Aufgaben zu Wellen (Lösungen): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 15. Dezember 2016, 20:36 Uhr

(Kursstufe > Mechanische Wellen)

Grundlagen

• 1) Eine mechanische Welle transportiert Energie und Impuls ohne einen Massetransport.

Eine Welle entsteht durch eine Schwingung, die mit anderen Schwingern gekoppelt ist und sich so ausbreiten kann.

• 5) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt von der Kopplungsstärke zwischen den Schwingern ab. Je größer die Kopplung, desto schneller reagiert die Nachbarschwingung. Bei Transversalwellen sind die Schwinger durch Scherkräfte gekoppelt, die in der Regel wesentlich kleiner sind als die bei Longitudinalwellen auftretenden Druck- und Zugkräfte.

• 7) Ein Erdbeben entsteht durch eine ruckartige Verschiebung von Erdplatten. Dabei werden sowohl Longitudinalwellen (Druckwellen, P-Wellen) als auch Transversalwellen (S-Wellen) ausgelöst. Die Druckwelle hat eine größere Ausbreitungsgeschwindigkeit und erreicht deshalb einen bestimmten Ort vor der Longitudinalwelle. (Diese Zeitspanne wird für Erdbebenfrühwarnsysteme ausgenutzt.)

• 8) Wirft man einen Stein ins Wasser, so breitet sich eine Kreiswelle aus. An Sylvester breitet sich von jedem Knaller eine Kugelwelle aus.

• 9) a) Warum nimmt bei einer Kugelwelle die Intensität proportional zum Quadrat des Abstands ab und bei einer Kreiswelle nur proportional zum Abstand?

Das wird im Kapitel Energietransport einer Welle (Intensität) erklärt.

b) Ein Lautsprecher sendet eine kugelförmige Schallwelle mit einer Leistung von drei Watt aus. Wie groß ist die Intensität in einem Abstand von einem und von zwei Metern?

Die Intensität ist die Energie pro Zeit und Fläche, also die Leistung pro Fläche. Die Fläche ist eine Kugeloberfläche:

[math]I(r)= \frac{P}{4 \ \pi \ r^2} [/math]

[math]I(1\,\rm m)= \frac{P}{4 \ \pi \ r^2} = \frac{3\,\rm W}{4 \ \pi \ (1\,\rm m)^2}= \frac{3\,\rm W}{12{,}6\,\rm m^2} = 0{,}24\frac{\rm W}{\rm m^2} [/math]

Bei einer Verdopplung des Abstandes vervierfacht sich die Kugelfläche, daher geht die Intensität auf ein Viertel zurück:

[math]I(2\,\rm m)= \frac{1}{4} \cdot 0{,}24\frac{\rm W}{\rm m^2} = 0{,}06\frac{\rm W}{\rm m^2} [/math]

• 10) Ein Lautsprecher mit einer sehr großen Membran erzeugt in nicht allzu großer Entfernung eine ebene Welle, denn die Bereiche mit hohem und niedrigem Druck bilden annähernd eine flache Ebene. Von größerer Entfernung betrachtet sendet der Lautsprecher Kugelwellen aus.

Um Zylinderwellen zu erzeugen benötigt man einen möglichst langen und dünnen Gegenstand, der Wellen auslöst, dies könnte die Explosion in einem langen Bohrloch sein. Bei größerem Abstand wiederum erscheint die Welle eher als Kugelwelle.

• 11) Reine Oberflächenwellen entstehen aufgrund der Oberflächenspannung des Wassers, wobei die Wasserteilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung schwingen und nur kleine Amplituden erreicht werden können.

Bei Schwerewellen spielt die Gravitation die wesentliche Rolle für die Kopplung. Die Wasserteilchen schwingen nicht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, sondern sie beschreiben kleinere und größere Kreise. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt mit der Wassertiefe zusammen: Je tiefer, desto schneller.

In vielen Fällen tritt eine Mischform der Wellentypen auf.

• 12) Es gilt: [math]c= \lambda \, f[/math]

• 13) Für die Wellenlänge gilt: [math]\lambda=\frac{c}{f}[/math]:

Wegen der größeren Phasengeschwindigkeit im Wasser (die Kopplungskräfte sind größer!) wird die Wellenlänge des Schalls ungefähr viermal größer:

Zeigermodell / Wellengleichung

• 1) a) Es sind 6 Schwingungen in 3 Sekunden, also beträgt die Frequenz: [math]f = \frac{6}{3 \,\rm s}= 2\,\rm Hz[/math]

Die Welle hat sich während 6 Perioden um 1,8 Meter ausgebreitet, also beträgt die Wellenlänge: [math]\lambda = \frac{1{,}8\,\rm m}{6} = 0{,}3\,\rm m[/math]

