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====Erklärung und Auswertung====
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Die gemessene Spannung läßt sich mit der Lorentzkraft auf die bewegten Ladungsträger erklären. Diese verschieben sich aufgrund der wirkenden Lorentzkraft quer zum Leiter. In den meisten Leitern, insbesondere in Metallen, sind die Ladungsträger die Elektronen.
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Die Verschiebung der Elektronen verursacht andererseits ein elektrisches Feld, dass der Lorentzkraft entgegenwirkt. Deshalb stellt sich ein Gleichgewicht ein, bei dem die Lorentzkraft auf ein Elektron gleich der elektrischen Kraft ist.
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Diese Zeichnung zeigt das Plättchen im Magnetfeld. Durch die angelegte Spannung fließt ein Strom vom positiven Pol zum negativen Pol. Im Falle von Metallen sind die Ladungsträger negative Elektronen und bewegen sich vom Minus- zum Pluspol. Verwendet man p-dotierte Halbleiter, so können wandern positive "Löcher" vom Plus- zum Minuspol.
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=====Berechnung der Hallspannung=====
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Um den Zusammenhang zwischen Hallspannung, Magnetfeldstärke, Stromstärke und den Materialeigenschaften des Leiters zu untersuchen, macht man zwei Ansätze:
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#Das elektrische Feld ähnelt dem eines Plattenkondensators.
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#Die Lorentzkraft auf die Ladungen ist gleich der elektrischen Kraft.
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:: <math>F_E=F_L</math>
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Man setzt ein:  <math>F_E= q \, E = e \, E</math> mit der Elementarladung  <math>e</math> eines Elektrons<ref>Hierbei nimmt man an, dass die Ladungsträger im Leiter jeweils eine Elementarladung tragen. Man kann aber auch annehmen, dass die Ladungsträger mehr Ladung tragen, die nachfolgende Rechnung ändert sich dadurch nicht</ref>.
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Für die Feldstärke nimmt man einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand h an, also:  <math>E=\frac{U_H}{h}</math>
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Die Lorentzkraft auf ein Elektron beträgt: <math>F_L =\mu_0\, e \, v \, H</math>
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: <math>e \frac{U_H}{h}= \mu_0\, e \, v \, H</math>
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:{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
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(*) <math>U_H = \mu_0\, v \, H \, h</math>
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Die Hallspannung ist proportional zur Magnetfeldstärke (Flussdichte)<br>
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und zur Geschwindigkeit der Ladungsträger.<br>
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Die Hallspannung hängt nicht von der Ladungsmenge auf den Ladungsträgern ab.
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<gallery widths=180px heights=130px  perrow=4 >
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Bild:Sester_und_Freiburger_Elle_am_Münster.jpg|Die "Freiburger Elle" und das Hohlmaß "Sester" am Freiburger Münster.
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Bild:DirkNowitzki.jpg|Dirk Nowitzki is a "7-footer": 7 feet, 0 Inches tall.
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Bild:LeBron James.jpg|LeBron James is only 6 feet 9 Inches tall.
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Bild:Mars Climate Orbiter.jpg|Diese Marssonde ist am 23. September 1999 in der Marsatmosphäre verglüht.
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Bis jetzt bleiben Materialeigenschaften unberücksichtigt. Das ändert sich, wenn man die Ladungsträgerdichte im leitenden Material betrachtet:
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===Fragen zum Film. "[https://www.zdf.de/dokumentation/terra-x/jagd-nach-dem-urmeter-die-geburt-des-meters-100.html Jagd nach dem Urmeter] ([https://www.youtube.com/watch?v=ZHWPyg25XoA auf youtube])"===
  
