*: Unterschied zwischen den Versionen
Aus Schulphysikwiki
(→Leere Seite) |
(→Leere Seite) |
||
| Zeile 4: | Zeile 4: | ||
|height="800x"| | |height="800x"| | ||
| − | |} | + | |} |
=Fehlerrechnung= | =Fehlerrechnung= | ||
Version vom 23. November 2021, 14:34 Uhr
Leere Seite
Fehlerrechnung
Systematische und zufällige Messfehler
- Jede Messung ermittelt nur einen ungenauen Wert einer Größe.
- Dabei enthaltene Messfehler teilt man in systematische und zufällige Fehler ein.
- Systematische Fehler entstehen z.B. durch einen falschen Versuchsaufbau. Sie verschieben die gemessenen Werte um einen festen Betrag. Sie sind schwer abzuschätzen oder zu korrigieren.
- Bei zufälligen Fehlern geht man davon aus, dass die Messwerte um den korrekten Wert schwanken. Zufällige Fehler werden durch Schwankungen der Messgröße, der Messgeräte, der Umwelt, durch den Beobachter etc. verursacht. Sie sind unvermeidbar, können aber abgeschätzt und durch Wiederholung verringert werden. Dazu verwendet man die Statistik.
- Graphische Veranschaulichung der Fehlertypen
Kleiner zufälliger Fehler
Kleiner systematischer Fehler
Kleiner zufälliger Fehler
Großer systematischer Fehler
Großer zufälliger Fehler
Kleiner systematischer Fehler
Großer zufälliger Fehler
Großer systematischer Fehler
Angabe von Messfehlern
- Als absolute Angabe mit Einheiten: [math]l=2\,\rm m \ (\pm 0,01\,\rm m) \qquad \qquad l = l_0 \pm \Delta l[/math]
- Als relative Angabe ohne Einheiten: [math]l=2\,\rm m \ (\pm 0,05)\ (\pm 5 \%) \qquad (\pm \frac{\Delta l}{l})[/math]
- Mit Hilfe von geltenden Ziffern, wobei nur die letzte Ziffer fehlerbehaftet ist: [math]l=2,000\,\rm m[/math]
Statistische Beurteilung von zufälligen Fehlern
- Dazu müssen eine möglichst große Anzahl von [math]N[/math] Messungen der gleichen Größe [math]x[/math] durchgeführt werden.
- Häufig kann man annehmen, dass der Messwert normalverteilt ist, die Häufigkeiten also der Gaußschen Glockenkurve entsprechen. (Das liegt daran, dass eine zufällige Größe, die von sehr vielen voneinander unabhängigen Einflüssen abhängt, normalverteilt ist. (Sogenannter "zentraler Grenzwertsatz"))
- Der Verlauf der Kurve und damit die Messwerte werden durch die Angabe des Mittelwerts ([math]\bar x[/math]) und der Standardabweichung ([math]s[/math] oder [math]\sigma[/math]) vollständig festgelegt. Der Mittelwert gibt den Ort des Maximums an, die Standardabweichung gibt den Abstand der Wendestellen von der Extremstelle an.
- [math]\bar x = \frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N} \qquad \sigma = s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N (\bar x - x_i)^2}{N-1}}[/math]
- Die Standardabweichung der Messwerte gibt an, wie genau die Messungen waren. Kleine Abweichung = Genaue Messung. Man kann damit auch die Wahrscheinlichkeit angeben, dass ein Messwert innerhalb eines Bereichs liegt.
Maximale absolute Abweichung | Vertrauensniveau
s | 68% (ca. 2/3)
2 s | 95%
2,5 s | 99%
- Für das Gesamtergebnis ist aber nicht der einzelne Messwert, sondern der Mittelwert der N Messwerte interessant. Dies berücksichtigt dann auch die Tatsache, dass der Mittelwert immer weniger unsicher wird, je mehr Messungen durchgeführt werden!
- Für den Mittelwert gibt es auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer anderen Glockenkurve. Daraus ergibt sich die Standardabweichung des Mittelwertes [math]s_M[/math]. Sie ergibt eine Abschätzung für den Fehler des Mittelwertes und wird als Fehler der Messung angegeben.
- [math]s_M = \frac{s}{\sqrt{N}}[/math]
- Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% liegt also der Mittelwert der N Messungen im Bereich [math]\bar x \pm s_M[/math].
Fehlerfortpflanzung
- Häufig werden eine oder mehrere fehlerbehaftete Ergebnisse verwendet, um ein Gesamtergebnis zu berechnen, das natürlich auch fehlerbehaftet ist. Man spricht von Fehlerfortpflanzung.
Summen und Differenzen
- Die absoluten Fehler addieren sich.
- Beispiel
Es wird die Dicke eines Blatt Papiers zu [math]0{,}2\,\rm mm \ (\pm 0{,}01\,\rm mm)[/math] bestimmt. Für die Dicke von 50 Blättern ergibt sich: [math]10\,\rm mm \ (\pm 0{,}5\,\rm mm)[/math]
Produkte und Quotienten
- Die relativen Fehler addieren sich.
Beispiel: Zur Bestimmung der Geschwindigkeit wurde die Strecke und die Zeit gemessen:
- [math]s = 5\,\rm m \ (\pm 0{,}01 \,\rm m) \ (\pm 0{,}2\%)[/math]
- [math]t = 2 \,\rm s \ (\pm 0{,}1 \,\rm s) \ (\pm 5\%)[/math]
- [math]v=\frac{s}{t}= 2{,}5 \,\rm m/s \ (\pm 5{,}2\%)[/math]
Aus dem relativen Fehler ist es nun auch möglich wieder den absoluten Fehler zu berechnen.
Potenzen und Wurzeln
- Die relativen Fehler werden mit der Potenz gewichtet und addiert.
- Beispiel
Bestimmung der kinetischen Energie eines Radfahrers.
- [math] \begin{alignat}{2} E_{kin} &= \frac{1}{2}\, m\, v^2 & \qquad (v \textrm{ in } \rm\frac{m}{s} )\\ &= \frac{1}{2}\, m\, \frac{v^2}{3{,}6^2} & \qquad (v \textrm{ in } \rm\frac{km}{h} ) \end{alignat} [/math]
- [math]m = 85,3\,\rm kg \ (\pm 0,1\,\rm kg) \ (\pm 0{,}12\%)[/math]
- [math]v = 18\,\rm \frac{km}{h} \ (\pm 1 \,\rm\frac{km}{h}) \ (\pm 5{,}6\%) [/math]
Der relative Messfehler der Geschwindigkeit wird nun doppelt gewichtet (mit zwei multipliziert):
- [math]E_{kin} = 1066{,}66\,\rm J \ (\pm 11{,}32\%)[/math]
Um diese Messung zu verbessern, muss man vor allem die Geschwindigkeit genauer messen.
- Beispiel
Bestimmung der Periodendauer eines Pendels.
- [math]T = 2\pi \, \frac{\sqrt{l}}{\sqrt{g}} = 2\pi \, \frac{l^{1/2}}{g^{1/2}}[/math]
- [math]l = 0{,}6\,\rm m \ (\pm 0{,}1\%)[/math]
- [math]g = 9{,}81 \,\rm m/s^2 \ (\pm 0{,}01\%)[/math]
Die relativen Messfehler werden nun mit 1/2 gewichtet (multipliziert) und addiert:
- [math]T = 1{,}5539 s \ (\pm 0,055\%)[/math]
In diesem Fall ist also der Gesamtfehler kleiner als der größte Einzelfehler!
