Beschreibung einer harmonischen Schwingung mit einer Differentialgleichung: Unterschied zwischen den Versionen

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Ziel dieser Untersuchung einer Schwingung ist es, von den Eigenschaften des schwingenden Systems auf die Bewegung zu schließen. Damit kann man von z.B. der Masse, der Härte der Feder oder der Stärke der Gravitation, etc. auf Eigenschaften der Schwingung, wie die Frequenz, die maximale Geschwindigkeit, etc schließen.
 
Ziel dieser Untersuchung einer Schwingung ist es, von den Eigenschaften des schwingenden Systems auf die Bewegung zu schließen. Damit kann man von z.B. der Masse, der Härte der Feder oder der Stärke der Gravitation, etc. auf Eigenschaften der Schwingung, wie die Frequenz, die maximale Geschwindigkeit, etc schließen.
  
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Die Lösung dieser DGL führt zu möglichen Bewegungen dieses Systems. Nicht für alle DGL sind Lösungen leicht zu finden, deshalb betrachtet man den Spezialfall einer harmonischen Schwingung.
 
Die Lösung dieser DGL führt zu möglichen Bewegungen dieses Systems. Nicht für alle DGL sind Lösungen leicht zu finden, deshalb betrachtet man den Spezialfall einer harmonischen Schwingung.
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    * 1 Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung
 
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    * 2 Untersuchung dreier Schwingungen
 
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          o 2.1 Das Fadenpendel
 
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          o 2.2 Schwingendes Wasser im U-Rohr
 
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          o 2.3 Federpendel im Gravitationsfeld
 
  
  
 
==Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung==
 
==Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung==
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[[Bild:Schwingungen_Wagen_an_Feder.png|thumb|250px|Die Ausgangssituation.]]
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[[Bild:Schwingungen_y_F_Zusammenhang.png|thumb|Zusammenhang von Ort und Rückstellkraft.]]
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* Man betrachtet eine vereinfachte Situation: Ein Körper wird als punktförmige Masse idealisiert, die an einer masselosen, hookschen Feder befestigt ist und sich reibungslos bewegen kann.
 
* Man betrachtet eine vereinfachte Situation: Ein Körper wird als punktförmige Masse idealisiert, die an einer masselosen, hookschen Feder befestigt ist und sich reibungslos bewegen kann.
 
* Die äußere Situation wird durch den Zusammenhang von Ort y und Kraft F gegeben. (Wo wirkt welche Kraft?)  
 
* Die äußere Situation wird durch den Zusammenhang von Ort y und Kraft F gegeben. (Wo wirkt welche Kraft?)  
  
 
Bei einer hookschen Feder ist die Kraft proportional zur Auslenkung. Die Proportionalitätskonstante ist die Federhärte D. Die Rückstellkraft wirkt immer entgegen der Elongationsrichtung, es gilt also: <math> F=-Dy </math>.
 
Bei einer hookschen Feder ist die Kraft proportional zur Auslenkung. Die Proportionalitätskonstante ist die Federhärte D. Die Rückstellkraft wirkt immer entgegen der Elongationsrichtung, es gilt also: <math> F=-Dy </math>.
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* Wir suchen nun Bewegungen des Körpers in der Zeit, also den Zeit-Ort-Zusammenhänge y(t), die in diesem Kraftverlauf möglich sind.
 
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* Die Lösung liefert uns das Newtonsche Axiom <math> F=\dot p = m a = m \ddot y</math>. Es beschreibt nämlich den Zusammenhang zwischen Kraftverlauf und zeitlichen Ablauf der Bewegung!
 
  
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Setzt man für die Kraft für die konkrete Situation ein, so ergibt sich:  
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<math> \Rightarrow\, \ddot y= -\frac{D}{m} \quad y  </math>  Differentialgleichung (DGL) der harmonischen Schwingung
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Wir suchen also Zeit-Orts-Gesetze, deren zweite zeitliche Ableitung ein Vielfaches von sich selbst sind!!  
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* Wir suchen nun Bewegungen des Körpers in der Zeit, also Zeit-Ort-Zusammenhänge y(t), die in diesem Kraftverlauf möglich sind.
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* Die Lösung liefert uns das Newtonsche Axiom <math> F=\dot p = m a = m \ddot y</math>. Es beschreibt nämlich den Zusammenhang zwischen Kraftverlauf und dem zeitlichen Ablauf der Bewegung!  
  