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Die Kraft auf alle Elektronen im Leiter ist <math>F_{Lges}=\mu_0 \, H \, I \, l</math>.
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*Am 11. Dezember 1998 startete die Raumsonde "[https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mars-climate-orbiter-absturz-wegen-leichtsinnsfehler-beim-rechnen-a-44777.html Mars Climate Orbiter]" vom Weltraumbahnhof Cape Canaveral. Am 23. September 1999 erreichte die Sonde den Mars und stürzte ab. Was war der Grund für den Absturz?
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Wenn man annimmt, dass sich die Anzahl von <math>N_q</math><ref>Es ist üblich [https://de.wikipedia.org/wiki/Teilchenzahl Teilchenzahlen] mit einem großen N abzukürzen und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Stoffmenge Stoffmenge] mit einem kleinen n.</ref> Elektronen im Leiter befindet, ergibt sich die Kraft auf ein Elektron als der <math>N_q</math>-te Teil der gesamten Kraft:
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*Der "Sturm auf die Bastille" gilt als der Beginn der französischen Revolution. An welchem Tag fand die Eroberung dieses Gefängnisses statt? (Tipp: Welches ist der französische Nationalfeiertag?)
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*Warum gab es in Frankreich vor der Revolution so viele verschiedene Maßeinheiten und wieviele waren es ungefähr?
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: <math>F_E=F_L</math>
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*Welche Namen hatten die verschiedenen Längeneinheiten?
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[[Datei:Aufgabe zur Triangulation.png|thumb|Triangulation zwischen Basel und Karlsruhe]]
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(**)  <math>e \frac{U_H}{h}=\mu_0 \ H \, I \, l \, \frac{1}{N_q}</math>
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*Welche Nachteile hatten die vielen unterschiedlichen Maßeinheiten?
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*Die Akademie der Wissenschaften bekommt von der Nationalversammlung den Auftrag ein neues Maßsystem zu erarbeiten. [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude-Antoine_Prieur Antoine Prieur] will einfach ein Pariser Maß als die neue einheitliche festlegen. Die anderen Wissenschaftler lehnen den Vorschlag ab. Wie will die Mehrheit der Akademie das Meter festlegen? Wie argumentieren Prieur und wie die restlichen Wissenschaftler?
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Nach der Hallspannung auflösen:
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*Was ist ein "[https://de.wikipedia.org/wiki/Meridian_(Geographie) Meridian]"?
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* Wann starteten [https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_M%C3%A9chain Pierre Méchain] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Joseph_Delambre Jean-Baptiste Delambre] auf ihre Expedition und was war ihr Ziel?
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: <math>U_H=\frac{\mu_0 \, H \, I \, l \, h}{N_q \, e}</math>
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*Warum müssen die beiden Landvermesser auf hohe Berge steigen, wozu dienen die Peilmarken? Und warum brauchen sie gutes Wetter?
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*Was versteht man unter "Triangulation"?
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Das Volumen beträgt  <math>V=l\,h\,d,</math> also ist  <math>l\,h=\frac{V}{d}</math>.
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*Wozu wird eine Messung ganz oft wiederholt?
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*Was ist eine "Bogensekunde"?
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: <math>U_H=\frac{\mu_0 \, H \, I}{d} \frac{V}{N_q} \frac{1}{e}</math>
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*Warum muss man bei der Triangulation außer den Winkeln auch die Länge der Grundlinie messen?
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*Warum müssen die Maßstäbe vor der Sonne geschützt werden?
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Die Anzahl der Ladungsträger pro Volumen <math>\rho_N=\frac{N_q}{V}</math><ref>Die Ladungsträgerdichte wird oft mit einem kleinen n abgekürtzt. Allerdings ist dies auch die Abkürzung der Stoffmenge. Die Abkürzung <math>\rho</math> wird allgemein für verschiedene Dichten, wie die Masendichte oder die Ladungsdichte verwendet, der Index N weist hier auf die Teilchenanzahl hin. (Vgl. engl. Wikipedia: [https://en.wikipedia.org/wiki/Number_density Number density])</ref> heißt "Ladungsträgerdichte". Damit kann man das Ergebnis etwas kürzer schreiben:
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*Wie ist das Meter dann festgelegt worden?
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*Wieso ist damals das Meter ca. 0,2mm zu kurz geworden?
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(***) <math>U_H=\frac{\mu_0 \, H \, I}{d} \frac{1}{\rho_N\, e}</math>
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*Die Festlegung des Meters über die Größe der Erde funktioniert aber prinzipiell nicht besonders genau. Warum?
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*Zeichne diese Triangulation zwischen Basel und Karlsruhe auf ein Din A3-Blatt. Die Grundlinie liegt zwischen Breisach und Freiburg. Zeichne sie 2,039cm lang. Bestimme dann die Entfernung zwischen Basel und Karlsruhe in Kilometern.
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Der Bruch  <math>\frac{1}{\rho_N\, e} = \frac{V}{N_q\,e}</math> heißt Hallkonstante <math>R_H</math> und ist eine Materialeigenschaft, die von der Ladungsträgerdichte abhängt. Sie ist gerade der Kehrwert der Ladungsdichte des Leiters. Je kleiner die Ladungsdichte, desto größer die Hallkonstante.
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==Ergebnisse==
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===Hallsonde zur Messung der Feldstärke===
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Da die Hallspannung proportional zur Magnetfeldstärke ist, kann man die Feldstärke messen! Als Sonde dient ein stromdurchflossenes Leiterstück. Mit Hilfe des [[Die magnetische Feldstärke|Magnetfeldes einer Spule]] kann man die Sonde eichen.
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===Abhängigkeit der Hallspannung===
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<math>U_H=R_H \, \frac{\mu_0 \, H \, I}{d} \quad \text{mit der Hallkonstante}\quad R_H = \frac{1}{\rho_N\, e} \quad \text{und der Ladungsträgerdichte}\quad \rho_N = \frac{N_q}{V}</math>
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Die Hallspannung ist proportional zur Magnetfeldstärke (Flussdichte) und zur Stromstärke,<br>
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antiproportional zur Dicke des Leitermaterials und zur Ladungsträgerdichte.
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Um eine möglichst große Hallspannung in einem Magnetfeld zu erreichen, gibt es drei Möglichkeiten:
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#Man verwendet eine hohe Stromstärke I. Das ist unpraktisch, weil sich der Leiter erwärmt und man viel Energie benötigt.
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#Man verwendet einen Leiter mit geringer Dicke d.
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#Man verwendet ein Material mit einer großen Hallkonstante. Dazu muss die Ladungsträgerdichte klein sein. Das ist einleuchtend, denn bei kleiner Ladungsträgerdichte müssen sich für den gleichen Strom die Ladungsträger schneller bewegen und so entsteht eine große Lorentzkraft auf die einzelnen Ladungsträger. In der Praxis verwendet man deshalb dotierte Halbleiter.
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===Vorzeichen der Ladungsträger===
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Vom Vorzeichen der Hallspannung kann man auf das Vorzeichen der Ladungsträger schließen.
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Hiermit kann man zeigen, dass in Metallen die Ladungsträger negativ sind und in p-dotierten Halbleitern positiv.
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===Geschwindigkeit der Ladungsträger===
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Ist die Feldstärke bekannt, so kann man die Geschwindigkeit der Ladungsträger, z.B. der Elektronen bestimmen. Dazu schreibt man die Gleichung (*) um:
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: <math>v=\frac{U_H}{\mu_0 \, H \, b}</math>
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===Anzahl der Ladungsträger pro Volumen===
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Auch die Anzahl der freien Ladungsträger kann mit diesem Versuch bestimmt werden! Dazu muss man nur (***) nach der Ladungsträgerdichte auflösen:
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: <math>\rho_N=\frac{\mu_0 \, H \, I}{U_H \, d \, e}</math>
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Die einfache Messung von diesen makroskopischen Größen läßt es also zu auf atomare Eigenschaften des Leiters zu schließen! Kennt man noch das Molgewicht des Leiters, so kann man z.B. auf die Anzahl der freien Elektronen eines Metalls schließen!
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Zwei beispielhafte Werte für ein Metall und einen Halbleiter:
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:{|class="wikitable"
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!Material
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!Hall-Konstante<br/><math>\frac{V}{N_q\,e}</math>
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!Ladungsdichte<br/><math>\frac{N_q\,e}{V}</math>
+
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!Ladungsträgerdichte<br/><math>\frac{N_q}{V}</math>
+
−
!molare Ladungsträgerdichte<br/><math>\frac{N_q}{n}</math>
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|-
+
−
|align="center"|Kupfer
+
−
|align="center"|<math>-50\cdot 10^{-6}\,\rm\frac{{cm}^3}{C}</math>
+
−
|align="center"|<math>-20000\,\rm\frac{C}{{cm}^3}</math>
+
−
|align="center"|<math>1{,}25\cdot10^{23}\,\rm\frac{1}{{cm}^3}</math>
+
−
|align="center"|<math>8{,}9\cdot10^{23}\,\rm\frac{1}{mol}</math>
+
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+
−
|-
+
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|align="center"|Germanium<br/>p-dotiert
+
−
|align="center"|<math>5000\,\rm\frac{{cm}^3}{C}</math>
+
−
|align="center"|<math>0{,}2\cdot10^{-3}\,\rm\frac{C}{{cm}^3}</math>
+
−
|align="center"|<math>1{,}25\cdot10^{15}\,\rm\frac{1}{{cm}^3}</math>
+
−
|align="center"|<math>1{,}7\cdot10^{16}\,\rm\frac{1}{mol}</math>
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Das Kupfer hat also pro Volumen viel bewegliche Ladung zur Verfügung, das dotierte Germanium um den Faktor <math>10^8</math> weniger!
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==Links==
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*Video: [https://www.zdf.de/dokumentation/terra-x/jagd-nach-dem-urmeter-die-geburt-des-meters-100.html Jagd nach dem Urmeter, Auf den Spuren genialer Forscher und Erfinder] (ZDF: TerraX, 2011) (43min)
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:* [https://www.youtube.com/watch?v=ZHWPyg25XoA "Jagd nach dem Urmeter" auf youtube]
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:*[https://www.youtube.com/watch?v=OjAyARMzf2o Die Geschichte des Metermaßes | Terra X plus auf youtube]
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:* Wikipedia: [https://de.wikipedia.org/wiki/Mars_Climate_Orbiter Mars Climate Orbiter]
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:: Spiegel Online: [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mars-climate-orbiter-absturz-wegen-leichtsinnsfehler-beim-rechnen-a-44777.html Absturz wegen Leichtsinnsfehler beim Rechnen] (01.10.1999)
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:* Wikipedia: [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude-Antoine_Prieur Antoine Prieur]
  
