Version vom 28. Oktober 2017, 06:57 Uhr

Eine Zusammenstellung der mathematischen Themen bis zum Abitur.

Die Abfolge entspricht den Kapiteln aus "Steps to the peak - Mein eigener Weg zum Mathe-Abi" von Dieter Markert.

Ergänzungen, die durchaus sinnvoll sein können, sind [in eckige Klammern] gesetzt.

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen
2 Analysis
3 Analytische Geometrie
- 3.1 Vektoren und Geraden
- 3.2 Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten

Grundlagen

Algebra-Rechentechniken

Rechenausdrücke | Terme Grundlagen

"Das Doppelte von 5 und 3"
"Die Zahl zuerst mit 2 multiplizieren, dann 6 addieren 
und das Ergebnis mit sich selbst multiplizieren."

Vokabeln:

Addition: Summand plus Sumand ist die Summe

Subtraktion: Minuend minus Subtrahend ist die Differenz

Multiplikation: Faktor mal Faktor ist das Produkt

Division: Dividend (Zähler) durch Divisor (Nenner) ist der Quotient

"hoch": Basis hoch Exponent (Hochzahl) ist die Potenz

Rechenvorfahrtsregeln (Reihenfolge): Klammer vor hoch vor Punkt vor Strich

Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz (Ausmultiplizieren und Ausklammern)

Terme mit und ohne Variablen

Bruchrechnung

"1/4 l oder 0,25 l"
"The table is 3 feet, 7 5/8 Inches long."
"5/8 Inches and 1/16 Inch."

Erweitern und Kürzen
Brüche und Dezimalzahlen
Addieren, Subtrahieren: gleicher Nenner
Multiplizieren, Dividieren von Brüchen

Potenzen

"Ein Blatt Papier ist nur 0,1 mm dick."
"Meine Festplatte hat einen TeraByte Speicherkapazität."

10er Potenzen, wissenschaftliche Schreibweise
Rechenregeln: gleiche Basis, gleicher Exponent
negative Hochzahlen

Wurzeln

"Das quadratische Zimmer hat eine Fläche von Zehn Quadratmetern."
"In den Würfel sollen 4 Liter Wasser passen."

Quadratwurzeln
Höhere Wurzeln
Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen

Terme für Fortgeschrittene

binomische Formeln
Faktorisierung

Gleichungen

Zahlentypen

"Du hast 3 Äpfel und ich 4 Birnen."
"Mein Konto ist 300€ im Minus."
"In der Flasche ist ein 3/4l Wasser drin."

natürliche Zahlen
ganze Zahlen
Rationale Zahlen, Brüche
Irrationale Zahlen
(Komplexe Zahlen)

Gleichungen Grundlagen

"Anna ist drei Jahre älter als Bernd."
"Wenn du die Zahl verdoppelst, drei dazu zählst, und das Ergebnis quadrierst, dann kommt 144 heraus!"

Lineare Gleichungen
Äquivalenzumformungen
(Schnittpunkte von Graphen und Nullstellen)
Quadratische Gleichungen, abc-Formel/pq-Formel, Lösungsmenge

Gleichungen für Fortgeschrittene

Satz vom Nullprodukt: Ausklammern und Faktorisieren
Potenzgleichungen
Grad 3 und mehr
Substitution
Bruchgleichungen
(Exponentialgleichung)

Lineare Gleichungssysteme

"Anna und ihre zwei Jahre jüngere Schwester Beatrix sind zusammen 28 Jahre alt."
"Auf dem Bauernhof zählt Tim 50 Köpfe und 116 Beine der dort rumlaufenden Hühner und Schweine."

Gaußscher Algorithmus
Lösungsmengen: eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen

Funktionen

Hier würde ich die Reihenfolge des Buchs etwas ändern und das Grundwissen zu Funktionen vor den Geraden bearbeiten.

Zuordnungen und Funktionen Grundlagen

"Das Fahrrad ist blau."
"Die Äpfel kosten 3€ das Kilo."

Pfeildarstellung mit Mengen
Wertetabelle
Graph im Koordinatensystem
Funktion als eindeutige Zuordnung, Funktionsgleichung mit Definitionsbereich

Lineare Funktionen

Gerade als Graph
Hauptform, Punkt-Steigungs-Form
Gleichungen: Schnittpunkte von Geraden, Schnitte mit x- und y Achse

Funktionen allgemein

Weitere Funktionstypen: quadratische Funktionen, (Wurzelfunktionen), Potenzfunktionen, ganzrationale Funktionen, Kehrwertfunktion, gebrochen rationale Funktionen, Exponentialfunktionen, (Logarithmus), Winkelfunktionen: Sinus, Cosinus, Tangens
Gleichungen: Schnitte von Graphen, Nullstellen

Verschieben, Strecken und Spiegeln von Graphen

Verschieben nach Oben und Unten
Spiegeln an der x-Achse
Strecken und Stauchen
Verschieben nach rechts und links
Spiegeln an der y-Achse
Das Verketten von Funktionen würde ich hier noch nicht bearbeiten, kommt später nochmal. (S.63)

Verhalten für große x

waagrechte Asymptoten
kommt speziell für gebrochen rationale Funktionen später nochmal (S.80)

Symmetrie von Graphen und Funktionen

Achsen- und Punktsymmetrie zum Ursprung
ganzrationale Funktionen: gerade und ungerade Hochzahlen

[Dreisatz/Proportionalität]

"2kg Äpfel kosten 6€, was kosten 3kg Äpfel?"
"Die Jacke kostet 120€, ist aber 15% reduziert!"

