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====Erklärung und Auswertung====
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==Praktikum: Untersuchung einer schwingenden Stange (physikalisches Pendel)==
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Die gemessene Spannung läßt sich mit der Lorentzkraft auf die bewegten Ladungsträger erklären. Diese verschieben sich aufgrund der wirkenden Lorentzkraft quer zum Leiter. In den meisten Leitern, insbesondere in Metallen, sind die Ladungsträger die Elektronen.
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* Untersuchen Sie experimentell, wovon die Frequenz, bzw. die Schwingungsdauer einer Schaukel oder des Uhrenpendels abhängt.
  
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Die Verschiebung der Elektronen verursacht andererseits ein elektrisches Feld, dass der Lorentzkraft entgegenwirkt. Deshalb stellt sich ein Gleichgewicht ein, bei dem die Lorentzkraft auf ein Elektron gleich der elektrischen Kraft ist.
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* Als vereinfachtes Modell der Schaukel oder des Uhrenpendels nehmen wir eine schwingende Stange. Wir nehmen also an, dass die Masse gleichmäßig ab dem Aufhängepunkt verteilt ist.
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*Ein solches Pendel, bei dem der schwingende Körper nicht als Massepunkt vereinfacht wird, heißt auch "physikalisches Pendel".
  
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Diese Zeichnung zeigt das Plättchen im Magnetfeld. Durch die angelegte Spannung fließt ein Strom vom positiven Pol zum negativen Pol. Im Falle von Metallen sind die Ladungsträger negative Elektronen und bewegen sich vom Minus- zum Pluspol. Verwendet man p-dotierte Halbleiter, so können wandern positive "Löcher" vom Plus- zum Minuspol.
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Mögliche Beeinflussungen durch:
  
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=====Berechnung der Hallspannung=====
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* halbe Stangenlänge l  (Die halbe Stangenlänge entspricht dem Abstand zwischen Drehpunkt und Schwerpunkt. So läßt sich das Ergebnis besser mit dem Fadenpendel vergleichen.)
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Um den Zusammenhang zwischen Hallspannung, Magnetfeldstärke, Stromstärke und den Materialeigenschaften des Leiters zu untersuchen, macht man zwei Ansätze:
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* Masse <math>m</math>
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* Amplitude  <math>\hat y</math>
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* Reibung
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* Antrieb
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Man darf immer nur eine Größe variieren und dann jeweils die Periode messen. Misst man z.B. für verschiedene Amplituden die Periode erhält man einen Zusammenhang zwischen Amplitude und Periodendauer, der streng genommen nur für die gewählte Länge, Masse usw. gilt.
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<br>Ändert sich die Periode bei Variation einer Größe nicht, so ist sie davon unabhängig.
  
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#Das elektrische Feld ähnelt dem eines Plattenkondensators.
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Den Zusammenhang zwischen der Periodendauer und der Reibung bzw. des Antriebs kann man mit diesem Versuchsaufbau nicht untersuchen.
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#Die Lorentzkraft auf die Ladungen ist gleich der elektrischen Kraft.
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:: <math>F_E=F_L</math>
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Man setzt ein: <math>F_E= q \, E = e \, E</math> mit der Elementarladung  <math>e</math> eines Elektrons<ref>Hierbei nimmt man an, dass die Ladungsträger im Leiter jeweils eine Elementarladung tragen. Man kann aber auch annehmen, dass die Ladungsträger mehr Ladung tragen, die nachfolgende Rechnung ändert sich dadurch nicht</ref>.
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;Aufbau:
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[[Bild:Schwingender_Stab_Versuchsaufbau.jpg|thumb|right|Der schwingende Stab]]
  
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Für die Feldstärke nimmt man einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand h an, also:  <math>E=\frac{U_H}{h}</math>
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Mittels einer Klemme wird eine Stange senkrecht an einem Tisch angebracht. An dieser Stange wird ein Geodreieck sowie eine kleinere, senkrecht zur Ersten stehenden Stange befestigt. Das Geodreieck hat die Funktion, die Amplitude zu messen und wird daher so angebracht, dass die längere Seite oben ist und und die auf das Geodreieck aufgetragene Senkrechte genau auf der Stange verläuft.
 +
An der Querstange wird nun die bewegliche Stange aufgehängt.
  
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Die Lorentzkraft auf ein Elektron beträgt: <math>F_L =\mu_0\, e \, v \, H</math>
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;Beobachtung/Messwerte:
  
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: <math>e \frac{U_H}{h}= \mu_0\, e \, v \, H</math>
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*Abhängigkeit von der Masse m:
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:Durch Zusammenkleben zweier gleicher Stangen kann man die Masse verdoppeln.
  
