen Feldes eines Kondensators====
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'''Versuch: Plattenabstand vergrößern bei konstanter Ladung'''
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[[Datei:Kondensator_statisches_Voltmeter.jpg|thumb|Versuchsaufbau mit statischem Voltmeter]]
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[[Datei:Kondensator_auseinanderziehen.png|thumb|200px|Bei größerem Abstand gibt es mehr Feld mit der gleichen Feldstärke. Der Abstand der Äquipotentialflächen bleibt gleich.]]
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Ein Plattenkondensator wird z.B. mit einer geriebenen Schallplatte oder mit einem Hochspannungsnetzgerät auf 10kV aufgeladen und dann von der Spannungsquelle getrennt. Danach vergrößert und verkleinert man den Abstand der Platten.
  
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Deshalb integriert man einfacher über die hineinfließende Ladung, für deren Transport auf die Platten man je nach Spannung mehr oder weniger Energie benötigt. (Die Spannung ist das Beladungsmaß und die Ladung der Energieträger.)
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;Beobachtung
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Beim Auseinanderziehen der Platten steigt die Spannung an. Schiebt man die Platten wieder auf den ursprünglichen Abstand zusammen, so stellt sich auch die ursprüngliche Spannung wieder ein.
  
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: <math>E_{el}=\int_0^{Q_{max}} U(Q)\,dQ</math>
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[http://www.physik.uni-wuerzburg.de/video/elehre1/e1versuch7.html Video des Versuchs]. (Uni Würzburg)
  
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Bei einem idealen Kondensator steigt die Spannung mit der Ladung linear an ( <math>U=\frac{1}{C}\, Q</math>), die Kapazität ist ja konstant. Das Integral entspricht einer Dreiecksfläche:
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Man kann den Versuch auch mit der Animation des Plattenkondensators nachvollziehen. Den Plattenabstand kann man mit dem Schieberegler verändern.
  
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: <math>E_{el}=\int_0^{Q_{max}} \frac{1}{C}\, Q\,dQ = \frac{1}{C} \left[\frac{1}{2}\, Q^2\right]_0^{Q_{max}} =\frac{1}{2} \, \frac{1}{C}\, Q_{max}^2=\frac{1}{2} \, \frac{1}{C}\, C^2\, U_{max}^2
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: <math>E_{el}=\frac{1}{2}\, \frac{1}{C}\,Q^2=\frac{1}{2}\,C\,U^2</math>
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(Zur [https://www.geogebra.org/material/show/id/xf47ywdu Datei] und zum [https://www.geogebra.org/download?lang=de Programm])
  
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Die Formel hat die gleiche Struktur wie die Energie einer stromdurchflossenen Spule!
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;Folgerung
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Die Ladung pro Fläche und damit die Feldstärke ist konstant:
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:<math>E = \frac{1}{\epsilon_0}\frac{Q}{A}</math>
  
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==Die Energiedichte des elektrischen Feldes==
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Die räumliche Änderung des Potentials ist daher auch konstant. Bei größerem Abstand steigt deswegen die Potentialdifferenz, also die Spannung:
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:<math>E = \varphi ' = \frac{\Delta \varphi}{\Delta s} = \frac{U}{d} \quad \Rightarrow \quad U = E\, d </math>
  
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Nimmt man eine idealisierten geladenen Kondensator, so kann man eine quantitative Aussage über die Energiedichte machen.
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Bei konstanter Ladung ist die Spannung proportional<ref>Vergrößert man den Abstand der Platten immer weiter, vielleicht bis auf mehrere Meter, so ist schwer vorstellbar, dass dann immer noch die Spannung proportional zum Abstand ist. Dies ist auch nicht der Fall. Die Spannung wird zwar weiter steigen, aber weniger stark. Nur wegen der Idealisierung des Kondensatorfeldes als homogen stimmt obige Rechnung. Bei einem "großem" Abstand gleicht der Kondensator eher einem Dipol.</ref>
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zum Plattenabstand.  Je kleiner der Abstand, desto kleiner die Spannung. Die Kapazität des Kondensators nimmt deswegen mit kleinerem Abstand zu, was man auch durch [[Der_Kondensator#Der_ideale_Kondensator|theoretische Überlegungen]] findet.
  