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* Durch systematisches Probieren findet man Lösungen dieser DGL:  
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Die Kraft hat man nun auf zwei Arten beschrieben. Einerseits abhängig von der Zeit und andererseits räumlich, abhängig vom Ort. Dann kann man die beiden Ansätze gleichsetzen:
  
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Mit <math> \omega = \sqrt{\frac{D}{m}}</math>  
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:<math> m \,\ddot y = -D \, y</math>  
  
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Schwingungen mit einer beliebigen Amplitude
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{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
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:<math>\ddot y(t) = -\frac{D}{m} \ y(t)  </math> 
  
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<math> y(t)=\hat y sin(\omega t)</math>
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Differentialgleichung (DGL) der harmonischen Schwingung
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Schwingungen mit einer zusätzlichen Phasenverschiebung:
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Wir suchen also Zeit-Ort-Gesetze, deren zweite zeitliche Ableitung ein negatives Vielfaches von sich selbst sind!!
  
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<math> y(t)=\hat y sin(\omega t + \varphi_0)</math>
 
  
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Der Stillstand ist auch eine Lösung!
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===Graphisches Lösen===
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Will man den Graph der Ortsfunktion <math>y(t)</math> zeichnen, muss man wegen der DGL einige Regeln einhalten:
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||<math>y = 0</math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> || <math>\ddot y = 0</math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> || Der Graph hat keine Krümmung.
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|-
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||<math>y>0 </math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> || <math>\ddot y < 0</math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> || Der Graph hat eine Rechtskurve.
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||<math>y >> 0  </math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> || <math>\ddot y << 0 </math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> || Der Graph hat eine starke Rechtskurve.
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||<math>y < 0 </math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> || <math> y > 0 </math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> || Der Graph hat eine Linkskurve.
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||<math> y << 0</math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> || <math> y >> 0</math> || <math>\quad \Rightarrow \quad</math> ||Der Graph hat eine starke Linkskurve.
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<math> y(t) = 0</math>  
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Um den Graphen zu zeichnen, kann man z.B. bei <math>t=0</math> und <math>y = 0 </math> beginnen. Die Steigung muss an dieser Stelle einigermaßen konstant sein. Ein Spezialfall wäre die Steigung Null, woraus sich die x-Achse als Graph ergibt. Der Gegenstand bleibt also nur stehen und bewegt sich nicht. Bei einer positiven Steigung erreicht man bald positive y-Werte und der Graph muss eine Rechtskurve machen. Die Krümmung nimmt immer mehr zu, solange der y-Wert ansteigt. Schließlich ist der maximale y-Wert bei einer Steigung von Null erreicht und die y-Werte sinken wieder. Dadurch wird auch langsam die Rechtskurve wieder "gerader" und schließlich schneidet der Graph die x-Achse ohne Krümmung. Auf der anderen Seite der x-Achse wiederholt sich der Verlauf mit umgekehrten Vorzeichen.
  
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* Für die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt also:
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Beginnt man das Zeichnen des Graphens für <math>t=0</math> und <math>y>0</math>, so ergibt sich der gleiche Verlauf, nur etwas verschoben.
  
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<math> f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}</math>
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Aus diesen Überlegungen wird klar, dass der Graph eine Art Wellenlinie sein muss und dass die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus gute Kandidaten dafür sind.
  
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<math> T = \frac{1}{f}= 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}</math>
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===Lösen durch Ableiten===
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Durch systematisches Probieren findet man Lösungen dieser DGL:
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{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
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:<math> y(t)=\hat y \, \sin(\omega \,t)</math>  
  
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==Untersuchung dreier Schwingungen==
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Schwingungen mit einer beliebigen Amplitude und Frequenz
  
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* Ziel der Untersuchung ist es, das -Zeit-Orts-Gesetz <math> y(t)</math> und damit auch die Frequenz der Schwingung aus der äußeren Situation, wie z.B. die Masse eines Körpers herzuleiten.
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:<math> y(t)=\hat y \, \sin(\omega t + \varphi_0)</math>  
  
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Dazu ist es sinnvoll jeweils die DGL aufzustellen. Zunächst muss man ein Koordinatensystem wählen und den Ort-Kraft-Verlauf bestimmen. Vor allem beim Fadenpendel hilft auch ein Blick in ein Buch oder ins Internet weiter.
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Schwingungen mit einer zusätzlichen Phasenverschiebung
  