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:{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
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halbe Stangenlänge <math>l \rm \text{ in } m</math>:
−
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(*) <math>U_H = \mu_0\, v \, H \, h</math>
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Die Hallspannung ist proportional zur Magnetfeldstärke (Flussdichte)<br>
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Amplitude <math>\hat y \rm \text{ in } ^{\circ} </math>:
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und zur Geschwindigkeit der Ladungsträger.<br>
+
 
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Die Hallspannung hängt nicht von der Ladungsmenge auf den Ladungsträgern ab.
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{| class="wikitable"
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| <math>m  \rm \text{ in } kg</math>
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| style="height:30px; width:80px;" | 
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|-
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|<math>10 \, T \rm \text{ in } s</math>
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| style="height:30px; width:80px;" |   
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| style="height:30px; width:50px;" | 
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|-
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|<math>T \rm \text{ in } s</math>
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| style="height:30px; width:80px;" |   
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| style="height:30px; width:50px;" |
 
|}
 
|}
  
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Bis jetzt bleiben Materialeigenschaften unberücksichtigt. Das ändert sich, wenn man die Ladungsträgerdichte im leitenden Material betrachtet:
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*Abhängigkeit von der halben Stangenlänge l:
  
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Die Kraft auf alle Elektronen im Leiter ist <math>F_{Lges}=\mu_0 \, H \, I \, l</math>.
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Masse <math>m \rm \text{ in } kg</math>:
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Wenn man annimmt, dass sich die Anzahl von <math>N_q</math><ref>Es ist üblich [https://de.wikipedia.org/wiki/Teilchenzahl Teilchenzahlen] mit einem großen N abzukürzen und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Stoffmenge Stoffmenge] mit einem kleinen n.</ref> Elektronen im Leiter befindet, ergibt sich die Kraft auf ein Elektron als der <math>N_q</math>-te Teil der gesamten Kraft:
+
  
−
: <math>F_E=F_L</math>  
+
Amplitude <math>\hat y  \rm \text{ in } ^{\circ} </math>:
  
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(**) <math>e \frac{U_H}{h}=\mu_0 \ H \, I \, l \, \frac{1}{N_q}</math>  
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{| class="wikitable"
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||<math>l \rm \text{ in } m</math>
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|<math>10 \, T \rm \text{ in } s</math>
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|<math>T \rm \text{ in } s</math>
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|<math> \frac{T}{l} \text{ in } {\rm \frac{s}{m} }</math>
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|-
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|<math> \frac{T}{l^2} \text{ in } {\rm \frac{s}{m^2} }</math>
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|-
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|<math> \frac{T}{\sqrt{l}} \text{ in } {\rm \frac{s}{\sqrt{m}} }</math>
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| style="height:30px; width:80px;" |   
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| style="height:30px; width:50px;" |   
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| style="height:30px; width:50px;" |   
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| style="height:30px; width:50px;" |
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|}
  
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Nach der Hallspannung auflösen:
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*Abhängigkeit von der Amplitude <math>\hat y</math>:
  
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: <math>U_H=\frac{\mu_0 \, H \, I \, l \, h}{N_q \, e}</math>  
+
Masse <math>m \rm \text{ in } kg</math>:   
  
−
Das Volumen beträgt  <math>V=l\,h\,d,</math> also ist <math>l\,h=\frac{V}{d}</math>.
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halbe Stangenlänge <math>l  \rm \text{ in } m</math>:
  
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: <math>U_H=\frac{\mu_0 \, H \, I}{d} \frac{V}{N_q} \frac{1}{e}</math>  
+
{| class="wikitable"
−
 
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|-
−
Die Anzahl der Ladungsträger pro Volumen <math>\rho_N=\frac{N_q}{V}</math><ref>Die Ladungsträgerdichte wird oft mit einem kleinen n abgekürtzt. Allerdings ist dies auch die Abkürzung der Stoffmenge. Die Abkürzung <math>\rho</math> wird allgemein für verschiedene Dichten, wie die Masendichte oder die Ladungsdichte verwendet, der Index N weist hier auf die Teilchenanzahl hin. (Vgl. engl. Wikipedia: [https://en.wikipedia.org/wiki/Number_density Number density])</ref> heißt "Ladungsträgerdichte". Damit kann man das Ergebnis etwas kürzer schreiben:
+
|<math>\hat y \rm \text{ in } ^{\circ} </math>
−
 