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Ein mol eines Stoffes enthält ca. <math>6\cdot 10^{23}</math> Atome. Das heißt, bei Kupfer stellt jedes Atom ein Elektron zum Ladungstransport zur Verfügung. Beim Germanium ist nur eines von 35 Millionen Atomen dotiert und stellt ein "Loch" zum Ladungstransport.
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* Kurz-Zusammenfassung (ohne Quellen :( [https://www.hs.uni-hamburg.de/DE/GNT/exk/pdf/metr-sys.pdf Die Einführung des metrischen Systems] Bernd Wolfram – Exkursion Paris, 26.6.–30.6.2004
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* Europäische Geschichte Online: [http://ieg-ego.eu/de/threads/transnationale-bewegungen-und-organisationen/internationalismus/roland-wenzlhuemer-die-geschichte-der-standardisierung-in-europa Die Geschichte der Standardisierung in Europa]  von Roland Wenzlhuemer Original auf Englisch, erschienen: 10.12.2003
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* Die ZEIT: [https://www.zeit.de/2018/45/masseinheiten-masse-gewichte-konferenz-einheitssystem/komplettansicht Maßeinheiten: Wie viel wiegt 1 kg?] von Max Rauner, 30. Oktober 2018, 17:07 Uhr Editiert am 3. November 2018, 7:37 Uhr DIE ZEIT Nr. 45/2018, 31. Oktober 2018