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Der Kondensator habe die Fläche A, den Plattenabstand d und sei mit einer Spannung von U geladen.
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Für das Auseinanderziehen der Platten ist Energie nötig, denn die Platten werden vom Feld zusammengezogen. Diese Energie steckt in dem immer größer werdenden Feld und kommt aus dem Menschen, der die Platten auseinanderzieht. Die Energiedichte beschreibt wieviel Energie pro Volumen im Feld gespeichert ist:
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:<math>
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\begin{array}{rcl}
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\rho_{el}&=& \frac{W}{V} \\
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        &=& \frac{\frac{1}{2}C\,U^2}{A\,d}\\
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        &=& \frac{\frac{1}{2} \epsilon_0 \, \frac{A}{d}\, (E\,d)^2}{A\,d}\\
 +
        &=& \frac{\frac{1}{2} \epsilon_0 \, A\, E^2 d^2}{A\,d^2}\\
 +
        &=& \frac{1}{2} \epsilon_0 \,  E^2
 +
\end{array}
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</math>
  
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Ein idealisierter Kondensator hat ausschließlich im Inneren ein elektrisches Feld. Das Feldvolumen beträgt daher:
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Das Endergebnis hängt nicht von Eigenschaften des Kondensators, wie Fläche oder Abstand, ab! Nur die Feldstärke spielt eine Rolle. Dies unterstützt nochmal die Behauptung, dass die Energie im Feld gespeichert wird.  
  
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: <math>V=A\,d</math>
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In der Energiedichte spielt außerdem die Ausdehnung des Feldes keine Rolle, jedem beliebig kleinen Feldausschnitt kann man eine Energiedichte zuordnen. Deshalb ist der Zusammenhang von Feldstärke und Energiedichte auf jedes elektrische Feld, auch auf inhomogene Felder, übertragbar.
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Die Energiemenge beträgt  <math>\frac{1}{2} \, C \, U^2</math>, mit  <math>C = \epsilon_0 \epsilon_r \frac{A}{d}</math> :
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: <math>E_{el}=\frac{1}{2} \, \epsilon_0 \epsilon_r \, \frac{A}{d} \, U^2
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</math>
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: <math>\frac{E_{el}}{V}= \rho_{el} = \frac{1}{2} \, \epsilon_0 \epsilon_r \, \frac{U^2}{d^2}</math>
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: <math>\rho_{el} =\frac{1}{2} \, \epsilon_0 \epsilon_r \, E_{el}^2</math>
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{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
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Die Energiedichte eines elektrischen Feldes<ref>Auch das Magnetfeld und das Gravitationsfeld haben eine Energiedichte: <br/><math>\rho_{mag} = \frac{1}{2} \mu_0 \, H^2 \text{  }</math> und <math>\text{  }\rho_{grav} =  \frac{1}{2} \frac{1}{4\, \pi\, G} \,  g^2</math> </ref>
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ist proportional zum Quadrat der Feldstärke:
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:<math>\rho_{el} = \frac{W}{V} = \frac{1}{2} \epsilon_0 \,  E^2</math>
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|}
  
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Die Formel hat die gleiche Struktur wie die Energiedichte des magnetischen Feldes!
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==Fußnoten==
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<references />

Aktuelle Version vom 10. Februar 2023, 10:33 Uhr

(Kursstufe > Das elektrische Feld)


Die Betrachtungen zur Energie des elektrischen Feldes führt man am Beispiel eines idealen Plattenkondensators durch. Dadurch sind die Ergebnisse auch auf alle homogenen Felder übertragbar. Bei inhomogenen Feldern muss man einen hinreichend kleinen Raumausschnitt wählen, in dem das Feld annähernd homogen ist.

Energiedichte des elektrischen Feldes eines Kondensators

Versuch: Plattenabstand vergrößern bei konstanter Ladung

Versuchsaufbau mit statischem Voltmeter
Bei größerem Abstand gibt es mehr Feld mit der gleichen Feldstärke. Der Abstand der Äquipotentialflächen bleibt gleich.