Die Welle hat sich in 3 Sekunden um 1,8 Meter ausgebreitet, also beträgt die Phasengeschwindigkeit: [math]c= \frac{1{,}8\,\rm m}{3\,\rm s} = 0{,}6\,\rm \frac{m}{s}[/math]

b) Ausbreitungsgeschwindigkeit: [math]\frac{10}{0{,}5}\frac{\rm cm}{\rm s}=0{,}2\rm\frac{m}{s}[/math]

Der Gangunterschied zwischen den beiden Orten beträgt [math]\Delta s = 30\,\rm m[/math], was gerade 10 Wellenlängen entspricht. Die Schwingungen sind also in Phase!

Rechnerisch ergibt sich der Phasenunterschied aus

[math]\frac{\Delta\varphi}{2\pi}=\frac{\Delta x}{\lambda}\quad \Longrightarrow \quad \Delta\varphi = \frac{\Delta x}{\lambda}\,2\pi = \frac{30\,\rm m}{0{,}3\,\rm m}\,2\pi = 10 \cdot 2\pi [/math]

• 2) Phasengeschwindigkeit: Die Phase breitet sich in 0,5s um 10cm aus, also um 20cm pro Sekunde:

[math]c= \frac{0{,}1\,\rm m}{0{,}5\,\rm s}= 0{,}2 \rm\frac{m}{s}[/math]

Wellenlänge: Die Phasenverschiebung beträgt [math]\pi/16 = 2\pi/32[/math] pro 10 cm. Nach 32 mal 10 cm beträgt die Phasenverschiebung daher genau [math]2 \, \pi[/math]. Oder man rechnet:

[math]\frac{\Delta\varphi}{2\pi}=\frac{\Delta x}{\lambda}\quad \Longrightarrow \quad \lambda = \frac{2\pi }{\Delta\varphi}\,\Delta x =\frac{2\pi }{\frac{\pi}{16}}\,0{,}1\,\rm m =3{,}2\,\rm m [/math]

Frequenz: ergibt sich aus der Phasengeschwindigkeit und Wellenlänge:

[math]\frac{c}{\lambda}=\frac{0{,}2\frac{\rm m}{\rm s}}{3{,}2\,\rm m}=\frac{1}{16}\,\rm Hz[/math]

oder man überlegt sich, dass sich ein Zeiger in 0,5 s eine 32-tel Drehung macht. Daraus folgt die Periodendauer von:

[math]T=32\cdot 0{,}5\,\rm s = 16\,\rm s[/math]

• 3) Allgemeine Formel: [math]y(x,t)= \hat y \, \sin(\omega \, t - \frac{2 \pi}{\lambda} x) [/math]

zu 1): [math]y(x,t)= \hat y \, \sin( 2 \pi f \, t - \frac{2 \pi}{\lambda} x) = \hat y \, \sin( 2 \pi\cdot 2\,\rm Hz \cdot t - \frac{2 \pi}{0{,}3\,\rm m} x) = \hat y \, \sin( \frac{2 \pi}{0{,}5\,\rm s} \, t - \frac{2 \pi}{0{,}3\,\rm m} x)[/math]

zu 2): [math]y(x,t)=\hat y\, \sin\left(2\pi \left(\frac{t}{16 \,\rm s}-\frac{x}{3{,}2\,\rm m}\right)\right)[/math]

• 4) Eine Transversalwelle hat die Wellenfunktion [math]y(x,t)= 2\,{\rm cm} \, \sin(\frac{2}{\rm s} \cdot t -\frac{5}{\rm cm} \cdot x)[/math].

a) Zeichnen Sie die Welle zum Zeitpunkt t=0, also zu Beginn der Zeitrechnung, und 0,32 Sekunden später in ein Koordinatensystem. (Mit dem GTR ist das ganz einfach!)

b) Bestimmen Sie Amplitude, Frequenz und Wellenlänge.

Interferenz

• 1) Woran kann man im Alltag erkennen, dass sich Wellen störungsfrei überlagern?

Mehrere Leute können sich miteinander im gleichen Raum unterhalten. Die Schallwellen stören sich nicht.

Die Kreiswellen von Regentropfen überlagern sich ungestört.

• 3) Zwei Lautsprecher
  

  

  Zeiger bei A

Zunächst kann man aus der Schallgeschwindigkeit die Wellenlänge berechnen.

[math]c=\lambda \, f \Rightarrow \lambda = \frac{c}{f} = \frac{344\,\rm m/s}{858\,\rm Hz} = 0{,}4\,\rm m [/math]

a) Man kann vom Gangunterschied auf die Phasendifferenz der Schwingungen schließen.

