Arbeitsblatt: Wurzel 2 ist irrational: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Die Wurzel aus 2 ist eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt:
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Die Wurzel aus 2 ist eine Zahl, die quadriert, also mit sich selbst multipliziert, 2 ergibt:
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:'''<math>\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2</math>
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: <math>(\sqrt{2})^2 = \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2</math>
  
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'''Eine rationale Zahl ist ein Bruch .'''
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Eine rationale Zahl ist ein Bruch. Gibt es einen Bruch, der quadriert 2 ergibt?
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:<math>\left(\frac{z}{n}\right)^2=\frac{z}{n}\cdot \frac{z}{n}=2</math>
  
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'''Gibt es einen Bruch, der mit sich selbst multipliziert 2 ergibt?'''
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'''1)''' Man kann einfach mal mit verschiedenen Zählern und Nennern probieren:
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||<math>\rm \frac{8}{6}\cdot \frac{8}{6}=\frac{64}{36}=1{,}\bar {7}</math> || oder || <math>64=1{,}\bar {7}\cdot 36</math> || Der Bruch ist zu klein!
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'''1)''' Man kann ja mal Brüche suchen:
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||<math>\rm \frac{10}{7}\cdot \frac{10}{7}=\frac{100}{49}\approx 2{,}04</math> || oder || <math>100\approx \mathrm{2,04}\cdot 49</math> || Der Bruch ist zu groß!
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:<math>{\left(\frac{8}{6}\right)}^{2}=\mathrm 1{,}\, {\bar 7} \qquad {\left(\frac{10}{7}\right)}^{2}\approx \mathrm 2{,}\,04 \qquad {\left(\frac{14}{10}\right)}^{2}=\mathrm 1{,}\,96</math>
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||<math>\rm \frac{14}{10}\cdot \frac{14}{10}=\frac{196}{100}=1{,}96</math> || oder || <math>196=1{,}96\cdot 100</math> ||Der Bruch ist zu klein!
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Schreibe drei weitere Brüche auf, deren Quadrat möglichst 2 ergibt!
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*Suche drei weitere Brüche, deren Quadrat möglichst 2 ergibt!
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Um das etwas systematischer anzugehen, muss man sich die Zahlen genauer anschauen. Viele ganze Zahlen lassen sich als Produkt schreiben und diese Faktoren wieder als Produkt. Solange bis Zahlen übrig bleiben, die man nicht mehr als Produkt schreiben kann:
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'''2) '''Warum klappt das nicht ganz genau? Vielleicht muss man länger suchen. Oder mehr über Zahlen nachdenken: Viele ganze Zahlen lassen sich als Produkt schreiben und diese Faktoren wieder als Produkt. Bis Primzahlen übrig bleiben, die man nicht mehr als Produkt schreiben kann:
 
:<math>50=2\cdot 25=2\cdot 5\cdot 5</math>
 
:<math>50=2\cdot 25=2\cdot 5\cdot 5</math>
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:<math>420=2\cdot 120=2\cdot 2\cdot 60=2\cdot 2\cdot 2\cdot 30=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 15=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5</math>
 
:<math>420=2\cdot 120=2\cdot 2\cdot 60=2\cdot 2\cdot 2\cdot 30=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 15=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5</math>
  
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Das nennt man ''Primfaktorzerlegung'' und ist so etwas wie der Fingerabdruck einer Zahl. Und das geht mit allen Zahlen, auch mit größeren!
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Das nennt man ''Primfaktorzerlegung'' und ist so etwas wie der Fingerabdruck einer Zahl. Und das geht mit allen Zahlen, auch mit größeren:
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:<math>5917978459302=2\cdot 3\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 13\cdot 23\cdot 23\cdot 67\cdot 79\cdot 79</math><ref>Das kann man sich von [http://www.wolframalpha.com/ Wolfram Alpha] mit der Eingabe "prime factorization of 5917978459302" berechnen lassen!</ref>
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:<math>5917978459302=2\cdot 3\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 13\cdot 23\cdot 23\cdot 67\cdot 79\cdot 79</math>
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'''2) a)''' Schreibe die Primfaktorzerlegung dieser Zahlen auf:
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*Schreibe die Primfaktorzerlegung dieser Zahlen auf:
 