Ein Plattenkondensator wird z.B. mit einer geriebenen Schallplatte oder mit einem Hochspannungsnetzgerät auf 10kV aufgeladen und dann von der Spannungsquelle getrennt. Danach vergrößert und verkleinert man den Abstand der Platten.

Beobachtung

Beim Auseinanderziehen der Platten steigt die Spannung an. Schiebt man die Platten wieder auf den ursprünglichen Abstand zusammen, so stellt sich auch die ursprüngliche Spannung wieder ein.

Video des Versuchs. (Uni Würzburg)

Man kann den Versuch auch mit der Animation des Plattenkondensators nachvollziehen. Den Plattenabstand kann man mit dem Schieberegler verändern.

(Zur Datei und zum Programm)

Folgerung

Die Ladung pro Fläche und damit die Feldstärke ist konstant:

[math]E = \frac{1}{\epsilon_0}\frac{Q}{A}[/math]

Die räumliche Änderung des Potentials ist daher auch konstant. Bei größerem Abstand steigt deswegen die Potentialdifferenz, also die Spannung:

[math]E = \varphi ' = \frac{\Delta \varphi}{\Delta s} = \frac{U}{d} \quad \Rightarrow \quad U = E\, d [/math]

Bei konstanter Ladung ist die Spannung proportional[1] zum Plattenabstand. Je kleiner der Abstand, desto kleiner die Spannung. Die Kapazität des Kondensators nimmt deswegen mit kleinerem Abstand zu, was man auch durch theoretische Überlegungen findet.

Für das Auseinanderziehen der Platten ist Energie nötig, denn die Platten werden vom Feld zusammengezogen. Diese Energie steckt in dem immer größer werdenden Feld und kommt aus dem Menschen, der die Platten auseinanderzieht. Die Energiedichte beschreibt wieviel Energie pro Volumen im Feld gespeichert ist:

[math] \begin{array}{rcl} \rho_{el}&=& \frac{W}{V} \\ &=& \frac{\frac{1}{2}C\,U^2}{A\,d}\\ &=& \frac{\frac{1}{2} \epsilon_0 \, \frac{A}{d}\, (E\,d)^2}{A\,d}\\ &=& \frac{\frac{1}{2} \epsilon_0 \, A\, E^2 d^2}{A\,d^2}\\ &=& \frac{1}{2} \epsilon_0 \, E^2 \end{array} [/math]

Das Endergebnis hängt nicht von Eigenschaften des Kondensators, wie Fläche oder Abstand, ab! Nur die Feldstärke spielt eine Rolle. Dies unterstützt nochmal die Behauptung, dass die Energie im Feld gespeichert wird.

In der Energiedichte spielt außerdem die Ausdehnung des Feldes keine Rolle, jedem beliebig kleinen Feldausschnitt kann man eine Energiedichte zuordnen. Deshalb ist der Zusammenhang von Feldstärke und Energiedichte auf jedes elektrische Feld, auch auf inhomogene Felder, übertragbar.

Die Energiedichte eines elektrischen Feldes[2] ist proportional zum Quadrat der Feldstärke:

[math]\rho_{el} = \frac{W}{V} = \frac{1}{2} \epsilon_0 \, E^2[/math]

Fußnoten

  1. ↑ Vergrößert man den Abstand der Platten immer weiter, vielleicht bis auf mehrere Meter, so ist schwer vorstellbar, dass dann immer noch die Spannung proportional zum Abstand ist. Dies ist auch nicht der Fall. Die Spannung wird zwar weiter steigen, aber weniger stark. Nur wegen der Idealisierung des Kondensatorfeldes als homogen stimmt obige Rechnung. Bei einem "großem" Abstand gleicht der Kondensator eher einem Dipol.
  2. ↑ Auch das Magnetfeld und das Gravitationsfeld haben eine Energiedichte:
    [math]\rho_{mag} = \frac{1}{2} \mu_0 \, H^2 \text{ }[/math] und [math]\text{ }\rho_{grav} = \frac{1}{2} \frac{1}{4\, \pi\, G} \, g^2[/math]
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