Lösungen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 20. Januar 2012, 15:51 Uhr

Lösung zu:

1.3  Aufgabe 1: (9.5;10.5;5,5)
     Aufgabe 2: L = { }

2.1  Aufgabe 1: - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden
Exponenten besteht. Oder wenn gilt: f(-x)=f(x) z.B. f(-2)=f(2)

- Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht.
oder wenn gilt: f(-x)=-f(x) z.B. f(-3)=-f(3)
 
2.1  Aufgabe 2: P1(0|0) ist Sattelpunkt [math]\rightarrow[/math] 3-fache Nullstelle
                      Px(3|0) ist einfache Nullstelle
                      [math]\rightarrow[/math] Ansatz: f(x)= a_4 x^3(x-3)
                      P2(2|-2): f(2)= -2 [math]\leftrightarrow[/math] a_4 * 2^3(2-3)= -2 [math]\leftrightarrow[/math] -8a_4 = -2 [math]\leftrightarrow[/math] a_4 = 1/4
                      Funktionsgleichung: f(x)= 1/4x^3(x-3) = 1/4x^4 - 3/4x^3

2.1  Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=x^4 
                         Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: f1(x)=(x-3)^4
                         Streckung um den Faktor 2: g(x)=2(x-3)^ 
                         Neue Funktionsgleichung: g(x)=2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162

                b) Achsensymmetrie: g(-x)=g(x)
                         g(x) = 2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162
                         g(-x)= 2(-x)^4 - 24(-x)^3 + 108(-x)^2 -216(-x) + 162
                              = 2x^4 + 24x^3 + 108x^2 + 216x + 162
                         [math]\rightarrow[/math] g(-x) ≠ g(x) [math]\rightarrow[/math] Der Graph ist nicht achsensymmetrisch.
                   Punktsymmetrie: g(-x) = -g(x)         (g(-x) siehe oben)
                         -g(x)= -2x^4 + 24x^3 - 108x^2 + 216x - 162
                         [math]\rightarrow[/math] g(-x) ≠ -g(x) [math]\rightarrow[/math] Der Graph ist nicht punktsymmetrisch

2.2  Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen

2.2  Aufgabe 2: f(x)= 1/2x^3 - 3x^2 [math]\rightarrow[/math] keine Symmetrie!
                      f(x)=0 [math]\leftrightarrow[/math] x^2 ( 1/2x - 3) = 0
                      [math]\rightarrow[/math] x_1/2 = 0    x_3= 6

2.2  Aufgabe 3: f(x)= 4x^3 + 12x^2
                      f´(x)= 12x^2 + 24x
                      f´´(x)= 24x + 24
                      f´´´(x)= 24

                      f´(x)= 0             
                      24x + 24 = 0

                      x = -1
                      f´´´(x) ≠ 0
                      f´´´(-1)= 24

                      An der Stelle -1 liegt eine Wendestelle vor!

2.3  Aufgabe 1:       • f´(x)= 8 e^2x   , f´´(x)= 16 e^2x  , f´´´(x)= 32 e^2x
                      • f´(x)= e^x+4    , f´´(x)= e^x+4    , f´´´(x)= e^x+4 
                      • f´(x)= (x+3)e^x , f´´(x)= (x+4)e^x , f´´´(x)= (x+5)e^x