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Als Ergebnis sollen Sie sowohl eine allgemeine Formel erstellen, sowie eine konkrete Rechnung mit den gemessenen Größen durchführen.
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:<math> y(t) = 0</math>
  
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* Welche Schlussfolgerung können Sie aus der allgemeinen Lösung ziehen? (Z.B. Abhängigkeit von der Masse, etc.)
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Der Stillstand ist auch eine Lösung!
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* Vergleichen Sie dann die errechnete Frequenz mit der gemessenen und führen Sie eine Fehlerrechnung durch.  
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Zur Begründung muss man die Ortsgesetze zweimal ableiten, z.B. bei
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:<math> y(t)=\hat y \, \sin(\omega \,t)</math>
  
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:<math>\ddot y  = -\hat y \,\omega^2 \,\sin(\omega t) =- \omega^2 \,y</math>
  
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===Das Fadenpendel===
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Interessant ist noch der Versuch mit
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:<math>y(t)=e^{k\, t}</math>:
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:<math>\ddot y = k^2 \, e^{k\, t} </math>
  
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[[Bild:Fadenpendel_mit_Kraftvektoren.jpg|thumb|none|Fadenpendel mit wirkenden Kräften]]
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Dieser Ansatz löst also die DGL <math>\ddot y = + \frac{D}{m}\, y</math>. Das entspricht einer Kraft, die proportional zur Auslenkung ist, aber nicht zur Ruhelage hin wirkt, sondern von ihr weg! In diesem Fall würde sich ein Gegenstand exponentiell von der Ruhelage entfernen.
  
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Man sieht außerdem die starke Verwandschaft zwischen der e-Funktion und den Winkelfunktionen. Wenn man sich mit komplexen Zahlen beschäftigt, versteht man warum. (Eine kurze Einführung findet man [http://www.fieldtheory.uni-oldenburg.de/polley/QM/poster.pdf hier]. (L.Polley, Fachbereich Physik, Universität Oldenburg))
  
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<math> F_{II}=-mg*sin(\phi)</math>
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===Berechnung der Frequenz===
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Die Frequenz der Schwingung ergibt sich auch aus der DGL. Denn aus dem sinusförmigen Ansatz folgt:
  
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da: <math> y=\phi*l</math>  
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<math>\ddot y =- \omega^2 \,y</math>   und vergleicht man dies mit der DGL:
  
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<math> F_{II}=-mg*sin((1/l) * y)</math>
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<math>\ddot y= -\frac{D}{m} \, y </math> , so folgt direkt:
  
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<math> F_{II}=-m*\ddot y</math>
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{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
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:<math>\omega^2= \frac{D}{m}</math>  oder  <math>\omega= \sqrt{\frac{D}{m}}</math>  ;  <math> f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}</math>  ;  <math> T =  2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}</math>  
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Das Quadrat der Frequenz ist proportional zur Federkonstanten und antiproportional zur Masse.
  
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<math> \ddot y=g*sin((1/l) * y)</math>
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Die Frequenz hängt nicht von der Amplitude ab.
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===Schwingendes Wasser im U-Rohr===
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|[[Bild:Versuchsaufbau_Schwingendes_Wasser_im_U-Rohr.jpg|thumb|120px|none|Versuchsaufbau: Schwingendes Wasser im U-Rohr]]
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|[[Bild:Wassersäule_U-Rohr_schematisch.jpg|thumb|none|Der schematische Versuchsaufbau]]
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Die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt aus der Kreisfrequenz mit:
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<math> \omega=2\,\pi\, f </math> und <math> T = \frac{1}{f}</math>
  
