Die Bewegungsgesetze einer harmonischen Schwingung: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Bewegungsenergie hängt direkt mit der Geschwindigkeit, bzw. mit dem Impuls zusammen: | Die Bewegungsenergie hängt direkt mit der Geschwindigkeit, bzw. mit dem Impuls zusammen: | ||
<math>E_{kin}=\frac{1}{2}m \, v^2 = \frac{p^2}{2\, m}</math> | <math>E_{kin}=\frac{1}{2}m \, v^2 = \frac{p^2}{2\, m}</math> | ||
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<math>E_{kin} = \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \cos^2(w\, t) \qquad \qquad \hat E_{kin} =\frac{1}{2} m \, \hat y^2 \omega^2 </math> ist die maximale Bewegungsenergie. | <math>E_{kin} = \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \cos^2(w\, t) \qquad \qquad \hat E_{kin} =\frac{1}{2} m \, \hat y^2 \omega^2 </math> ist die maximale Bewegungsenergie. | ||
Die Energie ist proportional zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude. | Die Energie ist proportional zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude. | ||
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| + | Aus der sinusförmigen Bewegung folgt auch der lineare Zusammenhang <math>F=-D\,y</math> von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder. (Siehe [[Die harmonische Schwingung#Von der Sinusförmigkeit auf den linearen Kraftverlauf|hier]].) | ||
===Kraft=== | ===Kraft=== | ||
Version vom 14. November 2011, 16:09 Uhr
Inhaltsverzeichnis
[Verbergen]Das Ortsgesetz
Aus der Zeigerdarstellung oder aus der Differentialgleichung folgt beidesmal der sinusförmige Verlauf der Elongation, also des Ortes:
[math]y = \hat y \sin (\omega t)[/math]
Berechnung des Geschwindigkeitsgesetzes
Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderungsrate des Ortes, also muss man nach der Zeit ableiten. Dabei muss man die Kettenregel beachten.
v(t)=˙s(t)=(ˆysin(ωt)˙)=ˆycos(ωt)ω (Wiederholung: [f(g(t))]′=f′(g(t))g′(t))
[math] v(t) = \hat y \omega cos(\omega t) = \hat v cos(\omega t)\qquad \qquad \hat v = \hat y \omega [/math] ist die maximale Geschwindigkeit.
Berechnung des Beschleunigungsgesetzes
Um die Beschleunigung zu erhalten, muss man die Geschwindigkeit erneut ableiten.
a=˙v=ˆyω˙cos(ωt)=ˆyω(−sin(ωt))ω
[math]a(t)=-\hat y \omega^2 \sin(\omega t) = \hat a \sin(\omega \, t)\qquad \qquad \hat a = -\hat y \omega ^2 [/math] ist die maximale Beschleunigung.
Folgerungen aus den Bewegungsgesetzen
Impuls
Der Impuls hängt direkt mit der Geschwindigkeit über p=mv zusammen:
[math]p(t)=m \, \hat y\, \omega \ cos(\omega\, t) \qquad \qquad \hat p = m\, \hat y \,\omega[/math] ist der maximale Impuls.
Energie
In Abhängigkeit von der Zeit
Die Bewegungsenergie hängt direkt mit der Geschwindigkeit, bzw. mit dem Impuls zusammen: Ekin=12mv2=p22m
Die "restlichen" Energieformen wie Spann- und Lageeneergie ergänzen die Bewegungsenergie immer zu einer konstanten Summe. (Zumindest bei einer ungedämpften Schwingung.)
[math]E_{kin} = \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \cos^2(w\, t) \qquad \qquad \hat E_{kin} =\frac{1}{2} m \, \hat y^2 \omega^2 [/math] ist die maximale Bewegungsenergie.
Die Energie ist proportional zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude.
In Abhängigkeit vom Ort
Aus der sinusförmigen Bewegung folgt auch der lineare Zusammenhang F=−Dy von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder. (Siehe hier.)
Kraft
Die Beschleunigung hängt direkt mit der wirkenden Kraft über F=m a zusammen, daher folgt:
[math]F(t)=-m\, \hat y\, \omega^2 \ \sin(\omega\, t) = \hat F \sin(\omega\, t)\qquad \qquad \hat F = -m\, \hat y \,\omega ^2[/math] ist die maximale Kraft.
Ausserdem folgt aus der sinusförmigen Bewegung auch der lineare Zusammenhang F=−Dy von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder. (Siehe hier.)
Frequenz
Die maximal wirkende Rückstellkraft läßt sich auf zwei Arten berechnen. Einmal über die maximale Beschleunigung −ˆyω2 und einmal über die maximale Auslenkung ˆy:
- ˆF=mˆa=−Dˆy
⇒−mˆyω2=−Dˆy. Teilt man nun noch durch die Amplitude ˆy und die Masse m, so folgt:
[math]\omega^2= \frac{D}{m}[/math] oder [math]\omega= \sqrt{\frac{D}{m}}[/math] ; [math] f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}[/math] ; [math] T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}[/math] Frequenz einer harmonischen Schwingung, sie hängt nicht von der Amplitude ab!
Die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt aus der Kreisfrequenz mit: ω=2πf und T=1f
Beispiel: Federpendel
T=1,2
ω=(2∗π1,2)
s(t)=9cm⋅sin((2∗π1,2s)∗t
v(t)=9cm∗(2∗π1,2s)∗cos((2∗π1,2s)∗t)
ˆv=9cm∗(2∗π1,2s)=47cms
Aufgaben
Zu 108.2
ω: Winkelgeschwindigkeit f: Umläufe pro Zeit
z.B.: f=2Hz
w=2∗π∗(1s)=4∗π∗(1s)
⇒ω=2∗π∗f und weil f=(1T)
ω=(2∗πT)
Zu 108.3
ϕ0: Phasenverschiebung
ϕ0=0∘: Schwingung in Phase
ϕ0=π(180∘): gegenphasig
Links
- Applet zur Zeigerdarstellung
- Applet zur Sinuskurve des Ortsdiagramms eines Pendels (W.Fendt)
- Applet zum Federpendel (W.Fendt)
- Wikipedia: Zeigerdiagramm
</math>
