Lösungen: Unterschied zwischen den Versionen
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Px(3|0) ist einfache Nullstelle | Px(3|0) ist einfache Nullstelle | ||
<math>\rightarrow</math> Ansatz: f(x)= a_4 x^3(x-3) | <math>\rightarrow</math> Ansatz: f(x)= a_4 x^3(x-3) | ||
| − | P2(2|-2): f(2)= -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 * 2^3(2-3)= -2 <math>\leftrightarrow</math> -8a_4 = -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 = 1 | + | P2(2|-2): f(2)= -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 * 2^3(2-3)= -2 <math>\leftrightarrow</math> -8a_4 = -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 = <math>\frac{1}{4}</math> |
| − | Funktionsgleichung: f(x)= 1/ | + | Funktionsgleichung: f(x)= <math>\frac{1}{4}</math>x^3(x-3) = <math>\frac{1}{4}</math>x^4 - <math>\frac{3}{4}</math>x^3 |
'''2.'''1 Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=x^4 | '''2.'''1 Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=x^4 | ||
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'''2.'''2 Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen | '''2.'''2 Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen | ||
| − | '''2.'''2 Aufgabe 2: f(x)= 1/ | + | '''2.'''2 Aufgabe 2: f(x)= <math>\frac{1}{2}</math>x^3 - 3x^2 <math>\rightarrow</math> keine Symmetrie! |
| − | f(x)=0 <math>\leftrightarrow</math> x^2 ( 1 | + | f(x)=0 <math>\leftrightarrow</math> x^2 ( <math>\frac{1}{2x}</math> - 3) = 0 |
<math>\rightarrow</math> x_1/2 = 0 x_3= 6 | <math>\rightarrow</math> x_1/2 = 0 x_3= 6 | ||
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| − | '''2.'''3 Aufgabe 1: • f´(x)= 8 e^2x | + | '''2.'''3 Aufgabe 1: • f´(x)= <math>8 e^{2x}</math> , f´´(x)= <math>16 e^{2x}</math> , f´´´(x)= <math>32 e^{2x}</math> |
| − | • f´(x)= e^x+4 | + | • f´(x)= <math>e^{x+4}</math> , f´´(x)= <math>e^{x+4}</math> , f´´´(x)= <math>e^{x+4}</math> |
| − | • f´(x)= (x+3)e^x , f´´(x)= (x+4)e^x , f´´´(x)= (x+5)e^x | + | • f´(x)= <math>(x+3)e^x</math> , f´´(x)= <math>(x+4)e^x</math> , f´´´(x)= <math>(x+5)e^x</math> |
Version vom 20. Januar 2012, 16:07 Uhr
Lösung zu:
1.3 Aufgabe 1: (9.5;10.5;5,5)
Aufgabe 2: L = { }
2.1 Aufgabe 1: - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Oder wenn gilt: f(-x)=f(x) z.B. f(-2)=f(2) - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. oder wenn gilt: f(-x)=-f(x) z.B. f(-3)=-f(3) 2.1 Aufgabe 2: P1(0|0) ist Sattelpunkt [math]\rightarrow[/math] 3-fache Nullstelle Px(3|0) ist einfache Nullstelle [math]\rightarrow[/math] Ansatz: f(x)= a_4 x^3(x-3) P2(2|-2): f(2)= -2 [math]\leftrightarrow[/math] a_4 * 2^3(2-3)= -2 [math]\leftrightarrow[/math] -8a_4 = -2 [math]\leftrightarrow[/math] a_4 = [math]\frac{1}{4}[/math] Funktionsgleichung: f(x)= [math]\frac{1}{4}[/math]x^3(x-3) = [math]\frac{1}{4}[/math]x^4 - [math]\frac{3}{4}[/math]x^3 2.1 Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=x^4 Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: f1(x)=(x-3)^4 Streckung um den Faktor 2: g(x)=2(x-3)^ Neue Funktionsgleichung: g(x)=2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162 b) Achsensymmetrie: g(-x)=g(x) g(x) = 2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162 g(-x)= 2(-x)^4 - 24(-x)^3 + 108(-x)^2 -216(-x) + 162 = 2x^4 + 24x^3 + 108x^2 + 216x + 162 [math]\rightarrow[/math] g(-x) ≠ g(x) [math]\rightarrow[/math] Der Graph ist nicht achsensymmetrisch. Punktsymmetrie: g(-x) = -g(x) (g(-x) siehe oben) -g(x)= -2x^4 + 24x^3 - 108x^2 + 216x - 162 [math]\rightarrow[/math] g(-x) ≠ -g(x) [math]\rightarrow[/math] Der Graph ist nicht punktsymmetrisch
2.2 Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen 2.2 Aufgabe 2: f(x)= [math]\frac{1}{2}[/math]x^3 - 3x^2 [math]\rightarrow[/math] keine Symmetrie! f(x)=0 [math]\leftrightarrow[/math] x^2 ( [math]\frac{1}{2x}[/math] - 3) = 0 [math]\rightarrow[/math] x_1/2 = 0 x_3= 6 2.2 Aufgabe 3: f(x)= 4x^3 + 12x^2 f´(x)= 12x^2 + 24x f´´(x)= 24x + 24 f´´´(x)= 24 f´(x)= 0 24x + 24 = 0 x = -1 f´´´(x) ≠ 0 f´´´(-1)= 24 An der Stelle -1 liegt eine Wendestelle vor!
2.3 Aufgabe 1: • f´(x)= [math]8 e^{2x}[/math] , f´´(x)= [math]16 e^{2x}[/math] , f´´´(x)= [math]32 e^{2x}[/math] • f´(x)= [math]e^{x+4}[/math] , f´´(x)= [math]e^{x+4}[/math] , f´´´(x)= [math]e^{x+4}[/math] • f´(x)= [math](x+3)e^x[/math] , f´´(x)= [math](x+4)e^x[/math] , f´´´(x)= [math](x+5)e^x[/math]
