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| − | ==Beschreiben der Bewegung einer harmonischen Schwingung==
| + | '''Verschoben nach''' |
| − | *Idealisierung:
| + | * [[Beschreibung einer harmonischen Schwingung mit der Zeigerdarstellung]] |
| − | **Reibungsfrei
| + | * [[Praktikum: Untersuchung von Schwingungen mit der Differentialgleichung]] |
| − | **lineare Rückstellkraft
| + | ** [[Untersuchung von Schwingungen mit der Differentialgleichung]] |
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| − | ===Versuch: Ein Sandpendel===
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| − | [[Bild:Versuchsaufbau_Sandpendel.jpg|thumb|100px|Versuchsaufbau des Sandpendels(1)]]
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| − | [[Bild:Versuchsergebnis_Sandpendel.jpg|thumb|100px|Versuchsergebnis des Sandpendels(2)]]
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| − | ====Aufbau:====
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| − | Siehe Bild 1
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| − | ====Beobachtung:====
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| − | Es entsteht eine Wellenlinie. (Siehe Bild 2)
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| − | ====Erklärung====
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| − | Diese Wellenlinie ist gerade das Zeit-Ort Diagramm einer Schwingung, denn sie gibt an wann der Körper wo ist. Die Ortsfunktion scheint eine Sinusfunktion zu sein, an der man die Amplitude und die Periode ablesen kann.
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| − | ===Versuch: Projektion der Kreisbewegung===
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| − | ====Aufbau:====
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| − | [[Bild:Versuchsaufbau_Projektion_der_Kreisbewegung.jpg|thumb|right|Versuchsaufbau Projektion der Kreisbewegung(3)]]
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| − | Siehe Bild 3
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| − | ====Beobachtung:====
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| − | Text Text Text Text Text Text TextText Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text
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| − | ====Erklärung====
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| − | Text Text Text Text Text Text TextText Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text
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| − | ===Zu 108.2===
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| − | <math>\omega</math>: Winkelgeschwindigkeit
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| − | <math>f</math>: Umläufe pro Zeit
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| − | z.B.:
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| − | :<math>f = 2Hz</math>
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| − | :<math>w = 2*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)= 4*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)</math>
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| − | :'''<math>\Rightarrow \omega=2*\pi*f</math>''' und weil <math>f=\left( \frac{1}{T} \right)</math>
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| − | :'''<math>\omega=\left( \frac{2*\pi}{T} \right)</math>'''
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| − | ===Zu 108.3===
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| − | :<math>\phi_0</math> = Phasenverschiebung
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| − | :<math>\phi_0</math> = 0° = Schwingung in Phase
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| − | :<math>\phi_0</math> =<math>\pi*(180°)</math> = gegenphasig
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| − | ===Berechnung des Geschwindigkeitsgesetzes===
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| − | '''<math>v=\dot s</math>'''
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| − | <math>v(t)=[\hat y*sin(\omega*t)]</math> <math>\rightarrow</math> Ableitung = <math>v=\^y*cos(\omega*t)*\omega</math>
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| − | :Anmerkung: Elongation ist nicht von der Zeit abhängig, daher wird hier nicht abgeleitet;
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| − | :Wiederholung: [f(g(t))]= f'(g(t))*g'(t)
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| − | <math>\Rightarrow</math>
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| − | <math>v(t) = \hat y*\omega*cos(\omega*t)</math>
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| − | <math>v(t) = \hat v*cos(\omega*t)</math>
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| − | <math>\hat v</math> ist die maximale Geschwindigkeit
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| − | ===Berechnung des Beschleunigungsgesetzes===
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| − | Beschleunigung = <math>a=\dot v = [\hat y*\omega*cos(\omega*t)]= \hat y*\omega*(-sin(\omega*t)*\omega</math>
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| − | <math>\Rightarrow a(t)=-\hat y*\omega^2*sin(\omega*t)</math>
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| − | '''Beispiel: Federpendel'''
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| − | [[Bild:Federpendel_paint.JPG|thumb|Federpendel]]
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| − | :Für 10 Schwingungen: 12s
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| − | :Amplitude: 9cm
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| − | :<math>T=1{,}2</math>
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| − | :<math>\omega=\left( \frac {2*\pi}{1{,}2} \right)</math>
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| − | <math>s(t)=9cm*sin(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t</math>
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| − | <math>v(t)=9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*cos(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t)</math>
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| − | <math>\hat v = 9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)= 47\frac{cm}{s}</math>
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| − | ==Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung==
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| − | [[Bild:Schwingungen_Wagen_an_Feder.png|thumb|Die Ausgangssituation.]]