:<math>12=</math>
 
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:<math>30=</math>
 
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:<math>54=</math>
 
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:<math>42=</math>
 
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'''3)''' Nun wieder zur Wurzel aus 2. Ich tue mal so, als ob das zweite Beispiel aus 1) stimmen würde:
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:<math>\frac{10}{7}\cdot \frac{10}{7}=\frac{10\cdot 10}{7\cdot 7}=2</math> oder <math>10\cdot 10=2\cdot 7\cdot 7</math>
  
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Nun wieder zur Wurzel aus 2. Ich tue mal so, als ob das zweite Beispiel aus 1) stimmen würde:  
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Mit der Primfaktorzerlegung bekommt man:
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:<math>2\cdot 2\cdot 5\cdot 5=2\cdot 7\cdot 7</math>
  
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:<math>\frac{10}{7}\cdot \frac{10}{7}=2</math> 
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Das kann aber nicht stimmen, denn die „Fingerabdrücke“ sind ja ganz unterschiedlich! Die linke Seite kann man zweimal durch 2 teilen, die rechte Seite nur einmal!
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Mit der Primfaktorzerlegung sieht das dann so aus:
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:<math>\frac{2\cdot 5\cdot 2\cdot 5}{7}=2</math>
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*Begründe mit dem gleichen Vorgehen, warum <math>\left(\frac{14}{10} \right)^2=2</math> falsch sein muss!
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Jetzt multipliziert man die Gleichung mit dem Nenner:
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:<math>2\cdot 2\cdot 5\cdot 5=2\cdot 7</math>
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'''4)''' Im allgemeinen Fall suchen wir einen Zähler z und einen Nenner n mit: <math>\frac{z}{n}\cdot \frac{z}{n}=2</math> oder
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Das ist definitiv falsch!
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:<math>(*)\quad z\cdot z=2\cdot n\cdot n</math>  
  
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'''3)''' Begründe mit dem gleichen Vorgehen, warum <math>{\left(\frac{14}{10}\right)}^{2}=2</math> falsch sein muss!
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Das kann aber nicht sein!
  
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Im allgemeinen Fall suchen wir einen Zähler a und einen Nenner b mit:
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*Denn überlege dir: Ist die Anzahl der „2en“ auf der linken Seite der Gleichung <math>(*)</math> gerade oder ungerade? Und wie ist das auf der rechten Seite?
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:<math>\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}=2</math>
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Das ist das gleiche wie
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'''5)''' Aber ich habe doch noch den richtigen Bruch gefunden! Überprüfe das mit dem Taschenrechner.
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:<math>\frac{a\cdot a}{b\cdot b}=2</math>
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Oder, wenn man die Gleichung mit <math>b\cdot b</math> multipliziert:
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:<math>a\cdot a=2\cdot b\cdot b</math>  Das kann aber nicht sein!
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:<math>{\left(\frac{3467618674}{2451976679}\right)}^{2}=2</math>  Was meinst du dazu?
  
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'''4)''' Denn überlege dir: Ist die Anzahl der „2en“ auf der linken Seite der Gleichung gerade oder ungerade? Und wie ist das auf der rechten Seite?
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'''6)''' Beweise mit Hilfe der Primfaktorzerlegung: „Die Wurzel aus drei ist irrational.“
  
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'''7)''' Erkundige dich, was die dritte Wurzel einer Zahl ist und beweise: Die dritte Wurzel von 2 ist irrational.
  