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Um die Amplitude in ein Koordinatensystem einzuzeichnen, nimmt man nur eine Seite des Schlauches und misst den Ausschlag s der Flüssigkeit aus der Ruhelage nach oben bezieghungsweise unten.
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==[[Untersuchung von Schwingungen mit der Differentialgleichung|Beispiele]]==
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Die Differentialgleichung und deren Lösung eines Fadenpendels, eines Federpendels und einer schwingenden Wassersäule findet man [[Untersuchung von Schwingungen mit der Differentialgleichung|hier]].
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Vermutungen wovon die Frequenz abhängen könnte
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*Wassermenge
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*Rohrdicke
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*Rohrkrümmung
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*Rauigkeit
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*Art der Flüssigkeit
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*Amplitude
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Aus den in der Differienzialgleichung verwendeten Faktoren lässt sich schließen, dass von diesen Vermutungen die Wassermenge und die Rohrdicke sowie zusätzlich die Erdbeschleunigung einen Einfluss auf die Frequenz nehmen. Ergebnis DGL: <math> y''=-2APg/m*y</math>
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===Federpendel im Gravitationsfeld===
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Versuchsaufbau Federpendel
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vergrößern
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Versuchsaufbau Federpendel
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[[Bild:Schwingungen_y_F_Zusammenhang.png|thumb|none]]
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Der Ursprung des Koordinatensystem entspricht bei a) dem Ende der entspannten Feder. Bei Abbildung b) entspricht der Ursprung der Ruhelage des Pendels. Sowohl bei a), als auch bei b), hängt die Masse m an der Feder
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Daraus ergibt sich die Differentialgleichung zweiter Ordnung:
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<math>  \ddot y=-D/my</math>
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mit der Lsg:
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<math>  \sin(\sqrt{D/m}t)</math>
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woraus man auf die vollständige Zustandsvorschrift  <math>y</math> schliessen kann:
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<math>  y=\hat y\sin(wt)  \rightarrow  y=\hat y\sin(\sqrt{D/m}t)</math>
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Aktuelle Version vom 19. Oktober 2021, 17:34 Uhr

(Kursstufe > Mechanische Schwingungen)


Ziel dieser Untersuchung einer Schwingung ist es, von den Eigenschaften des schwingenden Systems auf die Bewegung zu schließen. Damit kann man von z.B. der Masse, der Härte der Feder oder der Stärke der Gravitation, etc. auf Eigenschaften der Schwingung, wie die Frequenz, die maximale Geschwindigkeit, etc schließen.

Man erreicht dies, indem man die wirkende Kraft genauer analysiert.

Als Ergebnis erhält man eine Differentialgleichung, die alle Eigenschaften des schwingenden Systems enthält.

Die Lösung dieser DGL führt zu möglichen Bewegungen dieses Systems. Nicht für alle DGL sind Lösungen leicht zu finden, deshalb betrachtet man den Spezialfall einer harmonischen Schwingung.


Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung

  • Man betrachtet eine vereinfachte Situation: Ein Körper wird als punktförmige Masse idealisiert, die an einer masselosen, hookschen Feder befestigt ist und sich reibungslos bewegen kann.
  • Die äußere Situation wird durch den Zusammenhang von Ort y und Kraft F gegeben. (Wo wirkt welche Kraft?)

Bei einer hookschen Feder ist die Kraft proportional zur Auslenkung. Die Proportionalitätskonstante ist die Federhärte D. Die Rückstellkraft wirkt immer entgegen der Elongationsrichtung, es gilt also: [math] F=-Dy [/math].


Die Ausgangssituation.

Zusammenhang von Ort und Rückstellkraft.
  • Wir suchen nun Bewegungen des Körpers in der Zeit, also Zeit-Ort-Zusammenhänge y(t), die in diesem Kraftverlauf möglich sind.
  • Die Lösung liefert uns das Newtonsche Axiom [math] F=\dot p = m a = m \ddot y[/math]. Es beschreibt nämlich den Zusammenhang zwischen Kraftverlauf und dem zeitlichen Ablauf der Bewegung!

Die Kraft hat man nun auf zwei Arten beschrieben. Einerseits abhängig von der Zeit und andererseits räumlich, abhängig vom Ort. Dann kann man die beiden Ansätze gleichsetzen:

[math] m \,\ddot y = -D \, y[/math]
[math]\ddot y(t) = -\frac{D}{m} \ y(t) [/math]

Differentialgleichung (DGL) der harmonischen Schwingung

Wir suchen also Zeit-Ort-Gesetze, deren zweite zeitliche Ableitung ein negatives Vielfaches von sich selbst sind!!


Graphisches Lösen

Will man den Graph der Ortsfunktion [math]y(t)[/math] zeichnen, muss man wegen der DGL einige Regeln einhalten:

[math]y = 0[/math] [math]\quad \Rightarrow \quad[/math] [math]\ddot y = 0[/math] [math]\quad \Rightarrow \quad[/math] Der Graph hat keine Krümmung.
[math]y\gt0 [/math] [math]\quad \Rightarrow \quad[/math] [math]\ddot y \lt 0[/math] [math]\quad \Rightarrow \quad[/math] Der Graph hat eine Rechtskurve.
[math]y \gt\gt 0 [/math] [math]\quad \Rightarrow \quad[/math] [math]\ddot y \lt\lt 0 [/math] [math]\quad \Rightarrow \quad[/math] Der Graph hat eine starke Rechtskurve.
[math]y \lt 0 [/math] [math]\quad \Rightarrow \quad[/math] [math] y \gt 0 [/math] [math]\quad \Rightarrow \quad[/math] Der Graph hat eine Linkskurve.
[math] y \lt\lt 0[/math] [math]\quad \Rightarrow \quad[/math] [math] y \gt\gt 0[/math] [math]\quad \Rightarrow \quad[/math] Der Graph hat eine starke Linkskurve.