Bei B ist der Gangunterschied Null, die Schwingungen sind in Phase. Die Interferenz ist konstruktiv und dort ist ein lauter Ton zu hören.

Bei A beträgt der Gangunterschied [math]1\,\rm m=2{,}5\,\lambda[/math] und der Phasenunterschied [math]\triangle \phi = 2\pi \cdot 2{,}5[/math]. Demnach eilt die vom rechten Lautsprecher ausgelöste Schwingung der vom linken ausgelösten um [math]\pi[/math] voraus, die Schwingungen sind gegenphasig. Die Interferenz ist destruktiv. Vernachlässigt man die Amplitudenabnahme, so sind beide gleich groß und man hört bei B nichts.

b) Zwischen den Lautsprechern befindet sich eine stehende Welle. (Vgl. Lautsprecherversuch) In der Mitte zwischen den Lautsprechern ist ein Bauch. Dort ist ein lauter Ton zuhören. Die Abstände zwischen den Bäuchen beträgt eine halbe Wellenlänge, das sind 20cm. Zwischen zwei Bäuchen liegen Knoten. Dort hört man den Ton (fast) nicht.

c) Bei B verändert sich durch die Berücksichtigung der Amplitudenabnahme nicht so viel. Im Zeigerdiagramm sind beide Pfeile kürzer, was zu einer geringeren Lautstärke führt.

Bei A hingegen ist nun im Diagramm der grüne Pfeil kürzer als der rote. Die Überlagerung ist nicht mehr Null und man kann nun hier einen leisen Ton hören!

d) Zur Bestimmung der Schwingungsgleichung muss man die Phase, also den Winkel der Zeiger, und die Amplitude, also die Länge der Zeiger, bestimmen.

Von der Entfernung zum Lautsprecher kann man auf die Phase der Schwingung schließen.

Man kann annehmen, dass zum Zeitpunkt t=0s die Lautsprecher gerade keine Phase haben, die Zeiger nach rechts zeigen.

Man rechnet die Entfernungen in Wellenlängen um:

[math]1\,\rm m=2{,}5\,\lambda[/math]

[math]2\,\rm m=5\,\lambda[/math]

[math]3\,\rm m=7{,}5\,\lambda[/math]

Daraus ergeben sich die bereits eingezeichneten Zeigerpositionen.

Zur Bestimmung der Amplituden berechnet man zunächst die Intensität bei A und B. Die Energie breitet sich kugelförmig aus, die Intensität (Energie pro Fläche und Zeit) nimmt dabei ab.

[math]I_{A_{rot}}=\frac{P}{A}=\frac{1\,\rm W}{4\pi (2\,\rm m)^2} = 0,01989 \rm \frac{W}{m^2}[/math]

[math]I_{A_{gruen}}=\frac{P}{A}=\frac{1\,\rm W}{4\pi (3\,\rm m)^2} = 0,008842\rm \frac{W}{m^2}[/math]

[math]I_{B}=\frac{P}{A}=\frac{1\,\rm W}{4\pi (1\,\rm m)^2} = 0,07958 \rm \frac{W}{m^2}[/math]

Die Intensität hängt mit der Luftdichte, der Schallgeschwindigkeit, der Frequenz und der Amplitude zusammen. (Vgl. Intensität einer Welle) Man kann nach der Amplitude auflösen.

[math]I = \frac{\rho}{2} \omega^2 \hat y^2 \, c[/math]

[math]\hat y = \sqrt{\frac{2 \, I}{\rho c \omega^2}}[/math]

[math]\hat y_{A_{rot}}= \sqrt{\frac{2 \cdot 0,01989 \rm \frac{W}{m^2}}{1{,}2 \rm \frac{kg}{m^3} \cdot 344 \rm \frac{m}{s} (2\pi \, 858 \,\rm Hz)^2}} = 1{,}8 \, 10^{-6}\,\rm m =1{,}8 \, 10^{-3}\,\rm mm[/math]

[math]\hat y_{A_{gruen}} = 1,2 \, 10^{-6}m[/math]

[math]\hat y_{B} = 3{,}6 \, 10^{-6}\,\rm m[/math]

Die Luftmoleküle schwingen nach dieser Theorie also mit einer Amplitude von etwa drei Tausendstel Millimetern!

Die Ergebnisse muss man jetzt nur noch in die Wellengleichung [math]y(x,t) = \hat y \, \sin(\omega t - \frac{2 \pi}{\lambda} x)[/math] einsetzen.

