Zeigermodell und Wellengleichung einer ebenen harmonischen Welle: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 26. Januar 2011, 08:11 Uhr

Im Falle einer räumlich unbegrenzten, linearen harmonischen Welle kann man die Welle relativ einfach beschreiben. In einer solchen Welle sind alle Schwingungen harmonisch und die Welle breitet sich nur längs einer Raumrichtung aus. Kugelwellen, Kreiswellen oder Zylinderwellen sind also keine solchen Wellen, ebene Wellen schon. Ausserdem werden räumlich begrenzte Wellenpakete ausgeschlossen.

Bei einer Welle regt eine Schwingung ihren Nachbarn in Ausbreitungsrichtung zu erzwungenen Schwingungen an. Alle schwingen mit der gleichen Frequenz. Die Schwinger hinken aber in Ausbreitungsrichtung der ursprünglichen Schwingung hinterher, wodurch sich eine Phasenverschiebung ergibt. Im Abstand einer halben Wellenlänge beträgt sie gerade LaTex: \pi,so dass die Schwingungen gegenphasig sind, bei einer ganzen Wellenlänge sind es LaTex: 2 \pi, womit die Schwingungen wieder in Phase sind. Die Welle breitet sich nach rechts aus. Die Schwingungen B, C,... hinken dem linken Nachbar jeweils um hinterher. (Aus den dynamischen Arbeitsblätternzur Wellenlehre.) Die Welle breitet sich nach rechts aus. Die Schwingungen B, C,... hinken dem linken Nachbar jeweils um LaTex: \pi/4 hinterher. (Aus den dynamischen Arbeitsblätternzur Wellenlehre.) Inhaltsverzeichnis

   * 1 Zeigermodell
   * 2 Wellengleichung
   * 3 Versuch: Drehende Holzspirale
   * 4 Versuch: Rotierende Perlen
   * 5 Links

[bearbeiten] Zeigermodell

Jede Schwingung wird durch einen rotierenden Zeiger dargestellt. Eine Welle wird durch eine Kette von Schwingungen, also auch durch eine Kette von Zeigern dargestellt. Die Zeiger haben eine Phasenverschiebung zum Nachbarzeiger, weil das "Signal" verzögert weitergegeben wird. Das wird in diesem Applet dargestellt. [bearbeiten] Wellengleichung

Man stellt für alle beteiligten Schwinger eine Ortsfunktion auf. Da die Ortsfunktionen von der Position x abhängen, schreibt man LaTex: y_x(t) oder LaTex: y(x,t). Alle Ortsfunktionen zusammen nennt man Wellengleichung.

Es ergibt sich die Wellengleichung: LaTex: y(x,t) = \hat y \, \sin(\omega t - \varphi(x)) mit der ortsabhängigen Phasenverschiebung LaTex: \varphi(x) = \frac{2 \pi}{\lambda} x.

[Der Bruch LaTex: \frac{2 \pi}{\lambda} wird auch als Wellenzahl bezeichnet.]

Woraus folgt: LaTex: y(x,t) = \hat y \, \sin\left( 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) \right)

[bearbeiten] Versuch: Drehende Holzspirale

Die Holzspirale

Versuch: Rotierende Perlen

Die rotierenden Perlen.

Links

   * dynamische Arbeitsblätter zur Erarbeitung der Grundbegriffe der Wellenlehre
   * Applet: Phasenzeiger einer Welle (Jörg Bogendörfer Didaktik der Physik Uni Erlangen)

Im Falle einer räumlich unbegrenzten, linearen harmonischen Welle kann man die Welle relativ einfach beschreiben. In einer solchen Welle sind alle Schwingungen harmonisch und die Welle breitet sich nur längs einer Raumrichtung aus. Kugelwellen, Kreiswellen oder Zylinderwellen sind also keine solchen Wellen, ebene Wellen schon. Ausserdem werden räumlich begrenzte Wellenpakete ausgeschlossen.

Bei einer Welle regt eine Schwingung ihren Nachbarn in Ausbreitungsrichtung zu erzwungenen Schwingungen an. Alle schwingen mit der gleichen Frequenz. Die Schwinger hinken aber in Ausbreitungsrichtung der ursprünglichen Schwingung hinterher, wodurch sich eine Phasenverschiebung ergibt. Im Abstand einer halben Wellenlänge beträgt sie gerade [math]\Pi[/math], so dass die Schwingungen gegenphasig sind, bei einer ganzen Wellenlänge sind es [math]2 \ \Pi[/math], womit die Schwingungen wieder in Phase sind.

Bild:Welle_Phasenverschiebung.png|Die Welle breitet sich nach rechts aus. Die Schwingungen B, C,... hinken dem linken Nachbar jeweils um [math]\Pi / 4[/math] hinterher. (Aus den dynamischen Arbeitsblättern zur Wellenlehre.)

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Zeigermodell

Jede Schwingung wird durch einen rotierenden Zeiger dargestellt. Eine Welle wird durch eine Kette von Schwingungen, also auch durch eine Kette von Zeigern dargestellt. Die Zeiger haben eine Phasenverschiebung zum Nachbarzeiger, weil das "Signal" verzögert weitergegeben wird. Das wird in diesem <a href="http://www.bogisoft.de/applets/welle1.htm" class="external text" title="http://www.bogisoft.de/applets/welle1.htm" rel="nofollow">Applet</a> dargestellt.

Wellengleichung

Man stellt für alle beteiligten Schwinger eine Ortsfunktion auf. Da die Ortsfunktionen von der Position x abhängen, schreibt man <img class="tex" src="Zeigermodell%20und%20Wellengleichung-Dateien/mimetex_007.gif" alt="LaTex: y_x(t)"> oder <img class="tex" src="Zeigermodell%20und%20Wellengleichung-Dateien/mimetex.gif" alt="LaTex: y(x,t)">. Alle Ortsfunktionen zusammen nennt man Wellengleichung.

Es ergibt sich die Wellengleichung: <img class="tex" src="Zeigermodell%20und%20Wellengleichung-Dateien/mimetex_004.gif" alt="LaTex: y(x,t) = \hat y \, \sin(\omega t - \varphi(x))"> mit der ortsabhängigen Phasenverschiebung <img class="tex" src="Zeigermodell%20und%20Wellengleichung-Dateien/mimetex_006.gif" alt="LaTex: \varphi(x) = \frac{2 \pi}{\lambda} x">.

[Der Bruch <img class="tex" src="Zeigermodell%20und%20Wellengleichung-Dateien/mimetex_005.gif" alt="LaTex: \frac{2 \pi}{\lambda}"> wird auch als Wellenzahl bezeichnet.]

Woraus folgt: <img class="tex" src="Zeigermodell%20und%20Wellengleichung-Dateien/mimetex_009.gif" alt="LaTex: y(x,t) = \hat y \, \sin\left(  2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) \right)">

Versuch: Drehende Holzspirale

Versuch: Rotierende Perlen

Links

• <a href="http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/wellen/welleinhalt.html#inhalt" class="external text" title="http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/wellen/welleinhalt.html#inhalt" rel="nofollow">dynamische Arbeitsblätter zur Erarbeitung der Grundbegriffe der Wellenlehre</a>
• <a href="http://www.bogisoft.de/applets/welle1.htm" class="external text" title="http://www.bogisoft.de/applets/welle1.htm" rel="nofollow">Applet: Phasenzeiger einer Welle (Jörg Bogendörfer Didaktik der Physik Uni Erlangen)</a>

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