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| style="height:30px; width:80px;" |  5°
−
(***) <math>U_H=\frac{\mu_0 \, H \, I}{d} \frac{1}{\rho_N\, e}</math>
+
| style="height:30px; width:80px;" |  10° 
−
 
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| style="height:30px; width:80px;" |  20°
−
Der Bruch  <math>\frac{1}{\rho_N\, e} = \frac{V}{N_q\,e}</math> heißt Hallkonstante <math>R_H</math> und ist eine Materialeigenschaft, die von der Ladungsträgerdichte abhängt. Sie ist gerade der Kehrwert der Ladungsdichte des Leiters. Je kleiner die Ladungsdichte, desto größer die Hallkonstante.
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| style="height:30px; width:80px;" |  40°
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| style="height:30px; width:80px;" |  60°
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==Ergebnisse==
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| style="height:30px; width:80px;" |  80°
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===Hallsonde zur Messung der Feldstärke===
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|-
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Da die Hallspannung proportional zur Magnetfeldstärke ist, kann man die Feldstärke messen! Als Sonde dient ein stromdurchflossenes Leiterstück. Mit Hilfe des [[Die magnetische Feldstärke|Magnetfeldes einer Spule]] kann man die Sonde eichen.
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|<math>10 \, T \rm \text{ in } s</math>
−
 
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| style="height:30px; width:80px;" |   
−
===Abhängigkeit der Hallspannung===
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| style="height:30px; width:50px;" |   
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:{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
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| style="height:30px; width:50px;" |   
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| style="height:30px; width:50px;" |   
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<math>U_H=R_H \, \frac{\mu_0 \, H \, I}{d} \quad \text{mit der Hallkonstante}\quad R_H = \frac{1}{\rho_N\, e} \quad \text{und der Ladungsträgerdichte}\quad \rho_N = \frac{N_q}{V}</math>
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| style="height:30px; width:50px;" |   
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| style="height:30px; width:50px;" |
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Die Hallspannung ist proportional zur Magnetfeldstärke (Flussdichte) und zur Stromstärke,<br>
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antiproportional zur Dicke des Leitermaterials und zur Ladungsträgerdichte.
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|<math>T \rm \text{ in } s</math>
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| style="height:30px; width:80px;" |   
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| style="height:30px; width:50px;" |   
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|-
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|<math> \frac{T}{\hat y} \text{ in } {\rm \frac{s}{\circ} }</math>
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|<math> \frac{T}{\hat y^2} \text{ in } {\rm \frac{s}{\circ ^2} }</math>
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|<math> \frac{T}{\sqrt{\hat y}} \text{ in } {\rm \frac{s}{\sqrt{\circ}} }</math>
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| style="height:30px; width:80px;" |   
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Um eine möglichst große Hallspannung in einem Magnetfeld zu erreichen, gibt es drei Möglichkeiten:
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;Erklärung/Auswertung:
  
−
#Man verwendet eine hohe Stromstärke I. Das ist unpraktisch, weil sich der Leiter erwärmt und man viel Energie benötigt.
+
Die gemessenen Zusammenhänge werden jeweils in ein Koordinatensystem gezeichnet. Man trägt zum Beispiel die Periodendauer (y-Achse) über die halbe Stangenlänge (x-Achse) auf.
−
#Man verwendet einen Leiter mit geringer Dicke d.
+
−
#Man verwendet ein Material mit einer großen Hallkonstante. Dazu muss die Ladungsträgerdichte klein sein. Das ist einleuchtend, denn bei kleiner Ladungsträgerdichte müssen sich für den gleichen Strom die Ladungsträger schneller bewegen und so entsteht eine große Lorentzkraft auf die einzelnen Ladungsträger. In der Praxis verwendet man deshalb dotierte Halbleiter.
+
  
−
===Vorzeichen der Ladungsträger===
+
Um einen rechnerischen Zusammenhang zwischen den Größen zu finden, sucht man nach konstanten Quotienten oder Produkten der Messgrößen. Diese werden in die Tabelle eingetragen.  
−
Vom Vorzeichen der Hallspannung kann man auf das Vorzeichen der Ladungsträger schließen.
+
−
Hiermit kann man zeigen, dass in Metallen die Ladungsträger negativ sind und in p-dotierten Halbleitern positiv.
+
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===Geschwindigkeit der Ladungsträger===
+
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+
−
Ist die Feldstärke bekannt, so kann man die Geschwindigkeit der Ladungsträger, z.B. der Elektronen bestimmen. Dazu schreibt man die Gleichung (*) um:
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−
 
