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| − | ==Lösungen==
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| − | ====Schaukeltier II====
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| − | Große Kinder haben eine größere Masse, wodurch sie langsamer schwingen!
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| − | ====Schaukeltier III====
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| − | Beim Anschubsen müssen die Kinder im richtigen Rythmus, nämlich in der Eigenfrequenz anregen, sonst nimmt die Schwingung die Energie nicht an und der Effekt ist gering! Zu schnelles Anschubsen bringt also nichts.
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| − | ====Schwingungskategorien====
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| − | Da finden sich [[Grundbegriffe_und_Beispiele_von_Schwingungen|hier]] Beispiele.
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| − | ====Wackelnder Rückspiegel====
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| − | *Ich kann die Frequenz verändern, also langsamer oder schneller fahren.
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| − | *Ich kann die Eigenfrequenz des Spiegels ändern, indem ich z.B. seine Masse vergrößere. (Das könnte man mit Knete oder einer Wäschklammer erreichen, dann verringert sich die Eigenfrequenz.)
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| − | *Ich kann den Spiegel dämpfen und ihm die Energie entziehen, z.B. indem ich mit dem Finger dranfasse.
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| − | (Das ist die einzige Lösung, die dauerhaft bei allen Geschwindigkeiten funktioniert.)
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| − | ====Schwingmännchen====
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| − | Dazu muss man die Federhärte vervierfachen, also ein Viertel der Feder benutzen, oder die Masse vierteln.
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| − | ====Schwingmännchen II====
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| − | *die Federkonstante verdoppelt: Die Frequenz erhöht sich um den Faktor <math>\sqrt{2}</math>.
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| − | *die Masse verdoppelt: Die Frequenz verringert sich um den Faktor <math>\sqrt{2}</math>.
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| − | *die Amplitude verdoppelt: Die Frequenz bleibt gleich!
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| − | ====harmonische Schwingung====
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| − | Das kann man [[Die_harmonische_Schwingung|hier]] lesen.
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| − | ====Zeigermodell====
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| − | Der Versuch ist [[Beschreibung_einer_harmonischen_Schwingung_mit_der_Zeigerdarstellung#Versuch: Projektion der Kreisbewegung|hier]] beschrieben, aber besser im Heft!
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| − | ====3 Energie====
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| − | Welche Energie hat eine schwingender Körper der Masse 1kg, wenn er eine Periodendauer von 1s und eine Amplitude von 1cm hat?
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| − | Geg:
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| − | ::<math>m - 1kg</math>
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| − | ::<math>T - 1s</math>
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| − | ::<math>\hat y - 0,01m</math>
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| − | Ges:
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| − | ::<math>E</math>
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| − | Rechnung:
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| − | :<math>E_{kin}=0.5*m*(\omega\hat y)^2</math> ist unsere Formel für die kinetische Energie. Eine Angabe fehlt uns jedoch noch, daher:
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| − | :<math>\omega = 2\pi *f</math>
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| − | :<math>\omega = 2\pi</math>
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| − | :<math>E_{kin}=0.5*(2\pi)^2*0.01^2</math>
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| − | ====4 Energie====
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| − | Wie muss ein Körper der Masse 1kg schwingen, damit die Schwingung 1J Energie hat?
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| − | ====6 Energie(f)====
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| − | Zwei gleichschwere Körper schwingen mit der gleichen Amplitude, aber der eine doppelt so schnell wie der andere. Vergleichen sie die Energiemengen.
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| − | ====1 Schwebung====
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| − | Zwei Stimmgabeln erzeugen eine Schwebung, weil die eine mit einem Reiter versehen wurde. Die Frequenz derjenigen ohne Reiter beträgt 440 Hz. Schätzen Sie die Frequenz der anderen Stimmgabel ab.
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| − | '''Lösung:'''
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| − | <br/> Das Schätzen der Frequenz der anderen Stimmgabel wäre aüßerst schwierig, da die Frequenz wohl viel zu hoch wäre. Man kann aber die Frequenz der Schwebung abschätzen. In unserm Beispiel ergab dies etwa <math>1{,}2</math>Hz. Da die Frequenz der zweiten Stimmgabel geringer seien wird, als die der anderen (der Reiter verlangsamt die Schwingung, indem er zusätzliche Masse einbringt) und die Frequenz der Schwebung gerade die Differenz der Frequenzen der beiden Stimmgabeln ist, ergibt sich:
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| − | <br/><math>440Hz-xHz=1{,}2Hz\Rightarrow x=438{,}8</math>
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| − | <br/>Die zweite Stimmgabel hat also etwa die Frequenz <math>438{,}8</math>Hz.
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| − | ====2 Überlagerung====
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| − | Bestimmen Sie jeweils die Schwingung, die aus der Überlagerung von y<sub>1</sub> und y<sub>2</sub> entsteht mit Hilfe des Zeigerdiagramms:
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| − | [[Bild:Schwingung_Überlagerung_Aufgabe_1.png|framed|none|<math>y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi)</math>]]
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| − | '''Überlegung''':
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| − | <br/>Beide Schwingungen haben die selbe Frequenz (das <math>\omega</math> beider Schwingungen ist 2)
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| − | <br/>Die zweite Schwingung ist um <math>\pi</math> phasenverschoben, also genau gegenphasig.
