Mathematische Beschreibung von Schwingungen: Unterschied zwischen den Versionen
(→Versuch: Projektion der Kreisbewegung) |
(→Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung) |
||
| Zeile 91: | Zeile 91: | ||
==Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung== | ==Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung== | ||
| − | *Rückstellkraft | + | *Man betrachtet eine vereinfachte Situation: Ein Körper wird als punktförmige Masse idealisiert, die an einer masselosen, hookschen Feder befestigt ist. |
| − | *F- | + | *Die äußere Situation wird durch den Zusammenhang von Ort und Kraft gegeben. (Wo wirkt welche Kraft?) |
| − | * | + | :Bei einer hookschen Feder ist die Kraft proportional zur Ausenkung. Die Proportionalitätskonstante ist die Federhärte D. Für die Rückstellkraft gilt also: <math>F=-Dy</math> |
| + | *Wir suchen nun Bewegungen des Körpers in der Zeit, also den Zeit-Ort-Zusammenhänge y(t), die in diesem Kraftverlauf möglich sind. | ||
| + | *Die Lösung liefert uns das Newtonsche Axiom <math>F=\dot p = m a = m \ddot y</math>. Es beschreibt nämlich den Zusammenhang zwischen Kraftverlauf und zeitlichen Ablauf der Bewegung! | ||
| + | :Setzt man für die Kraft für die konkrete Situation ein, so ergibt sich: | ||
| + | |||
| + | :<math>-D \quad y = m \ddot y</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\Rightarrow \qquad \ddot y= -\frac{D}{m} \quad y </math> Differentialgleichung (DGL) der harmonischen Schwingung | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Wir suchen also Zeit-Orts-Gesetze, deren zweite zeitliche Ableitung ein Vielfaches von sich selbst sind!! | ||
| + | |||
| + | *Durch systematisches Probieren findet man Lösungen dieser DGL: | ||
| + | :Schwingungen mit einer beliebigen Amplitude | ||
| + | :<math>y(t)=\hat y sin(\omega t)</math> | ||
| + | :Schwingungen mit einer zusätzlichen Phasenverschiebung: | ||
| + | :<math>y(t)=\hat y sin(\omega t + \varphi_0)</math> | ||
| + | :Der Stillstand ist auch eine Lösung! | ||
| + | :<math>y(t) = 0</math> | ||
==Untersuchung dreier Schwingungen== | ==Untersuchung dreier Schwingungen== | ||
Version vom 8. November 2006, 10:58 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Beschreiben der Bewegung einer harmonischen Schwingung
- Idealisierung:
- Reibungsfrei
- lineare Rückstellkraft
Versuch: Ein Sandpendel
Aufbau:
Siehe Bild 1
Beobachtung:
Es entsteht eine Wellenlinie. (Siehe Bild 2)
Erklärung
Diese Wellenlinie ist gerade das Zeit-Ort Diagramm einer Schwingung, denn sie gibt an wann der Körper wo ist. Die Ortsfunktion scheint eine Sinusfunktion zu sein, an der man die Amplitude und die Periode ablesen kann.