Prozentrechnung: Zinsen, Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz

[Geometrie Grundlagen]

Punkt, Gerade, Kreis
Dreiecke: gleichschenklig, gleichseitig, rechtwinklig
Fläche von Dreiecken
Vierecke: Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Trapez,...
Fläche von Vierecken
Achsensymmetrie, Achsenspiegelung
Punktsymmetrie, Punktspiegelung
Winkel: Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel
Winkelsumme im Dreieck und Viereck

Analysis

Differentialrechnung / Ableiten / Änderungsrate

Graphisches Ableiten

"Ich fahre jetzt mit 20 km/h."
"Es fließen 3 Liter Wasser pro Sekunde in den Eimer."
"Aus dem Stausee fließen pro Sekunde 12 Kubikmeter Wasser raus."

Steigung einer Kurve, Tangente
monoton steigend und fallend
Extremstellen: Maximum- und Minimumstelle
Extremwerte: Maximum und Minimum
Extrempunkte: Hoch- und Tiefpunkt
Wendestelle
Wendepunkt
Sattelpunkt
NEW-Regel

f   N E W
f'    N E W
f' '    N E W

Ableitungsfunktion / Ableitungsregeln

Potenzregel
Faktorregel
Summenregel
Ableitung von Sinus und Cosinus
Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion, Logarithmus

Tangente und Normale

Tangentengleichung
Normalengleichung
Tangente von außerhalb an den Graphen

Höhere Ableitungen

Zweite, dritte Ableitung
Krümmung des Graphen
- Linkskurve: Erste Ableitung steigt, zweite Ableitung positiv
- Rechtskurve: Erste Ableitung fällt, zweite Ableitung negativ

Extrem- und Wendepunkte

Extremstellen: waagrechte Tangente, erste Ableitung Null
- Maximumsstelle: Linkskurve
- Minimumstelle: Rechtskurve
Wendestellen: keine Krümmung, zweite Ableitung Null
- von Links- zu Rechtskurve: zweite Ableitung steigt, dritte Ableitung positiv
- von Rechts- zu Linkskurve: zweite Ableitung fällt, dritte Ableitung negativ

Kettenregel

Verkettung von Funktionen
Kettenregel

Produktregel

Produktregel
Produkt- und Kettenregel mischen

Rationale Funktionen

Quadratische Funktionen

Parabeln als Graph
Funktionsgleichung: Normalform, Produktform, Scheitelform
Scheitelpunkt finden
Nullstellen berechnen
Aufstellen von Produkt- und Scheitelform

Ganzrationale Funktionen / Polynomfunktionen

Normalform, Produktform
Grad der Funktion
Nullstellen finden
Produktform aufstellen
Hoch-, Tief-, Wendepunkte bestimmen
Symmetrien

Aufstellen von Funktionsgleichungen

allgemeine Funktionsgleichung
Bedingungen finden
Lineares Gleichungssystem lösen

Gebrochen-rationale Funktionen

Definitionslücken, Polstellen, senkrechte Asymptoten
waggrechte Asymptoten

Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen (Optimierung)

senkrechter Abstand zweier Graphen
Abstand Punkt-Graph
geometrische Figuren in Graphen
allgemeines Kochrezept
- Ausprobieren
- Term mit mehreren Variablen aufstellen
- Nebenbedingungen finden
- Zielfunktion aufstellen
  - Nebenbedingungen auflösen
  - in den Term einsetzen
  - Definitionsbereich finden
- Max / Min der Ziefunktion berechnen
- Interpretation

Exponentielles Wachstum / Exponentialfunktionen

"Ich lege die 1000€ mit 3% Zinsen für fünf Jahre an."
"Plutonium 239 hat eine Halbwertszeit von 24110 Jahren."

[Exponentialfunktionen Grundlagen]

lineares Wachstum
quadratisches Wachstum
Zinseszinsen, exponentielles Wachstum
Funktionsgleichung: Anfangswert, Wachstumskonstante
Exponentieller Zerfall
Exponentialfunktion
Exponentialgleichungen, Logarithmus

[Die Eulersche Zahl e]

e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 …
Graph der Exponentialfunktionen
Ableitung oder stetige Verzinsung

Exponentialgleichungen

natürlicher Logarithmus
Substitution, Ausklammern

Exponentialfunktionen

Graph, Asymptoten
Ableitungen
Summen, Produkte und Potenzen von Exponentialfunktionen
Berechnung von Hoch-, Tief-, Wendepunkten
Schnitte mit Achsen

Exponentielles Wachstum

lineares Wachstum
quadratisches Wachstum
exponentielles Wachstum
Funktionsgleichung: Anfangswert, Wachstumsfaktor
Verdopplungszeit, Halbwertszeit
Die Differentialgleichung ist nur Thema bis Abi 2018

Beschränktes Wachstum

Funktionsgleichung: Sättigungsgrenze, Anfangswert, Sättigungsmanko, Wachstumsfaktor (immer positiv)
Die Differentialgleichung ist nur Thema bis Abi 2018

Winkelfunktionen (Sinus, Cosinus, [Tangens])

"Wie breit ist der Vollmond in einer Woche?"
"Wie lang ist mein Schatten morgens und mittags?"
["Die Straße hat eine Steigung von 12%!"]

