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−	__NOTOC__	+	__NOTOC__==Mathematische Beschreibung des Doppelspalts (eine Formel:)==
−	==Aufgaben zu Schwingungen II==	+
−	====Eine "Schwingungswaage"====	+	Man geht davon aus, dass von jeder Spaltmitte aus sich eine Elementarwelle ausbreitet. Damit erhält man genau die gleiche Situation wie bei der [[Interferenz#Zwei-Quellen-Interferenz|Zwei-Quellen-Interferenz von Schallwellen]]. Nun will man die Überlagerung berechnen, genauer, die Überlagerung an einer Stelle des Schirms.
−	[[Datei:Waage_weltraum.jpg|thumb]]	+	[[Datei:Doppelspalt_Zeichnung.png|thumb|516px|Die betrachtete Stelle <math>P</math> ist um <math>a</math> aus der optischen Achse verschoben und <math>L</math> vom Doppelspalt entfernt. Der Schirm befindet sich im Abstand <math>l</math> vom Doppelspalt.
−	In der International Space Station (ISS) funktionieren die "normalen" Waagen nicht mehr, weil man dort die Gewichtskraft nicht messen kann. Aber trotzdem kann man sich auch dort wiegen!	+	<br>Die Spaltmitten haben einen Abstand <math>d</math> voneinander und <math>\Delta s</math> ist der Gangunterschied der beiden Strahlen.]]
−	Der Sitz dieser "Weltraumwaage" ist zwischen zwei Federn gespannt und kann so frei schwingen.	+	An der Stelle <math>P</math> überlagern sich zwei Schwingungen gleicher Frequenz, aber evt. unterschiedlicher Phase<ref>Vgl. mit der [[Überlagerung_von_harmonischen_Schwingungen#Schwingungen_mit_gleicher_Frequenz|Überlagerung von mechanischen Schwingungen]] oder [[Interferenz; Überlagerung von Wellen|mechanischen Wellen]].</ref> .
−	*Erläutern Sie, warum man mit dieser Waage die Masse der Astronautin bestimmen kann. Benutzen Sie hierfür die Begriffe Trägheit und beschleunigende Kraft/Rückstellkraft.	+	Die Phasenverschiebung hängt direkt mit dem Unterschied der Weglänge der Elementarwellen von den Spalten bis zur Stelle <math>P</math>, dem sogenannten ''Gangunterschied'' <math>\triangle s</math> zusammen.
−	*Wie verändert sich die Frequenz, wenn man die Amplitude der Schwingung verändert? Warum ist das für die Weltraumwaage sehr praktisch?	+	Ist z.B. <math>\triangle s = 2 \ \lambda</math>, so ist die Phasenverschiebung <math>2\cdot 2\pi</math> und die Amplitude der Schwingung ist groß ("konstruktive Interferenz"). Ist <math>\triangle s = 1{,}5 \ \lambda</math>, so ist die Phasenverschiebung <math>1{,5}\cdot 2\pi</math> und die Amplitude der Schwingung ist null("destruktive Interferenz").
−	Der leere Stuhl hat eine Masse von <math>m_0=2\, \rm kg</math> und schwingt mit einer Periode von <math>T=0{,}33\, \rm s</math>.	+	In der weiteren Rechnung nimmt man vereinfachend an, dass die Strecken <math>S_1 P</math> und <math>S_2 P</math> parallel sind, was für einen "großen" Abstand zwischen Schirm und Spalt gerechtfertigt ist, denn dann ist <math>L</math> wesentlich größer als <math>d</math>. Diese Näherung wird auch "Fernfeld-Näherung", "Fraunhofer-Näherung" oder "Fraunhofer-Beugung" genannt.
−	*Bestimmen Sie hieraus die Härte <math>D</math> der Feder.	+	Dann sind die beiden rechtwinkligen Dreiecke <math>S_1 R S_2</math> und <math>M O P</math> ähnlich, denn sie haben gleiche Winkel. Demnach gilt:
		+	:<math>\frac{\triangle s}{d} = \frac{a}{L} = \sin(\alpha)</math>
		+	Weil man den Abstand <math>L</math> schlecht messen kann, <math>l</math> aber gut, kann man <math>L</math> entweder mit dem Satz des Pythagoras berechnen oder man setzt bei "kleinem" Winkel <math>\alpha</math> auch einfach <math>l \approx  L</math> als Näherung ein:
−	Nun steigt die Astronautin in den Stuhl und die Periodendauer verlängert sich auf <math>T=1{,}87\, \rm s</math>.	+	{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
−	*Welche Masse hat die Astronautin?	+	|
−		+	<math>\sin(\alpha) = \frac{\triangle s}{d} = \frac{a}{L} =\frac{a}{\sqrt{a^2+l^2}}\approx \frac{a}{l} \qquad \triangle s: \text{Gangunterschied zu den ''Spaltmitten''}</math>
−	In einem Modellversuch schwingt ein Wagen zwischen zwei Federn. Die Federkonstante einer Feder beträgt D= 3 N/m. Zusammen wirken sie wie eine Feder mit der doppelten Federkonstante. Der Wagen hat eine Masse von 190,6g.	+
−		+	<math>\triangle s = k \ \lambda \qquad \qquad \text{konstruktive Interferenz: Maximum k-ter Ordnung (k= 0,1,...)}</math>
−	*Wie schwer ist eine am Wagen befestigte Batterie, wenn der Wagen mit ihr nun in 5,6 Sekunden viermal schwingt?	+
−		+	<math>\triangle s = k \ \lambda - 1/2 \ \lambda \quad \text{destruktive Interferenz: Minimum k-ter Ordnung (k= 1,2,...)}</math>
−	(Ein Video mit einer ähnlichen "body mass measurement device" der NASA findet sich [http://www.youtube.com/watch?v=8rt3udip7l4 hier].)	+	|}
−	(Auch LEIFI beschäftigt sich [http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/mechanische-schwingungen/aufgaben#lightbox=/themenbereiche/mechanische-schwingungen/lb/mechanische-schwingungen-massebestimmung-im-weltall-0 hier] damit.)	+	====Fußnoten====
−		+	<references />
−	====Schaukeltier II====	+
−	Große und kleine Kinder schaukeln auf dem gleichen Tier unterschiedlich. Was ist der Unterschied?	+
−		+
−	====Schwingmännchen III====	+
−	[[Datei:Schwingmännchen.jpg|thumb|Eine Schwingprinzessin]]	+
−	Das Männchen bringt 200g auf die Waage und verlängert beim Dranhängen die vorher unbelastete Feder um 40cm.	+
−		+
−	*Wieso beträgt die Federkonstante (D) gerade 1/20 N/cm = 0,05 N/cm?	+
−	*Zeichnen Sie den Zusammenhang von Rückstellkraft und Auslenkung, also den Graphen von <math>F(y)</math> in ein Koordinatensystem.	+
−		+
−	*Mit welcher Frequenz wird das Männchen schwingen?	+
−		+
−	Hängt man das Männchen nur an die Hälfte der Feder, so wird bereits bei der halben Auslenkung die entsprechende Kraft erreicht. Die Federkonstante D verdoppelt sich also. Entsprechendes ergibt sich, wenn man zwei Federn aneinander hängt: Die Federkonstante halbiert sich.	+
−		+
−	*An welcher Stelle der Feder muss man festhalten, damit sich dadurch die Frequenz verdoppelt?	+
−		+
−	====Schwingmännchen IV====	+
−	Wie kann man es erreichen, dass das Männchen "doppelt so schnell", also mit doppelter Frequenz, schwingt?	+
−		+
−	====Schwingmännchen V====	+
−	Wie verändert sich die Frequenz und die Energie des Männchens, wenn sich	+
−	*die Federkonstante verdoppelt	+
−	*die Masse verdoppelt	+
−	*die Amplitude verdoppelt	+
−	und dabei die jeweils anderen Größen unverändert bleiben?	+
−		+
−	====Energie====	+
−	Welche Energie hat eine schwingender Körper der Masse 1kg, wenn er eine Periodendauer von 1s und eine Amplitude von 1cm hat?	+
−		+
−	====Energie II====	+
−	Wie muss ein Körper der Masse 1kg schwingen, damit die Schwingung 1J Energie hat?	+
−		+
−	====Energie III====	+
−	Zwei gleichschwere Körper schwingen mit der gleichen Amplitude, aber der eine doppelt so schnell wie der andere. Vergleichen sie die Energiemengen.	+

