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==Praktikum: Bau einer Panflöte aus Reagenzgläsern==
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===Arbeitsauftrag===
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[[Datei:Reagenzglasständer.jpg|thumb]]
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*Berechnen Sie die Längen der Luftsäulen für die Notenwerte einer Dur-Skala. (In reiner Stimmung und in gleichstufiger Stimmung)
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*Bauen Sie eine gestimmte Panflöte aus den Reagenzgläsern.
  
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==Erklärung durch Überlagerung von Wellen als "Stehende Welle"==
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;Material
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:Reagenzgläser, Reagenzglasständer, Wasser
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<br style="clear: both" />
  
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Überlagern sich zwei gegenläufige Wellen mit gleicher Wellenlänge und gleicher Amplitude, so ergibt sich in regelmäßigen Abständen von einem Viertel der Wellenlänge konstruktive und destruktive Interferenz. Dieses Phänomen hat man auch bei der Zwei-Quellen-Interferenz in dem Gebiet zwischen zwei Lautsprechern beobachten können.
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;Theoretischer Hintergrund
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Die Überlagerung sieht aus wie eine "Stehende Welle" und heißt deswegen auch so.  Die Stellen mit konstruktiver Interferenz heißen '''Bäuche''', die mit destruktiver Interferenz '''Knoten'''.
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Stehende Wellen sind aber keine Wellen mehr, sondern eine Schwingung durch die Formveränderung eines Körpers.
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'''a)''' Die "[https://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung reine Stimmung]":
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Denn bei einer stehenden Welle wird überhaupt '''keine Energie oder Impuls transportiert'''. Beide Wellen haben die gleiche Intensität, aber in gegenläufigen Richtungen.
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Man kann die Eigenschwingungen von ausgedehnten Körpern aber sehr schön mit Hilfe von Wellen beschreiben.
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Bei dieser Stimmung sind alle Töne auch Obertöne des Grundtons. Dafür sind die Tonabstände nicht gleichmäßig. Es gibt einen großen und einen kleinen Ganztonschritt. Zwei Halbtonschritte sind auch kein Ganztonschritt.
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An den Rändern des schwingenden Gegenstandes wird die Welle reflektiert. Je nach Art des Randes aber unterschiedlich.
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{| class="wikitable"
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An einem offenen (losen) Ende wird ein Wellenberg als Wellenberg reflektiert.
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<br>An einem geschlossenen (festen) Ende als Tal. Man kann auch sagen, dass die Welle bei einem festen Ende einen Phasensprung von <math>\pi</math> macht.
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Überlagert sich die einlaufende Welle mit der reflektierten, so entsteht eine stehende Welle.
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'''b)''' Die "[https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichstufige_Stimmung gleichstufige Stimmung]":
  
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Bei dieser Stimmung stimmen die Töne nicht mehr exakt mit den Obertönen des Grundtons überein. Daraus ergibt sich ein anderer Klang.
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<br/>Die Oktave wird in 12 gleichgroße Halbtonschritte aufgeteilt. Damit sind alle Ganztonschritte gleich groß, nämlich gerade zwei Halbtonschritte.
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<br/>Das Frequenzverhältnis vom Grundton zur Oktave ist 1:2, deshalb ist das Frequenzverhältnis eines Halbtonschrittes:
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:<math> 1 \cdot h^{12} = 2 \quad \Rightarrow\quad h = \sqrt[12]{2} \approx 1{,}0595</math>
  
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Bild:Stehende_Welle_go2.png|<math>\text{ } \quad \lambda_2= \frac{4}{5} \, l \qquad f_2=\frac{5}{4}\, \frac{c}{l} </math>
 
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Bild:Stehende_Welle_go3.png|<math>\text{ } \quad \lambda_3= \frac{4}{7} \, l \qquad f_3=\frac{7}{4}\, \frac{c}{l} </math>
 
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'''c)''' Eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Pentatonik#Anhemitonische_Pentatonik Pentatonik]
  
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Die Eigenfrequenzen unterscheiden sich also je nachdem, ob beide Randbedingungen gleich (offen-offen und geschlossen-geschlossen) oder unterschiedlich sind.
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Verwendet man von den sieben Tönen der C-Dur-Skala nur die fünf Töne C, D, E, G und A, so klingen alle Töne miteineinander sehr harmonisch und man kann damit irgendetwas improvisieren, ohne dass es schräg klingt. Das geht am besten mit der reinen Stimmung.
  
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Bei symmetrischen Randbedingen sind alle Vielfache der Grundfrequenz Eigenfrequenzen.
 