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| − | [[Bild:Schwingungen_y_F_Zusammenhang.png|thumb|Zusammenhang von Ort und Rückstellkraft.]] | + | |
| − | *Man betrachtet eine vereinfachte Situation: Ein Körper wird als punktförmige Masse idealisiert, die an einer masselosen, hookschen Feder befestigt ist und sich reibungslos bewegen kann. | + | |
| − | *Die äußere Situation wird durch den Zusammenhang von Ort y und Kraft F gegeben. (Wo wirkt welche Kraft?) | + | |
| − | :Bei einer hookschen Feder ist die Kraft proportional zur Auslenkung. Die Proportionalitätskonstante ist die Federhärte D. Die Rückstellkraft wirkt immer entgegen der Elongationsrichtung, es gilt also: <math>F=-Dy</math>
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| − | *Wir suchen nun Bewegungen des Körpers in der Zeit, also den Zeit-Ort-Zusammenhänge y(t), die in diesem Kraftverlauf möglich sind.
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| − | *Die Lösung liefert uns das Newtonsche Axiom <math>F=\dot p = m a = m \ddot y</math>. Es beschreibt nämlich den Zusammenhang zwischen Kraftverlauf und zeitlichen Ablauf der Bewegung!
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| − | :Setzt man für die Kraft für die konkrete Situation ein, so ergibt sich:
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| − | :<math>m \ddot y = -D \quad y </math>
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| − | <math>\Rightarrow \qquad \ddot y= -\frac{D}{m} \quad y </math> Differentialgleichung (DGL) der harmonischen Schwingung
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| − | :Wir suchen also Zeit-Orts-Gesetze, deren zweite zeitliche Ableitung ein Vielfaches von sich selbst sind!!
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| − | *Durch systematisches Probieren findet man Lösungen dieser DGL:
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| − | :Mit <math>\omega = \sqrt{\frac{D}{m}}</math>
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| − | :Schwingungen mit einer beliebigen Amplitude
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| − | :<math>y(t)=\hat y sin(\omega t)</math>
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| − | :Schwingungen mit einer zusätzlichen Phasenverschiebung:
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| − | :<math>y(t)=\hat y sin(\omega t + \varphi_0)</math>
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| − | :Der Stillstand ist auch eine Lösung!
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| − | :<math>y(t) = 0</math>
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| − | *Für die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt also:
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| − | :<math>f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}</math>
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| − | :<math>T = \frac{1}{f}= 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}</math>
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| − | ==Untersuchung dreier Schwingungen==
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| − | *Ziel der Untersuchung ist es, das -Zeit-Orts-Gesetz <math>y(t)</math> und damit auch die Frequenz der Schwingung aus der äußeren Situation, wie z.B. die Masse eines Körpers herzuleiten.
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| − | :Dazu ist es sinnvoll jeweils die DGL aufzustellen. Zunächst muss man ein Koordinatensystem wählen und den Ort-Kraft-Verlauf bestimmen. Vor allem beim Fadenpendel hilft auch ein Blick in ein Buch oder ins Internet weiter.
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| − | :Als Ergebnis sollen Sie sowohl eine allgemeine Formel erstellen, sowie eine konkrete Rechnung mit den gemessenen Größen durchführen.
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| − | *Welche Schlussfolgerung können Sie aus der allgemeinen Lösung ziehen? (Z.B. Abhängigkeit von der Masse, etc.)
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| − | *Vergleichen Sie dann die errechnete Frequenz mit der gemessenen und führen Sie eine Fehlerrechnung durch.
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| − | ===Das Fadenpendel===
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| − | [[Bild:Fadenpendel_mit_Kraftvektoren.jpg]]
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| − | ===Schwingendes Wasser im U-Rohr===
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| − | [[Bild:Versuchsaufbau_Schwingendes_Wasser_im_U-Rohr.jpg|thumb|Versuchsaufbau Schwingendes Wasser im U-Rohr]]
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| − | [[Bild:Wassersäule_U-Rohr_schematisch.jpg]]
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| − | | + | |
| − | <br/>
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| − | <br/>
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| − | <br/>
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| − | ===Federpendel im Gravitationsfeld===
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| − | [[Bild:Versuchsaufbau Federpendel.jpg|thumb|Versuchsaufbau Federpendel]]
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| − | [[Bild:180px-Schwingungen_y_F_Zusammenhang.png]]
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| − | Der Ursprung des Koordinatensystem entspricht bei a) dem Ende der entspannten Feder.
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| − | Bei Abbildung b) entspricht der Ursprung der Ruhelage des Pendels. Sowohl bei a), als auch bei b), hängt die Masse m an der Feder
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| − | :Daraus ergibt sich die Differentialgleichung zweiter Ordnung:
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| − | :<math>\ddot y=-D/my </math>
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| − | :mit der Lsg:
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| − | :<math>\sqrt{D/m}=w</math>
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| − | :woraus man auf die vollständige Zustansvorschrift <math>y</math> schliessen kann:
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| − | :<math>y=\hat y\sin(wt)</math> => <math>y=\hat y\sin(\sqrt{D/m}t)</math>
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