Versuch: Projektion der Kreisbewegung
Aufbau:
Siehe Bild 3
Beobachtung:
Text Text Text Text Text Text TextText Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text
Erklärung
Text Text Text Text Text Text TextText Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text
Zu 108.2
[math]\omega[/math]: Winkelgeschwindigkeit [math]f[/math]: Umläufe pro Zeit
z.B.:
- [math]f = 2Hz[/math]
- [math]w = 2*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)= 4*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)[/math]
- [math]\Rightarrow \omega=2*\pi*f[/math] und weil [math]f=\left( \frac{1}{T} \right)[/math]
- [math]\omega=\left( \frac{2*\pi}{T} \right)[/math]
Zu 108.3
- [math]\phi_0[/math] = Phasenverschiebung
- [math]\phi_0[/math] = 0° = Schwingung in Phase
- [math]\phi_0[/math] =[math]\pi*(180°)[/math] = gegenphasig
Berechnung des Geschwindigkeitsgesetzes
[math]v=\dot s[/math] [math]v(t)=[\hat y*sin(\omega*t)][/math] [math]\rightarrow[/math] Ableitung = [math]v=\^y*cos(\omega*t)*\omega[/math]
- Anmerkung: Elongation ist nicht von der Zeit abhängig, daher wird hier nicht abgeleitet;
- Wiederholung: [f(g(t))]= f'(g(t))*g'(t)
[math]\Rightarrow[/math] [math]v(t) = \hat y*\omega*cos(\omega*t)[/math]
[math]v(t) = \hat v*cos(\omega*t)[/math]
[math]\hat v[/math] ist die maximale Geschwindigkeit
Berechnung des Beschleunigungsgesetzes
Beschleunigung = [math]a=\dot v = [\hat y*\omega*cos(\omega*t)]= \hat y*\omega*(-sin(\omega*t)*\omega[/math]
[math]\Rightarrow a(t)=-\hat y*\omega^2*sin(\omega*t)[/math]
Beispiel: Federpendel
- Für 10 Schwingungen: 12s
- Amplitude: 9cm
- [math]T=1{,}2[/math]
- [math]\omega=\left( \frac {2*\pi}{1{,}2} \right)[/math]
[math]s(t)=9cm*sin(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t[/math]
[math]v(t)=9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*cos(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t)[/math]
[math]\hat v = 9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)= 47\frac{cm}{s}[/math]
Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung
- Man betrachtet eine vereinfachte Situation: Ein Körper wird als punktförmige Masse idealisiert, die an einer masselosen, hookschen Feder befestigt ist.
- Die äußere Situation wird durch den Zusammenhang von Ort und Kraft gegeben. (Wo wirkt welche Kraft?)
- Bei einer hookschen Feder ist die Kraft proportional zur Ausenkung. Die Proportionalitätskonstante ist die Federhärte D. Für die Rückstellkraft gilt also: [math]F=-Dy[/math]
- Wir suchen nun Bewegungen des Körpers in der Zeit, also den Zeit-Ort-Zusammenhänge y(t), die in diesem Kraftverlauf möglich sind.
- Die Lösung liefert uns das Newtonsche Axiom [math]F=\dot p = m a = m \ddot y[/math]. Es beschreibt nämlich den Zusammenhang zwischen Kraftverlauf und zeitlichen Ablauf der Bewegung!
- Setzt man für die Kraft für die konkrete Situation ein, so ergibt sich:
- [math]-D \quad y = m \ddot y[/math]
[math]\Rightarrow \qquad \ddot y= -\frac{D}{m} \quad y [/math] Differentialgleichung (DGL) der harmonischen Schwingung
Wir suchen also Zeit-Orts-Gesetze, deren zweite zeitliche Ableitung ein Vielfaches von sich selbst sind!!
- Durch systematisches Probieren findet man Lösungen dieser DGL:
- Schwingungen mit einer beliebigen Amplitude
- [math]y(t)=\hat y sin(\omega t)[/math]
- Schwingungen mit einer zusätzlichen Phasenverschiebung:
- [math]y(t)=\hat y sin(\omega t + \varphi_0)[/math]
- Der Stillstand ist auch eine Lösung!
- [math]y(t) = 0[/math]
Untersuchung dreier Schwingungen
- Ziel der Untersuchung ist es, das -Zeit-Orts-Gesetz [math]y(t)[/math] und damit auch die Frequenz der Schwingung aus der äußeren Situation, wie z.B. die Masse eines Körpers herzuleiten.
- Dazu ist es sinnvoll jeweils die DGL aufzustellen. Zunächst muss man ein Koordinatensystem wählen und den Ort-Kraft-Verlauf bestimmen. Vor allem beim Fadenpendel hilft auch ein Blick in ein Buch oder ins Internet weiter.
- Als Ergebnis sollen Sie sowohl eine allgemeine Formel erstellen, sowie eine konkrete Rechnung mit den gemessenen Größen durchführen.
- Welche Schlussfolgerung können Sie aus der allgemeinen Lösung ziehen? (Z.B. Abhängigkeit von der Masse, etc.)
- Vergleichen Sie dann die errechnete Frequenz mit der gemessenen und führen Sie eine Fehlerrechnung durch.