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: <math>v=\frac{U_H}{\mu_0 \, H \, b}</math>
+
−
 
+
−
===Anzahl der Ladungsträger pro Volumen===
+
−
 
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−
Auch die Anzahl der freien Ladungsträger kann mit diesem Versuch bestimmt werden! Dazu muss man nur (***) nach der Ladungsträgerdichte auflösen:
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−
 
+
−
: <math>\rho_N=\frac{\mu_0 \, H \, I}{U_H \, d \, e}</math>
+
−
 
+
−
Die einfache Messung von diesen makroskopischen Größen läßt es also zu auf atomare Eigenschaften des Leiters zu schließen! Kennt man noch das Molgewicht des Leiters, so kann man z.B. auf die Anzahl der freien Elektronen eines Metalls schließen!
+
−
 
+
−
Zwei beispielhafte Werte für ein Metall und einen Halbleiter:
+
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+
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:{|class="wikitable"
+
−
!Material
+
−
!Hall-Konstante<br/><math>\frac{V}{N_q\,e}</math>
+
−
!Ladungsdichte<br/><math>\frac{N_q\,e}{V}</math>
+
−
!Ladungsträgerdichte<br/><math>\frac{N_q}{V}</math>
+
−
!molare Ladungsträgerdichte<br/><math>\frac{N_q}{n}</math>
+
−
|-
+
−
|align="center"|Kupfer
+
−
|align="center"|<math>-50\cdot 10^{-6}\,\rm\frac{{cm}^3}{C}</math>
+
−
|align="center"|<math>-20000\,\rm\frac{C}{{cm}^3}</math>
+
−
|align="center"|<math>1{,}25\cdot10^{23}\,\rm\frac{1}{{cm}^3}</math>
+
−
|align="center"|<math>8{,}9\cdot10^{23}\,\rm\frac{1}{mol}</math>
+
−
 
+
−
|-
+
−
|align="center"|Germanium<br/>p-dotiert
+
−
|align="center"|<math>5000\,\rm\frac{{cm}^3}{C}</math>
+
−
|align="center"|<math>0{,}2\cdot10^{-3}\,\rm\frac{C}{{cm}^3}</math>
+
−
|align="center"|<math>1{,}25\cdot10^{15}\,\rm\frac{1}{{cm}^3}</math>
+
−
|align="center"|<math>1{,}7\cdot10^{16}\,\rm\frac{1}{mol}</math>
+
−
|}
+
  
−
Das Kupfer hat also pro Volumen viel bewegliche Ladung zur Verfügung, das dotierte Germanium um den Faktor <math>10^8</math> weniger!
+
Als Beispiel hier der Zusammenhang zwischen Periodendauer und Pendellänge. Es kommen mehrere Möglichkeiten in Betracht:
 +
#<math>T = c \cdot l \quad \Leftrightarrow \quad c = \frac{T}{l}</math>
 +
#<math>T = c \cdot l^2 \quad \Leftrightarrow \quad c = \frac{T}{l^2}</math>
 +
#<math>T = c \cdot \sqrt{l} \quad \Leftrightarrow \quad c = \frac{T}{\sqrt{l}}</math>
  
−
Ein mol eines Stoffes enthält ca. <math>6\cdot 10^{23}</math> Atome. Das heißt, bei Kupfer stellt jedes Atom ein Elektron zum Ladungstransport zur Verfügung. Beim Germanium ist nur eines von 35 Millionen Atomen dotiert und stellt ein "Loch" zum Ladungstransport.
+
Man berechnet daher alle Quotienten und untersucht, ob ein Quotient für alle Messungen ungefähr gleich bleibt. Wenn dies der Fall ist, so nimmt man den Mittelwert der Quotienten, um damit eine Formel aufzustellen.

Version vom 26. September 2017, 19:10 Uhr

Praktikum: Untersuchung einer schwingenden Stange (physikalisches Pendel)

  • Untersuchen Sie experimentell, wovon die Frequenz, bzw. die Schwingungsdauer einer Schaukel oder des Uhrenpendels abhängt.
  • Als vereinfachtes Modell der Schaukel oder des Uhrenpendels nehmen wir eine schwingende Stange. Wir nehmen also an, dass die Masse gleichmäßig ab dem Aufhängepunkt verteilt ist.
  • Ein solches Pendel, bei dem der schwingende Körper nicht als Massepunkt vereinfacht wird, heißt auch "physikalisches Pendel".