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'''5)''' Aber ich habe doch noch den richtigen Bruch gefunden! Überprüfe das mit dem Taschenrechner.
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==Fußnoten==
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<references />
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:<math>{\left(\frac{3467618674}{2451976679}\right)}^{2}=2</math> Was meinst du dazu?
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'''6)''' Beweise mit Hilfe der Primfaktorzerlegung: „Die Wurzel aus drei ist irrational.“
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Aktuelle Version vom 21. Dezember 2013, 00:16 Uhr

Arbeitsblatt Wurzel 2 ist irrational Zeichnung.png

Die Wurzel aus 2 ist eine Zahl, die quadriert, also mit sich selbst multipliziert, 2 ergibt:

(√2)2=√2⋅√2=2

Eine rationale Zahl ist ein Bruch. Gibt es einen Bruch, der quadriert 2 ergibt?

(zn)2=zn⋅zn=2

1) Man kann einfach mal mit verschiedenen Zählern und Nennern probieren:

86⋅86=6436=1,ˉ7 oder 64=1,ˉ7⋅36 Der Bruch ist zu klein!
107⋅107=10049≈2,04 oder 100≈2,04⋅49 Der Bruch ist zu groß!
1410⋅1410=196100=1,96 oder 196=1,96⋅100 Der Bruch ist zu klein!
  • Suche drei weitere Brüche, deren Quadrat möglichst 2 ergibt!

2) Warum klappt das nicht ganz genau? Vielleicht muss man länger suchen. Oder mehr über Zahlen nachdenken: Viele ganze Zahlen lassen sich als Produkt schreiben und diese Faktoren wieder als Produkt. Bis Primzahlen übrig bleiben, die man nicht mehr als Produkt schreiben kann:

50=2⋅25=2⋅5⋅5
420=2⋅120=2⋅2⋅60=2⋅2⋅2⋅30=2⋅2⋅2⋅2⋅15=2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅5

Das nennt man Primfaktorzerlegung und ist so etwas wie der Fingerabdruck einer Zahl. Und das geht mit allen Zahlen, auch mit größeren:

5917978459302=2⋅3⋅7⋅7⋅7⋅13⋅23⋅23⋅67⋅79⋅79[1]
  • Schreibe die Primfaktorzerlegung dieser Zahlen auf:
12=
30=
54=
42=

3) Nun wieder zur Wurzel aus 2. Ich tue mal so, als ob das zweite Beispiel aus 1) stimmen würde:

107⋅107=10⋅107⋅7=2 oder 10⋅10=2⋅7⋅7

Mit der Primfaktorzerlegung bekommt man:

2⋅2⋅5⋅5=2⋅7⋅7

Das kann aber nicht stimmen, denn die „Fingerabdrücke“ sind ja ganz unterschiedlich! Die linke Seite kann man zweimal durch 2 teilen, die rechte Seite nur einmal!

  • Begründe mit dem gleichen Vorgehen, warum (1410)2=2 falsch sein muss!

4) Im allgemeinen Fall suchen wir einen Zähler z und einen Nenner n mit: zn⋅zn=2 oder

(∗)z⋅z=2⋅n⋅n

Das kann aber nicht sein!

  • Denn überlege dir: Ist die Anzahl der „2en“ auf der linken Seite der Gleichung (∗) gerade oder ungerade? Und wie ist das auf der rechten Seite?

5) Aber ich habe doch noch den richtigen Bruch gefunden! Überprüfe das mit dem Taschenrechner.

(34676186742451976679)2=2 Was meinst du dazu?

6) Beweise mit Hilfe der Primfaktorzerlegung: „Die Wurzel aus drei ist irrational.“

7) Erkundige dich, was die dritte Wurzel einer Zahl ist und beweise: Die dritte Wurzel von 2 ist irrational.

Fußnoten

  1. Hochspringen ↑ Das kann man sich von Wolfram Alpha mit der Eingabe "prime factorization of 5917978459302" berechnen lassen!
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