Heuristische Lösungen der eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödingergleichung: Unterschied zwischen den Versionen

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−	Inhaltsverzeichnis	+	([[Inhalt_Kursstufe|'''Kursstufe''']] > [[Inhalt_Kursstufe#Atomphysik und die Schrödingergleichung|'''Atomphysik und die Schrödingergleichung''']])
−	* 1 Ziel	+	==Ziel==
−	* 2 Eigenschaften der Zustandsfunktion	+	Wir suchen Funktionen  <math>\psi(x)</math>, mit den folgenden Eigenschaften:
−	o 2.1 Übersicht der Eigenschaften	+
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−	[bearbeiten]	+	*  <math>\Psi''(x)=-c (E-E_{pot}(x))\Psi(x)</math>, mit  <math>c=\frac{8\pi^2m}{h^2}</math>
−	Ziel	+	* Die Funktion muss sinnvoll als Zustandsfunktion eines Quants interpretierbar sein.
−	Wir suchen Funktionen LaTex: \psi(x), mit den folgenden Eigenschaften:
−	* LaTex: \Psi''(x)=-c (E-E_{pot}(x))\Psi(x), mit LaTex: c=\frac{8\pi^2m}{h^2}	+	==Eigenschaften der Zustandsfunktion==
−	* Die Funktion muss sinnvoll als Zustandsfunktion eines Quants interpretierbar sein.	+
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−	Eigenschaften der Zustandsfunktion	+
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	Anhand des Beispiels des endlich hohen Potentialtopfes kann man sich die wesentlichen Eigenschaften der Zustandsfunktion klar machen.		Anhand des Beispiels des endlich hohen Potentialtopfes kann man sich die wesentlichen Eigenschaften der Zustandsfunktion klar machen.
−	* gebundener Zustand: LaTex: E < E_a	+	* gebundener Zustand: <math>E < E_a</math>
−	o im Kasten: LaTex: E > E_{pot}	+	**im Kasten: <math> E > E_{pot}</math>
−	o Ausserhalb des Kastens: LaTex: E < E_{pot}	+	**Außerhalb des Kastens: <math>E < E_{pot}</math>
−	* freier Zustand: LaTex: E > E_a	+	* freier Zustand: <math>E > E_a</math>
−	[bearbeiten]	+	===Übersicht der Eigenschaften===
−	Übersicht der Eigenschaften	+	An Orten  <math>x</math> mit "kleinem" Potential: Wellenförmiger Verlauf "Stehende Welle"
−	An Orten LaTex: x mit "kleinem" Potential: Wellenförmiger Verlauf "Stehende Welle"	+	* Falls  <math>\psi(x)>0</math>, dann ist  <math>\psi''(x)>0</math>, die Kurve <math> \psi(x)</math> ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve).
		+	* Falls  <math>\psi(x)<0</math>, dann ist  <math>\psi''(x)>0</math>, die Kurve  <math>\psi(x)</math> ist linksgekrümmt (Linkskurve).
		+	* Falls  <math>\psi(x)=0</math>, dann ist  <math>\psi''(x)=0</math>, die Kurve  <math>\psi(x)</math> hat einen Wendepunkt
−	* Falls LaTex: \psi(x)>0, dann ist LaTex: \psi''(x)>0, die Kurve LaTex: \psi(x) ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve).	+	An Orten  <math>x</math> mit "großem" Potential: <math> E < E_{pot}(x)</math>: Exponentieller Verlauf "Tunneleffekt"
−	* Falls LaTex: \psi(x)<0, dann ist LaTex: \psi''(x)>0, die Kurve LaTex: \psi(x) ist linksgekrümmt (Linkskurve).	+
−	* Falls LaTex: \psi(x)=0, dann ist LaTex: \psi''(x)=0, die Kurve LaTex: \psi(x) hat einen Wendepunkt	+
−	An Orten LaTex: x mit "großem" Potential: LaTex: E < E_{pot}(x): Exponentieller Verlauf "Tunneleffekt"	+	* Falls  <math>\psi(x)<0</math>, dann ist  <math>\psi''(x)>0</math>, die Kurve  <math>\psi(x)</math> ist linksgekrümmt (Linkskurve).
		+	* Falls  <math>\psi(x)>0</math>, dann ist  <math>\psi''(x)>0</math>, die Kurve  <math>\psi(x)</math> ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve).
−	* Falls LaTex: \psi(x)<0, dann ist LaTex: \psi''(x)>0, die Kurve LaTex: \psi(x) ist linksgekrümmt (Linkskurve).	+	An Orten mit  <math>E = E_{pot}(x)</math>
−	* Falls LaTex: \psi(x)>0, dann ist LaTex: \psi''(x)>0, die Kurve LaTex: \psi(x) ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve).	+	* Hier ist  <math>\psi''(x)=0</math>, die Kurve <math>\psi(x)</math> hat einen Wendepunkt.
−	An Orten mit LaTex: E = E_{pot}(x)	+	Randbedingung
−	* Hier ist LaTex: \psi''(x)=0, die Kurve LaTex: \psi(x) hat einen Wendepunkt.	+	Die Zustandsfunktion muss für große und kleine Werte von x gegen Null streben, sonst ist sie nicht normierbar. Die Fläche unter  <math>\psi^2</math> muss Eins betragen.
−		+
−	Randbedingung	+
−	Die Zustandsfunktion muss für große und kleine Werte von x gegen Null streben, sonst ist sie nicht normierbar. Die Fläche unter LaTex: \psi^2 muss Eins betragen.	+	==Links==
		+	*[https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/physik/unterrichtsmaterialien/atomphysik/qp/schrdingergleichung-k.doc/view Ein intuitiver Zugang zur Schrödingergleichung] (Dr. Josef Küblbeck)
		+	*[http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~milq/kap8/k80p01.html Der Weg zur Schrödinger-Gleichung] (Münchner Internetprojekt zur Lehrerfortbildung in Quantenmechanik (milq))