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:<math> f_n=\frac{2 \,(n+1)}{4}\, \frac{c}{l} \qquad f_n=(n+1)\, f_0 </math>
 
  
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Bei unsymmetrischen Randbedingen sind nur ungeradzahlige Vielfache der Grundfrequenz Eigenfrequenzen.
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;Beobachtungen
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:<math> f_n=\frac{2 \,(n+1)-1}{4}\, \frac{c}{l} \qquad f_n=(2\,(n+1)-1)\, f_0 </math>
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|+ '''Die für die Reagenzgläser nötigen Längen der Luftsäule'''
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Version vom 2. Februar 2022, 19:40 Uhr

Leere Seite

Praktikum: Bau einer Panflöte aus Reagenzgläsern

Arbeitsauftrag

Reagenzglasständer.jpg
  • Berechnen Sie die Längen der Luftsäulen für die Notenwerte einer Dur-Skala. (In reiner Stimmung und in gleichstufiger Stimmung)
  • Bauen Sie eine gestimmte Panflöte aus den Reagenzgläsern.
Material
Reagenzgläser, Reagenzglasständer, Wasser


Theoretischer Hintergrund

a) Die "reine Stimmung":

Bei dieser Stimmung sind alle Töne auch Obertöne des Grundtons. Dafür sind die Tonabstände nicht gleichmäßig. Es gibt einen großen und einen kleinen Ganztonschritt. Zwei Halbtonschritte sind auch kein Ganztonschritt.

C-Dur C D E F G A H C
Intervall Prime große
Sekunde 		große
Terz 		Quarte Quinte große
Sexte 		große
Septime 		Oktave
Frequenz [math]f_0[/math] [math]\tfrac{9}{8}\, f_0[/math] [math]\tfrac{5}{4}\, f_0[/math] [math]\tfrac{4}{3}\, f_0[/math] [math]\tfrac{3}{2}\, f_0[/math] [math]\tfrac{5}{3}\, f_0[/math] [math]\tfrac{15}{8}\, f_0[/math] [math]2\, f_0[/math]
Frequenzverhältnis
benachbarter Töne 		[math] \begin{matrix} \longmapsto \\ \cdot \tfrac{9}{8}\end{matrix}[/math] [math] \begin{matrix} \longmapsto \\ \cdot \tfrac{10}{9}\end{matrix}[/math] [math] \begin{matrix} \longmapsto \\ \cdot \tfrac{16}{15}\end{matrix}[/math] [math] \begin{matrix} \longmapsto \\ \cdot \tfrac{9}{8}\end{matrix}[/math] [math] \begin{matrix} \longmapsto \\ \cdot \tfrac{10}{9}\end{matrix}[/math] [math] \begin{matrix} \longmapsto \\ \cdot \tfrac{9}{8}\end{matrix}[/math] [math] \begin{matrix} \longmapsto \\ \cdot \tfrac{16}{15}\end{matrix}[/math]

b) Die "gleichstufige Stimmung":

Bei dieser Stimmung stimmen die Töne nicht mehr exakt mit den Obertönen des Grundtons überein. Daraus ergibt sich ein anderer Klang.
Die Oktave wird in 12 gleichgroße Halbtonschritte aufgeteilt. Damit sind alle Ganztonschritte gleich groß, nämlich gerade zwei Halbtonschritte.
Das Frequenzverhältnis vom Grundton zur Oktave ist 1:2, deshalb ist das Frequenzverhältnis eines Halbtonschrittes:

[math] 1 \cdot h^{12} = 2 \quad \Rightarrow\quad h = \sqrt[12]{2} \approx 1{,}0595[/math]
C-Dur C D E F G A H C
Intervall Prime große
Sekunde 		große
Terz 		Quarte Quinte große
Sexte 		große
Septime 		Oktave
Frequenz [math]f_0[/math] [math]h^2 \, f_0[/math] [math]h^4\, f_0[/math] [math]h^5\, f_0[/math] [math]h^7\, f_0[/math] [math]h^9\, f_0[/math] [math]h^11\, f_0[/math] [math]2\, f_0[/math]
Frequenzverhältnis
benachbarter Töne 		[math] \begin{matrix} \longmapsto \\ \cdot h^2\end{matrix}[/math] [math] \begin{matrix} \longmapsto \\ \cdot h^2\end{matrix}[/math] [math] \begin{matrix} \longmapsto \\ \cdot h\end{matrix}[/math] [math] \begin{matrix} \longmapsto \\ \cdot h^2\end{matrix}[/math] [math] \begin{matrix} \longmapsto \\ \cdot h^2\end{matrix}[/math] [math] \begin{matrix} \longmapsto \\ \cdot h^2\end{matrix}[/math] [math] \begin{matrix} \longmapsto \\ \cdot h\end{matrix}[/math]


c) Eine Pentatonik

Verwendet man von den sieben Tönen der C-Dur-Skala nur die fünf Töne C, D, E, G und A, so klingen alle Töne miteineinander sehr harmonisch und man kann damit irgendetwas improvisieren, ohne dass es schräg klingt. Das geht am besten mit der reinen Stimmung.


Beobachtungen
Die für die Reagenzgläser nötigen Längen der Luftsäule
C-Dur C D E F G A H C
Intervall Prime große
Sekunde 		große
Terz 		Quarte Quinte große
Sexte 		große
Septime 		Oktave
Luftsäule (cm)
"rein"
Luftsäule (cm)
"gleichstufig"
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