Gedämpfte Schwingungen: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | + | Je nach Wert des sogenannten Dämpfungskoeffizienten <math>\delta = \frac{k}{2\, m}</math> erhält man verschiedene Lösungen der DGL und somit grundsätzlich verschiedene Bewegungstypen. Dazu vergleicht man den Dämpfungskoeffizienten <math>\delta</math> mit der Kreisfrequenz <math>\omega_0</math> der freien, ungedämpften Schwingung: | |
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| + | && 0 & > {\omega_0}^2 - \delta ^2 \\ | ||
| + | \Leftrightarrow &&\delta ^2 & > {\omega_0}^2\\ | ||
| + | \Leftrightarrow &&\frac{k^2}{4\, m^2} & > \frac{D}{m}\\ | ||
| + | \Leftrightarrow &&k^2 & > 4\, D\, m\\ | ||
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| + | :<math>y(t) = \hat y \, e^{-K t} \quad\textrm{mit} \quad K = k-\sqrt{k^2 - {\omega_0}^2}</math> | ||
===Bei einem Strömungswiderstand und "großer" Geschwindigkeit=== | ===Bei einem Strömungswiderstand und "großer" Geschwindigkeit=== | ||
Aktuelle Version vom 1. Dezember 2025, 16:44 Uhr
(Kursstufe > Mechanische Schwingungen)
Inhaltsverzeichnis
Merkmale einer gedämpften Schwingung
Beispiele
Versuch: Schwingende Stange
Aufbau
Datei:Versuchsaufbau Schwingungen gedämpft Stange.jpg
Versuchsaufbau mit Markierungen der Amplitude.
Beobachtung
Messwerte:
Versuch: Wassergedämpftes Federpendel
Aufbau
Datei:Versuchsaufbau Schwingungen gedämpft.jpg
Versuchsaufbau mit variablen Gewichten und Scheiben.
Beobachtung
Datei:Schwingung Dämpfung klein.png
Bla bla bla
Datei:Schwingung Dämpfung mittel.png
Bla bla bla
Datei:Schwingung Dämpfung Grenzfall.png
Bla bla bla
Datei:Schwingung Dämpfung Kriechfall.png
Bla bla bla
Theoretischer Hintergrund
Bei Gleitreibung
Die Amplitude nimmt linear ab, die Frequenz ändert sich nicht.
- [math]F_{R}=const.[/math]
- DGL: [math]m\ddot y=-Dy\pm F_R[/math]
Bei einem Strömungswiderstand und "kleiner" Geschwindigkeit
Laminare Strömung ohne Wirbel [math]F_{R}\sim v [/math]
- [math] \begin{align} \text{DGL:} \quad m\, \ddot y &=-D\, y -k\, \dot y \quad(k:Reibungskoeffizient)\\ \ddot y &=-{D\over m}\, y -{k\over m}\, \dot y \\ \end{align} [/math]
Verschiedene Fälle der Bewegung
Je nach Wert des sogenannten Dämpfungskoeffizienten [math]\delta = \frac{k}{2\, m}[/math] erhält man verschiedene Lösungen der DGL und somit grundsätzlich verschiedene Bewegungstypen. Dazu vergleicht man den Dämpfungskoeffizienten [math]\delta[/math] mit der Kreisfrequenz [math]\omega_0[/math] der freien, ungedämpften Schwingung:
- 1) Schwingfall (schwache Dämpfung))
- [math] \begin{align} && 0 &\lt {\omega_0}^2 - \delta ^2\\ \Leftrightarrow &&\delta ^2 &\lt {\omega_0}^2\\ \Leftrightarrow &&\frac{k^2}{4\, m^2} &\lt \frac{D}{m}\\ \Leftrightarrow &&k^2 &\lt 4\, D\, m\\ \end{align} [/math]
- [math]y(\, t)=\hat y \, e^{-\delta\, t}\cos(\omega \, t) \qquad\textrm{mit} \quad \omega^2={\omega_0}^2 -\delta ^2[/math]
Die Amplitude nimmt exponentiell ab.
- 2) aperiodischer Grenzfall
- [math] \begin{align} && 0 & = {\omega_0}^2 - \delta ^2\\ \Leftrightarrow &&\delta ^2 &= {\omega_0}^2\\ \Leftrightarrow &&\frac{k^2}{4\, m^2} & = \frac{D}{m}\\ \Leftrightarrow &&k^2 & = 4\, D\, m\\ \end{align} [/math]
- 3) Kriechfall (starke Dämpfung)
- [math]\quad \delta^2 \gt {\omega_0}^2 \quad \Leftrightarrow \quad k^2 \gt 4\,D\,m [/math]
- [math] \begin{align} && 0 & \gt {\omega_0}^2 - \delta ^2 \\ \Leftrightarrow &&\delta ^2 & \gt {\omega_0}^2\\ \Leftrightarrow &&\frac{k^2}{4\, m^2} & \gt \frac{D}{m}\\ \Leftrightarrow &&k^2 & \gt 4\, D\, m\\ \end{align} [/math]
- [math]y(t) = \hat y \, e^{-K t} \quad\textrm{mit} \quad K = k-\sqrt{k^2 - {\omega_0}^2}[/math]
Bei einem Strömungswiderstand und "großer" Geschwindigkeit
Strömung mit Wirbelbildung
- [math]F_{R}\sim v^2[/math]
- DGL: [math]m\ddot y=-Dy-r\dot y^2[/math] [math]\Rightarrow[/math]ist nicht exakt lösbar! (nur näherungsweise mit Computer)
Aufgaben
1. Was muss man bedenken, wenn man die Dämpfung einer LKW-Feder plant?Da der LKW schwere Last transportieren muss, braucht er eine gewisse Schwingung.Unbeladen schaukelt er dann zwar stark, aber mit Last wäre er sonst eine Gefährdung.
2. Die Dämpfung bei einem Auto ist unsymmetrisch. Sie ist beim Zusammendrücken stärker, als beim Auseinanderziehen. Warum ist es so?Da die Straße nicht immer eben ist, muss durch eine Dämpfung ein Ausgleich geschaffen werden. Sie ist daher asymmetrisch, weil z.B. bei einem Schlagloch der Ausgleich nur auf einer Seite sein muss.