Mögliche Beeinflussungen durch:

  • halbe Stangenlänge l (Die halbe Stangenlänge entspricht dem Abstand zwischen Drehpunkt und Schwerpunkt. So läßt sich das Ergebnis besser mit dem Fadenpendel vergleichen.)
  • Masse [math]m[/math]
  • Amplitude [math]\hat y[/math]
  • Reibung
  • Antrieb

Man darf immer nur eine Größe variieren und dann jeweils die Periode messen. Misst man z.B. für verschiedene Amplituden die Periode erhält man einen Zusammenhang zwischen Amplitude und Periodendauer, der streng genommen nur für die gewählte Länge, Masse usw. gilt.
Ändert sich die Periode bei Variation einer Größe nicht, so ist sie davon unabhängig.

Den Zusammenhang zwischen der Periodendauer und der Reibung bzw. des Antriebs kann man mit diesem Versuchsaufbau nicht untersuchen.

Aufbau
Der schwingende Stab

Mittels einer Klemme wird eine Stange senkrecht an einem Tisch angebracht. An dieser Stange wird ein Geodreieck sowie eine kleinere, senkrecht zur Ersten stehenden Stange befestigt. Das Geodreieck hat die Funktion, die Amplitude zu messen und wird daher so angebracht, dass die längere Seite oben ist und und die auf das Geodreieck aufgetragene Senkrechte genau auf der Stange verläuft. An der Querstange wird nun die bewegliche Stange aufgehängt.

Beobachtung/Messwerte
  • Abhängigkeit von der Masse m:
Durch Zusammenkleben zweier gleicher Stangen kann man die Masse verdoppeln.

halbe Stangenlänge [math]l \rm \text{ in } m[/math]:

Amplitude [math]\hat y \rm \text{ in } ^{\circ} [/math]:

[math]m \rm \text{ in } kg[/math]
[math]10 \, T \rm \text{ in } s[/math]
[math]T \rm \text{ in } s[/math]
  • Abhängigkeit von der halben Stangenlänge l:

Masse [math]m \rm \text{ in } kg[/math]:

Amplitude [math]\hat y \rm \text{ in } ^{\circ} [/math]:

[math]l \rm \text{ in } m[/math]
[math]10 \, T \rm \text{ in } s[/math]
[math]T \rm \text{ in } s[/math]
[math] \frac{T}{l} \text{ in } {\rm \frac{s}{m} }[/math]
[math] \frac{T}{l^2} \text{ in } {\rm \frac{s}{m^2} }[/math]
[math] \frac{T}{\sqrt{l}} \text{ in } {\rm \frac{s}{\sqrt{m}} }[/math]
  • Abhängigkeit von der Amplitude [math]\hat y[/math]:

Masse [math]m \rm \text{ in } kg[/math]:

halbe Stangenlänge [math]l \rm \text{ in } m[/math]:

[math]\hat y \rm \text{ in } ^{\circ} [/math] 5° 10° 20° 40° 60° 80°
[math]10 \, T \rm \text{ in } s[/math]
[math]T \rm \text{ in } s[/math]
[math] \frac{T}{\hat y} \text{ in } {\rm \frac{s}{\circ} }[/math]
[math] \frac{T}{\hat y^2} \text{ in } {\rm \frac{s}{\circ ^2} }[/math]
[math] \frac{T}{\sqrt{\hat y}} \text{ in } {\rm \frac{s}{\sqrt{\circ}} }[/math]
Erklärung/Auswertung

Die gemessenen Zusammenhänge werden jeweils in ein Koordinatensystem gezeichnet. Man trägt zum Beispiel die Periodendauer (y-Achse) über die halbe Stangenlänge (x-Achse) auf.

Um einen rechnerischen Zusammenhang zwischen den Größen zu finden, sucht man nach konstanten Quotienten oder Produkten der Messgrößen. Diese werden in die Tabelle eingetragen.

Als Beispiel hier der Zusammenhang zwischen Periodendauer und Pendellänge. Es kommen mehrere Möglichkeiten in Betracht:

  1. [math]T = c \cdot l \quad \Leftrightarrow \quad c = \frac{T}{l}[/math]
  2. [math]T = c \cdot l^2 \quad \Leftrightarrow \quad c = \frac{T}{l^2}[/math]
  3. [math]T = c \cdot \sqrt{l} \quad \Leftrightarrow \quad c = \frac{T}{\sqrt{l}}[/math]

Man berechnet daher alle Quotienten und untersucht, ob ein Quotient für alle Messungen ungefähr gleich bleibt. Wenn dies der Fall ist, so nimmt man den Mittelwert der Quotienten, um damit eine Formel aufzustellen.

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