Um den Graphen zu zeichnen, kann man z.B. bei [math]t=0[/math] und [math]y = 0 [/math] beginnen. Die Steigung muss an dieser Stelle einigermaßen konstant sein. Ein Spezialfall wäre die Steigung Null, woraus sich die x-Achse als Graph ergibt. Der Gegenstand bleibt also nur stehen und bewegt sich nicht. Bei einer positiven Steigung erreicht man bald positive y-Werte und der Graph muss eine Rechtskurve machen. Die Krümmung nimmt immer mehr zu, solange der y-Wert ansteigt. Schließlich ist der maximale y-Wert bei einer Steigung von Null erreicht und die y-Werte sinken wieder. Dadurch wird auch langsam die Rechtskurve wieder "gerader" und schließlich schneidet der Graph die x-Achse ohne Krümmung. Auf der anderen Seite der x-Achse wiederholt sich der Verlauf mit umgekehrten Vorzeichen.

Beginnt man das Zeichnen des Graphens für [math]t=0[/math] und [math]y\gt0[/math], so ergibt sich der gleiche Verlauf, nur etwas verschoben.

Aus diesen Überlegungen wird klar, dass der Graph eine Art Wellenlinie sein muss und dass die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus gute Kandidaten dafür sind.

Lösen durch Ableiten

Durch systematisches Probieren findet man Lösungen dieser DGL:

[math] y(t)=\hat y \, \sin(\omega \,t)[/math]

Schwingungen mit einer beliebigen Amplitude und Frequenz

[math] y(t)=\hat y \, \sin(\omega t + \varphi_0)[/math]

Schwingungen mit einer zusätzlichen Phasenverschiebung

[math] y(t) = 0[/math]

Der Stillstand ist auch eine Lösung!

Zur Begründung muss man die Ortsgesetze zweimal ableiten, z.B. bei

[math] y(t)=\hat y \, \sin(\omega \,t)[/math]
[math]\ddot y = -\hat y \,\omega^2 \,\sin(\omega t) =- \omega^2 \,y[/math]

Interessant ist noch der Versuch mit

[math]y(t)=e^{k\, t}[/math]:
[math]\ddot y = k^2 \, e^{k\, t} [/math]

Dieser Ansatz löst also die DGL [math]\ddot y = + \frac{D}{m}\, y[/math]. Das entspricht einer Kraft, die proportional zur Auslenkung ist, aber nicht zur Ruhelage hin wirkt, sondern von ihr weg! In diesem Fall würde sich ein Gegenstand exponentiell von der Ruhelage entfernen.

Man sieht außerdem die starke Verwandschaft zwischen der e-Funktion und den Winkelfunktionen. Wenn man sich mit komplexen Zahlen beschäftigt, versteht man warum. (Eine kurze Einführung findet man hier. (L.Polley, Fachbereich Physik, Universität Oldenburg))

Berechnung der Frequenz

Die Frequenz der Schwingung ergibt sich auch aus der DGL. Denn aus dem sinusförmigen Ansatz folgt:

[math]\ddot y =- \omega^2 \,y[/math] und vergleicht man dies mit der DGL:

[math]\ddot y= -\frac{D}{m} \, y [/math] , so folgt direkt:

[math]\omega^2= \frac{D}{m}[/math] oder [math]\omega= \sqrt{\frac{D}{m}}[/math]  ; [math] f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}[/math]  ; [math] T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}[/math]

Das Quadrat der Frequenz ist proportional zur Federkonstanten und antiproportional zur Masse.

Die Frequenz hängt nicht von der Amplitude ab.

Die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt aus der Kreisfrequenz mit: [math] \omega=2\,\pi\, f [/math] und [math] T = \frac{1}{f}[/math]

Beispiele

Die Differentialgleichung und deren Lösung eines Fadenpendels, eines Federpendels und einer schwingenden Wassersäule findet man hier.

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