Rechtwinklige Dreiecke

Hypotenuse, Katheten
Satz des Pythagoras
Sinus, Cosinus, [Tangens]

Winkelfunktionen im Bogenmaß

[Einheitskreis: Sinus, Cosinus, [Tangens] für Winkel größer als 90°]
[Bogenmaß eines Winkels]

Verschieben, Strecken und Stauchen der Sinusfunktion

Amplitude, Periode
allgemeine Funktionsgleichung

Funktionenscharen

Parameter
Ortskurve von Hoch-, Tief- oder Wendepunkten

Integralrechnung

[Integrieren durch Flächenberechnung]

Berechnung von zurückgelegtem Weg im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
Integrieren als Umkehrung des Differenzierens (Ableitens)
Integralfunktion

Stammfunktionen zeichnen

Zeichnerische Bestimmung
eine Funktion hat eine Ableitung, aber viele Stammfunktionen

Stammfunktionen berechnen

unbestimmte Integrale
Unbestimmtheit durch additive Konstante
Stammfunktionen von
- Potenzfunktionen
- Exponentialfunktion
- Kehrwertfunktion
- Sinus, Cosinus
Faktor- und Summenregel

Lineare Substitution

Stammfunktion bei Verkettung von einfachen linearen Funktionen,

wie z.B. [math]\sin(3\, x + 2) [/math]

bestimmte Integrale berechnen

Grenzen des bestimmten Integrals
Hauptsatz der Differential-Integralrechnung (HDI)

Flächeninhalte

Zwischen Graph und x-Achse
- Oben plus, unten Minus
- Nullstellen als Grenzen des Integrals
Zwischen zwei Graphen
- Vorzeichen der Fläche
- Schnittstellen als Grenzen des Integrals

Integralfunktionen

linke Grenze fest, rechte variabel
Rekonstruktion eines Bestandes
Berechnung der Wegstrecke aus der Geschwindigkeit

Rotationskörper

Ist nur Teil des Abi 2018!

rotationssymmetrische Körper: runde Flaschen, Kugel, Zylinder, Kegel,...
Randfunktion rotiert
Berechnungsformel

Mittelwert von Funktionswerten

krummlinige Fläche als Rechteck
Rechteckfläche ist Breite mal Höhe
Berechnungsformel

Analytische Geometrie

Vektoren und Geraden

Vektoren als Pfeile (Orts- und Verbindungsvektoren)

Punkte, Ursprung als Basis
Verbindungsvektoren als Weg von einem Punkt zum anderen
Addition durch Aneinanderlegen
Multiplikation mit einer Zahl, Parallelität
Ortsvektor zeigt auf Punkte vom Ursprung
Mittelpunkt einer Strecke

Rechnen mit Vektoren

dreidimensionales Koordinatensystem: [math]x, y, z[/math] oder [math]x_1, x_2, x_3 [/math]
Vektoren mit drei Koordinaten übereinander
Punkte mit drei Koordinaten nebeneinander
Addieren, Subtrahieren
Multiplikation mit einer Zahl, Parallelität
Skalarprodukt zweier Vektoren
Länge (Betrag) und Abstand zweier Punkte

Winkel zwischen Vektoren

senkrechtze Vektoren
Skalarprodukt mit [math]\cos (\alpha)[/math]
Winkelberechnung des kleineren Winkels mit [math]|\vec a \cdot \vec b|[/math]
- oder auch stumpfe Winkel

Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten

"Glück im Spiel - Pech in der Liebe!"
"Dein Würfel ist gezinkt!"
"Ich setze beim Roulette 100€ auf 'Rot'. Wenn ich gewinne, bekomme ich 200€ zurück, das ist fair!"
"Bei 'Siedler von Catan' kommt der Räuber am häufigsten."

absolute und relative Häufigkeit
Wahrscheinlichkeit: "Gesetz" der großen Zahlen
Laplace-Experimente

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 ===Rechenausdrücke | Terme Grundlagen===
   "Das Doppelte von 5 und 3"
-  "Die Zahl zuerst mit 2 multiplizieren, dann 6 addieren und das Ergebnis mit sich selbst multiplizieren."
+  "Die Zahl zuerst mit 2 multiplizieren, dann 6 addieren
+ und das Ergebnis mit sich selbst multiplizieren."
 *Vokabeln:

Methodos: Themenübersicht Mathe: Unterschied zwischen den Versionen