• 4) Auf der Wasseroberfläche in einem See werden mit den Füßen im Abstand von 80cm zwei Kreiswellen erzeugt. Die Füße bewegen sich gleichmäßig und in Phase auf und ab, und zwar 10 mal in 16 Sekunden. (Video von 1:30 bis 2:15) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen misst man zu 20cm/s.

a) Welche Wellenlänge haben die beiden Wellen?

Die Periodendauer beträgt [math]T=1{,}6\,\rm s[/math]. Zusammen mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit folgt daraus die Wellenlänge:

[math]c=\frac{\lambda}{T} \quad \Rightarrow \quad \lambda = c\, T = 0{,}2\rm\frac{m}{s}\cdot 1{,}6\,\rm s = 0{,}32\,\rm m[/math]

b) Wo zwischen den Füßen befinden sich Stellen mit konstruktiver, bzw. destruktiver Interferenz? Machen Sie eine Zeichnung.

In der Mitte zwischen den Füßen beträgt der Gangunterschied 0m und somit ist dort eine Stelle mit konstruktiver Interferenz. Die Stellen mit konstruktiver Interferenz liegen eine halbe Wellenlänge, also 16cm auseinander. Dazwischen befinden sich Stellen mit destruktiver Interferenz.

• 5) Zwei Lautsprecher erzeugen beide in einem Abstand von 1m einen Ton mit der Frequenz von 1000Hz. Zwischen den Lautsprechern misst man die Orte, an denen der Ton leise und an denen der Ton laut ist:

Bestimmen Sie aus dem Messergebnis die Schallgeschwindigkeit.

Die Stellen mit konstruktiver Interferenz liegen eine halbe Wellenlänge auseinander. Vom äußeren linken Maximum bis zum äußeren rechten Maximum beträgt der Abstand daher vier halbe, also zwei Wellenlängen. Diesen Abstand kann man am Messergebnis ablesen:

[math]\begin{array}{rrcll} & 2\,\lambda &=& 0{,}89\,\rm m & | \, : 2\\ \Rightarrow & \lambda &=& 0{,}445\,\rm m \\ \end{array} [/math]

Da man die Frequenz und die Wellenlänge kennt, folgt daraus die Phasengeschwindigkeit:

[math]c=\lambda \, f =0{,}356\,\rm m\cdot 1000\,\rm Hz \, f = 356\,\rm \frac{m}{s} [/math]

Beugung

• 1) Erklären Sie an einem Alltagsphänomen die Beugung von Wellen.
• 2) Warum haben Stereoanlagen zwei Boxen aber nur einen "Subwoofer", den man auch unter das Sofa stellen kann, was man aber besser mit den Boxen nicht tut?

Die Schallwellen der tiefen Töne (geringe Frequenz/große Wellenlänge) werden an Hindernisse stark in den geometrischen Schattenraum gebeugt. Deshalb braucht man keinen Sichtkontakt zum Subwoofer aber sehr wohl zu den Boxen, die auch die hohen Töne senden.

Der Stereoeffekt zweier Lautsprecher beruht auf dem Richtungshören, also dem räumlichen Orten von Schallquellen. Dazu benötigt man vor allem Schallwellen mit kleiner Wellenlänge. Durch die unterschiedliche Entfernung von der Quelle zum linken oder rechten Ohr hören wir einen Laufzeitunterschied. Bei einer großen Wellenlänge ist aber der wahrgenommene Unterschied des Drucks (der Auslenkung) zu gering. (Vgl. Wikipedia: Lokalisation (Akustik))

• 3) Hinter einer Lärmschutzwand ist der Verkehrslärm auch ohne Sichtkontakt zur Strasse noch zu hören. Der Verkehr klingt dumpfer als beim direkten Hinhören. Erklären Sie die Beobachtungen.
• 4) Erklären Sie das Foto der Wellen an einem Hafen.

Brechung

• Nennen Sie ein Alltagsphänomen, bei dem Brechung auftritt.
• Erklären Sie das Phänomen der Brechung mit Hilfe des Huygenschen Prinzips.

Reflektion

• 1) An einem losen Ende (oder auch offenem Ende) wird ein Wellenberg als Wellenberg und ein Wellental als Wellental reflektiert. Das kann man beobachten, wenn eine Wasserwelle auf eine Wand trifft, das Wasser kann an der Wand ungehindert schwingen.

An einem festen Ende wird ein Wellenberg als Wellental und ein Wellental als Wellenberg reflektiert. Dies ist der Fall, wenn eine Schallwelle auf eine Wand trifft, die Luft kann an der Wand (in Ausbreitungsrichtung!) nicht schwingen.

In diesem Video kann man sich das ansehen.

Stehende Wellen

• Bestimmen Sie die Höhe des Grundtones und des ersten Obertones der Orgelpfeife im offenen und gedackten Fall.