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| − | <br/>Da die Schwingungen gegenphasig sind eleminieren sie sich gegenseitig, da die zweite Schwingung aber die doppelte Amplitude der ersten Schwingung hat, wird ein Ton mit der halben Amplitude der zweiten Schwingung, aber ohne Phasenverschiebung zu dieser hörbar sein.
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| − | <br/> Die mathematische Beschreibung einer solchen Schwingung wäre:
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| − | <br/><math>y = 2cm sin(2t+\pi)</math>
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| − | [[Bild:Schwingung_Überlagerung_Aufgabe_2.png|framed|none|<math>y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi/2)</math>]]
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| − | '''Überlegung'''
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| − | [[Bild:Schwingung_Überlagerung_Aufgabe_3.png|framed|none|<math>y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 2cm sin(2t+\pi)</math>]]
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| − | '''Überlegung'''
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| − | <br/>Da die Pfeile entgegengesetzt sind, ergibt die Amplitude 0. Daher gilt <math>y''=0</math>.
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| − | ====7 Schwingung bei bekannter Energie====
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| − | Zwei Wagen, die beide eine Masse von 600g haben, sind mit einer Feder der Härte 1N/cm verbunden.
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| − | Wie schwingen die Wagen, wenn ihnen eine Energie von 1Joule zugeführt wird?
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| − | <math>Geg:</math> <math>m=0.6kg</math> <math>D=100</math><math>N\over m</math> <math>E=1J</math>
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| − | Die Charakteristik einer Schingung definieren wir als Angabe von der Frequenz <math>f</math> und der Amplitude <math>\hat y</math>.
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| − | <br/>Es wird mit der doppelten Federstärke <math>D</math> gerechnet, da wir denn Fall auf nur einen Wagen idealisieren (Stille Annahme: Symmetrie der Bewegung).
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| − | <br/>Zunächst widmen wir uns der Frequenz <math>f</math>:
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| − | <math>f=</math><math>{\omega}\over 2\pi</math><math>=</math><math>\sqrt {2D \over m}\over 2\pi</math><math>=</math><math>\sqrt {{200 {N\over m}} \over 0.6kg}\over 2\pi</math><math>=</math><math>2.91Hz</math>
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| − | Nun zur Amplitude <math>\hat y</math>:
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| − | <math>E_{pot}=</math><math>2\left({2D\over 2}{\hat y}^2\right)</math>
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| − | <br/><math>\hat y=</math><math>\sqrt {E\over 2D}</math><math>=</math><math>\sqrt {1Jm\over {200N}}</math><math>=</math><math>{0.1\over{\sqrt 2}}m</math><math>=</math><math>0.07m</math> (für einen einzelnen Wagen; das Gesamtsystem hat jedoch 2<math>\hat y</math>)
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| − | ====8 Wasserstoffmolekül====
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| − | Ein H<sub>2</sub>-Molekül kann man idealisiert als zwei, mit einer Feder verbundene, Körper auffassen.
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| − | Durch eine Messung regt man das Molekül zum Schwingen an und bestimmt die Frequenz der Schwingung zu 9,2 10<sup>11</sup> Hz.
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| − | Bestimmen sie die "Federkonstante" der gedachten Feder zwischen den Molekülen.
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| − | Wieviel Energie steckt im Molekül, wenn beide Atome mit einer Amplitude von 10<sup>-10</sup>m schwingen?
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| − | Man betrachte erst die Hälfte des Versuchsaufbau.
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| − | geg: T=1/(9,2*10^11) s
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| − | m=(2/(6*10^23)*0,001)kg
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| − | s=10^-10
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| − | Formel: D=m/((T/2PI)^2)
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| − | =>D=0,05599
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| − | E=D/2*ý^2
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| − | ====9 E<sub>kin</sub> = E<sub>Spann</sub>====
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| − | Für welche Auslenkung verteilt sich die Energie eines (horizontalen) Federpendels gerade je zur Hälfte auf die Feder und den Impuls?
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| − | Es wird gefragt für welche Auslenkung die Energie gleichermaßen in dem Impuls als auch in der Feder ist. Also wann die kinetische Energie gerade gleich der potentiellen bzw.der Spannenergie ist.
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| − | :D.h.:
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| − | :<math>E_{kin}=E_{spann}</math>
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| − | :also:
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| − | :<math>m/2*v^2=D/2*s^2</math>
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| − | :nach s aufgelöst:
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| − | :<math>s=\sqrt{D/m}*v</math>
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| − | ====10 Zeitlicher Mittelwert von E<sub>kin</sub> und E<sub>Spann</sub>====
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| − | Bestimmen sie das zeitliche Mittel der kinetischen und potentiellen Energie (Spannenergie der Feder) eines (horizontalen) Federpendels an einem selbst gewählten Beispiel.
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Version vom 11. Januar 2011, 09:52 Uhr
Aufgaben
Energieformen
Nennen Sie zwei verschiedene Schwingungen und beschreiben kurz wann dabei welche Energieformen auftreten.