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Version vom 16. November 2017, 11:25 Uhr

Mathematische Beschreibung des Doppelspalts (eine Formel:)

Man geht davon aus, dass von jeder Spaltmitte aus sich eine Elementarwelle ausbreitet. Damit erhält man genau die gleiche Situation wie bei der Zwei-Quellen-Interferenz von Schallwellen. Nun will man die Überlagerung berechnen, genauer, die Überlagerung an einer Stelle des Schirms.

An der Stelle

$$P$$ überlagern sich zwei Schwingungen gleicher Frequenz, aber evt. unterschiedlicher Phase^[1] .

Die Phasenverschiebung hängt direkt mit dem Unterschied der Weglänge der Elementarwellen von den Spalten bis zur Stelle

$$P$$ , dem sogenannten Gangunterschied $$\triangle s$$ zusammen. Ist z.B. $$\triangle s = 2 \ \lambda$$ , so ist die Phasenverschiebung $$2\cdot 2\pi$$ und die Amplitude der Schwingung ist groß ("konstruktive Interferenz"). Ist $$\triangle s = 1{,}5 \ \lambda$$ , so ist die Phasenverschiebung $$1{,5}\cdot 2\pi$$ und die Amplitude der Schwingung ist null("destruktive Interferenz").

In der weiteren Rechnung nimmt man vereinfachend an, dass die Strecken

$$S_1 P$$ und $$S_2 P$$ parallel sind, was für einen "großen" Abstand zwischen Schirm und Spalt gerechtfertigt ist, denn dann ist $$L$$ wesentlich größer als $$d$$ . Diese Näherung wird auch "Fernfeld-Näherung", "Fraunhofer-Näherung" oder "Fraunhofer-Beugung" genannt. Dann sind die beiden rechtwinkligen Dreiecke $$S_1 R S_2$$ und $$M O P$$ ähnlich, denn sie haben gleiche Winkel. Demnach gilt:

$$\frac{\triangle s}{d} = \frac{a}{L} = \sin(\alpha)$$

Weil man den Abstand

$$L$$ schlecht messen kann, $$l$$ aber gut, kann man $$L$$ entweder mit dem Satz des Pythagoras berechnen oder man setzt bei "kleinem" Winkel $$\alpha$$ auch einfach $$l \approx L$$ als Näherung ein:

$$\sin(\alpha) = \frac{\triangle s}{d} = \frac{a}{L} =\frac{a}{\sqrt{a^2+l^2}}\approx \frac{a}{l} \qquad \triangle s: \text{Gangunterschied zu den ''Spaltmitten''}$$ $$\triangle s = k \ \lambda \qquad \qquad \text{konstruktive Interferenz: Maximum k-ter Ordnung (k= 0,1,...)}$$ $$\triangle s = k \ \lambda - 1/2 \ \lambda \quad \text{destruktive Interferenz: Minimum k-ter Ordnung (k= 1,2,...)}$$

Fußnoten

1. Hochspringen ↑ Vgl. mit der Überlagerung von mechanischen Schwingungen oder mechanischen Wellen.