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Aktuelle Version vom 13. Juni 2023, 17:08 Uhr

(Kursstufe > Atomphysik und die Schrödingergleichung)

Ziel

Wir suchen Funktionen

$$\psi(x)$$ , mit den folgenden Eigenschaften:

• $$\Psi''(x)=-c (E-E_{pot}(x))\Psi(x)$$ , mit $$c=\frac{8\pi^2m}{h^2}$$
• Die Funktion muss sinnvoll als Zustandsfunktion eines Quants interpretierbar sein.

Eigenschaften der Zustandsfunktion

vergrößern

Anhand des Beispiels des endlich hohen Potentialtopfes kann man sich die wesentlichen Eigenschaften der Zustandsfunktion klar machen.

• gebundener Zustand: $$E \lt E_a$$
  • im Kasten: $$E \gt E_{pot}$$
  • Außerhalb des Kastens: $$E \lt E_{pot}$$
• freier Zustand: $$E \gt E_a$$

Übersicht der Eigenschaften

An Orten

$$x$$ mit "kleinem" Potential: Wellenförmiger Verlauf "Stehende Welle"

• Falls $$\psi(x)\gt0$$ , dann ist $$\psi''(x)\gt0$$ , die Kurve $$\psi(x)$$ ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve).
• Falls $$\psi(x)\lt0$$ , dann ist $$\psi''(x)\gt0$$ , die Kurve $$\psi(x)$$ ist linksgekrümmt (Linkskurve).
• Falls $$\psi(x)=0$$ , dann ist $$\psi''(x)=0$$ , die Kurve $$\psi(x)$$ hat einen Wendepunkt

An Orten

$$x$$ mit "großem" Potential: $$E \lt E_{pot}(x)$$ : Exponentieller Verlauf "Tunneleffekt"

• Falls $$\psi(x)\lt0$$ , dann ist $$\psi''(x)\gt0$$ , die Kurve $$\psi(x)$$ ist linksgekrümmt (Linkskurve).
• Falls $$\psi(x)\gt0$$ , dann ist $$\psi''(x)\gt0$$ , die Kurve $$\psi(x)$$ ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve).

An Orten mit

$$E = E_{pot}(x)$$

• Hier ist $$\psi''(x)=0$$ , die Kurve $$\psi(x)$$ hat einen Wendepunkt.

Randbedingung

Die Zustandsfunktion muss für große und kleine Werte von x gegen Null streben, sonst ist sie nicht normierbar. Die Fläche unter

$$\psi^2$$ muss Eins betragen.

Links

• Ein intuitiver Zugang zur Schrödingergleichung (Dr. Josef Küblbeck)
• Der Weg zur Schrödinger-Gleichung (Münchner Internetprojekt zur Lehrerfortbildung in Quantenmechanik (milq))