Schaukeltier
Ein Schaukeltier.
(bilderkiste.de)
Ein Kind "reitet" auf einem Feder-Schaukeltier. Erklären Sie anhand dieses Beispiels die Begriffe:
- Ruhelage
- Elongation
- Amplitude
- Rückstellkraft
- Periodendauer
- Frequenz
Nennen Sie noch ein weiteres Beispiel für eine mechanische Schwingung und machen Sie sich wiederum diese Begriffe klar.
Schaukeltier II
Große und kleine Kinder schaukeln auf dem gleichen Tier unterschiedlich. Was ist der Unterschied?
Schaukeltier III
Worauf müssen die Kinder beim "Anschubsen" achten?
Schwingungskategorien
Nennen Sie für jede der verschiedenen Kategorien von Schwingungen ein Beispiel und erläutern Sie es kurz.
- frei
- angeregt
- selbsterregt
- erzwungen
Wackelnder Rückspiegel
Fahre ich mit meinem Auto ca. 90 km/h , so wackelt der Rückspiegel und das Bild wird dadurch unscharf.
Was könnte ich alles tun, damit der Spiegel aufhört zu schwingen?
Schwingmännchen
Wie kann man es erreichen, dass das Männchen "doppelt so schnell", also mit doppelter Frequenz, schwingt?
Schwingmännchen II
Wie verändert sich die Frequenz und die Energie des Männchens, wenn sich
- die Federkonstante verdoppelt
- die Masse verdoppelt
- die Amplitude verdoppelt
und dabei die jeweils anderen Größen unverändert bleiben?
harmonische Schwingung
Was ist eine "harmonische" Schwingung?
Zeigermodell
Wie kann man eine harmonische Schwingung mit einem Zeiger beschreiben?
Beschreiben Sie dazu den im Unterricht durchgeführten Versuch.
Sinusförmige Beschreibung
Eine Schwingung hat die Auslenkung y mit
- [math]y(t)=5 \rm{cm} \ \sin(3 \rm{Hz} \ t)[/math]
- Wo ist der Gegenstand nach 1,5 Sekunden und wie schnell ist er?
- Wie groß sind Amplitude, Frequenz und Periodendauer?
- Wie schnell ist der Gegenstand maximal?
Energie
Welche Energie hat eine schwingender Körper der Masse 1kg, wenn er eine Periodendauer von 1s und eine Amplitude von 1cm hat?
Energie II
Wie muss ein Körper der Masse 1kg schwingen, damit die Schwingung 1J Energie hat?
Energie III
Zwei gleichschwere Körper schwingen mit der gleichen Amplitude, aber der eine doppelt so schnell wie der andere. Vergleichen sie die Energiemengen.
Schwieriges und Anderes
1 Schwebung
Zwei Stimmgabeln erzeugen eine Schwebung, weil die eine mit einem Reiter versehen wurde. Die Frequenz derjenigen ohne Reiter beträgt 440 Hz. Schätzen Sie die Frequenz der anderen Stimmgabel ab.
2 Überlagerung
Bestimmen Sie jeweils die Schwingung, die aus der Überlagerung von y1 und y2 entsteht mit Hilfe des Zeigerdiagramms:
- [math]y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi)[/math]
- [math]y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi/2)[/math]
- [math]y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 2cm sin(2t+\pi)[/math]
7 Schwingung bei bekannter Energie
Zwei Wagen, die beide eine Masse von 600g haben, sind mit einer Feder der Härte 1N/cm verbunden.
Wie schwingen die Wagen, wenn ihnen eine Energie von 1Joule zugeführt wird?
8 Wasserstoffmolekül
Ein H2-Molekül kann man idealisiert als zwei, mit einer Feder verbundene, Körper auffassen.
Durch eine Messung regt man das Molekül zum Schwingen an und bestimmt die Frequenz der Schwingung zu 9,2 1011 Hz.
Bestimmen sie die "Federkonstante" der gedachten Feder zwischen den Molekülen.
Wieviel Energie steckt im Molekül, wenn beide Atome mit einer Amplitude von 10-10m schwingen?
(Fehlende Angaben entnehmen sie dem Buch oder dem www.)
9 Ekin = ESpann
Für welche Auslenkung verteilt sich die Energie eines (horizontalen) Federpendels gerade je zur Hälfte auf die Feder und den Impuls?
10 Zeitlicher Mittelwert von Ekin und ESpann
Bestimmen sie das zeitliche Mittel der kinetischen und potentiellen Energie (Spannenergie der Feder) eines (horizontalen) Federpendels an einem selbst gewählten Beispiel.
Hinweise:
- [math]E_{kin}(t)=m/2 \, v(t)^2 \qquad E_{pot}=D/2 \, y(t)^2[/math]
Den Mittelwert einer Funktion f(x) von x1 bis x2 bestimmt man mit Hilfe des Integrals:
- [math]\bar f = \frac{1}{x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2}f(x) dx[/math]
Anschaulich bestimmt man zur Fläche zwischen Schaubild und x-Achse ein Rechteck gleicher Fläche. Die Höhe des Rechtecks ist gerade der Mittelwert.