Aktuelle Version vom 6. September 2024, 15:57 Uhr

Leere Seite

  • Die "Freiburger Elle" und das Hohlmaß "Sester" am Freiburger Münster.

  • Dirk Nowitzki is a "7-footer": 7 feet, 0 Inches tall.

  • LeBron James is only 6 feet 9 Inches tall.

  • Diese Marssonde ist am 23. September 1999 in der Marsatmosphäre verglüht.

Fragen zum Film. "Jagd nach dem Urmeter (auf youtube)"

  • Am 11. Dezember 1998 startete die Raumsonde "Mars Climate Orbiter" vom Weltraumbahnhof Cape Canaveral. Am 23. September 1999 erreichte die Sonde den Mars und stürzte ab. Was war der Grund für den Absturz?
  • Der "Sturm auf die Bastille" gilt als der Beginn der französischen Revolution. An welchem Tag fand die Eroberung dieses Gefängnisses statt? (Tipp: Welches ist der französische Nationalfeiertag?)
  • Warum gab es in Frankreich vor der Revolution so viele verschiedene Maßeinheiten und wieviele waren es ungefähr?
  • Welche Namen hatten die verschiedenen Längeneinheiten?
Triangulation zwischen Basel und Karlsruhe
  • Welche Nachteile hatten die vielen unterschiedlichen Maßeinheiten?
  • Die Akademie der Wissenschaften bekommt von der Nationalversammlung den Auftrag ein neues Maßsystem zu erarbeiten. Antoine Prieur will einfach ein Pariser Maß als die neue einheitliche festlegen. Die anderen Wissenschaftler lehnen den Vorschlag ab. Wie will die Mehrheit der Akademie das Meter festlegen? Wie argumentieren Prieur und wie die restlichen Wissenschaftler?
  • Was ist ein "Meridian"?
  • Wann starteten Pierre Méchain und Jean-Baptiste Delambre auf ihre Expedition und was war ihr Ziel?
  • Warum müssen die beiden Landvermesser auf hohe Berge steigen, wozu dienen die Peilmarken? Und warum brauchen sie gutes Wetter?
  • Was versteht man unter "Triangulation"?
  • Wozu wird eine Messung ganz oft wiederholt?
  • Was ist eine "Bogensekunde"?
  • Warum muss man bei der Triangulation außer den Winkeln auch die Länge der Grundlinie messen?
  • Warum müssen die Maßstäbe vor der Sonne geschützt werden?
  • Wie ist das Meter dann festgelegt worden?
  • Wieso ist damals das Meter ca. 0,2mm zu kurz geworden?
  • Die Festlegung des Meters über die Größe der Erde funktioniert aber prinzipiell nicht besonders genau. Warum?
  • Zeichne diese Triangulation zwischen Basel und Karlsruhe auf ein Din A3-Blatt. Die Grundlinie liegt zwischen Breisach und Freiburg. Zeichne sie 2,039cm lang. Bestimme dann die Entfernung zwischen Basel und Karlsruhe in Kilometern.

Links

Spiegel Online: Absturz wegen Leichtsinnsfehler beim Rechnen (01.10.1999)
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