Kraft und Impuls: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 20. November 2013, 00:25 Uhr

Wesentlich für das Verständnis der Newtonschen Mechanik ist die Massenträgheit. Ein Gegenstand ändert seine Bewegung nur, wenn jemand oder etwas mit einer Kraft an ihm zieht oder drückt. Die Bewegung eines Gegenstandes lässt sich in eine Translation durch den Raum und eine Rotation um die Drehachse aufteilen.

Dementsprechend benötigt man eine Kraft für das Beschleunigen, das Bremsen und die Richtungsänderung sowohl der Translation als auch der Rotation.

Massenträgheit und Bewegungszustand

Massenträgheit (1. Newtonsches Axiom)

• Ein Körper behält seinen Bewegungszustand bei, solange keine Kraft auf ihn wirkt. Der Bewegungszustand wird durch die Menge an Impuls [math]\vec p[/math](Schwung) für die Translation und Drehimpuls [math]\vec L[/math] (Drehschwung) für die Rotation angegeben. Sowohl Impuls als auch Drehimpuls haben eine Richtung und sind vektorielle Größen.
• In der Schulphysik wird die Rotation von Gegenständen in der Regel vernachlässigt, man betrachtet nur die Translation.

• Beispiel mit reibungsarmen Einkaufswagen: Der Wagen bewegt sich geradlinig und behält seine Geschwindigkeit bei. Auch die Drehung des Wagen ändert sich nicht.

Weitere Beispiele sind der Luftkissenpuck (Fußball), ein Mensch auf einem Bürodrehstuhl oder Experimente am Luftkissentisch oder -bahn.

(Dreh-)Impuls und (Winkel-)Geschwindigkeit

Der Bewegungszustand eines Einkaufswagens.

• Ein Körper enthält viel Impuls, wenn er schnell ist und eine große Masse hat. Man legt den Impuls daher als Produkt der beiden Größen fest. Damit sind der Impuls- und Geschwindigkeitsvektor zueinander parallel und die Masse ist der Proportionalitätsfaktor:

[math]\vec p = m \vec v[/math]

Leider hat die Einheit des Impulses keinen allgemeingültigen eigenen Namen bekommen, im Karlsruher Physikkurs wird sie als "Huygens" bezeichnet.

[math][\vec p] = \mathrm{1kg \frac{1m}{1s} = 1Hy}[/math] (lies: Huygens)

• Der Drehimpulsvektor und die Winkelgeschwindigkeit sind ebenfalls parallel und der Proportionalitätsfaktor ist das Trägheitsmoment des Körpers:

[math]\vec L = \Theta \vec \omega[/math]^[1]

• Ist die Masse oder das Trägheitsmoment konstant, kann man den Bewegungszustand auch über die Geschwindigkeit und die Winkelgeschwindigkeit festlegen.

Zusammenhang zwischen Kraft und Impuls

Änderung des Bewegungszustandes (2. Newtonsches Axiom)

Eine Veränderung des Bewegungszustandes durch eine Kraft. Der Wagen wird langsamer.

• Eine Kraft kann den Bewegungszustand verändern und wenn der Bewegungszustand sich verändert muss eine Kraft wirken.

Die Kraft ist die zeitliche Änderungsrate des Impulses und gibt an, 
wieviel Impuls in einen Körper pro Zeit hinein oder herausfließt.
[math]\vec F = \dot \vec  p \approx \frac{\triangle \vec p}{\triangle t}[/math] ("Impulsstromstärke") 
Wenn die Masse des Körpers sich nicht verändert, gilt: 
[math]\vec F = m\, \dot\vec v  = m \,\vec a \approx m \, \frac{\triangle \vec v}{\triangle t}[/math]        [math][\vec F] = \mathrm{1N = \frac{1Hy}{1s} = \frac{1kg \,m}{s^2} }[/math]

• Wirkt eine Kraft von 3N auf einen Körper, so fließen pro Sekunde 3Hy Impuls hinein.
• Eine Kraft mit der Stärke 10N beschleunigt einen Körper der Masse 5kg in einer Sekunde um 2m/s.

skalar auf einer Geraden

vektoriell

waagrechter Wurf

Bei der Kreisbewegung wirkt die Kraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung. So ergibt sich nur eine Änderung der Bewegungsrichtung, aber nicht der Geschwindigkeit. Der Impuls ändert seine Richtung, aber nicht den Betrag.

Wechselwirkung von Körpern

"Actio gleich reactio" / Impulserhaltung (3. Newtonsches Axiom)

Ändert ein Gegenstand seinen Impuls, so ist immer auch ein Partner beteiligt. 
Stößt sich der Gegenstand mit der Kraft [math]\vec F[/math] ab, so wirkt die Gegenkraft [math]-\vec F[/math] auf den Partner.
Sowohl die Summe der Impulse als auch der gemeinsame Schwerpunkt bleiben immer erhalten.

Ein Mensch springt von einem Skateboard.

Ein Wagen fährt auf zwei stehende Wagen und kuppelt ein.

Dies kann man mit drei zeitlichen Phasen beschreiben:

vorher

Beide Gegenstände haben zusammen den Impuls [math]\vec p + \vec P[/math]

Änderung

Eine Zeit [math]t[/math] lang wirkt auf den Gegenstand eine Kraft [math]\vec F[/math] und auf den Partner die gleichgroße, aber entgegengesetzt wirkende Gegenkraft [math]-\vec F[/math].

Der Gegenstand erhält also den Impuls [math]\triangle \vec p = \vec F \cdot t[/math] und der Partner verliert ihn, bzw. bekommt den Impuls [math]-\triangle \vec p[/math].

nachher

Beide Gegenstände haben ihren Impuls verändert, aber zusammen haben sie immer noch den gleichen Impuls: [math]\vec {p'} + \vec {P'}[/math]

Rechnung

Als Rechenansatz gibt es zwei Möglichkeiten:

Impulsbilanz

Man setzt den Impuls vor und nach dem Impulsaustausch gleich:

[math]p+P = p'+P'[/math]

Falls die Masse der Gegenstände sich nicht verändert, gilt:

[math]m \, v + M \, V = m \, v' + M \, V' [/math]

Nun überlegt man sich, welche Größen gegeben sind und welche Größe nicht. Nach der unbekannten Größe löst man auf.

Impulsänderung

Der Impuls ändert sich bei einer zeitlich konstanten Kraft um [math]\triangle \vec p = \vec F \cdot t[/math].

Für die Impulse nach dem Kontakt gilt also:

[math]\vec {p'} = \vec p + \vec F \cdot t[/math] und [math]\vec {P'} = \vec P - \vec F \cdot t[/math]

Bei unveränderten Massen folgt daraus:

[math]m \, \vec {v'} = m \, \vec v + \vec F \cdot t[/math] und [math]M \, \vec {V'} = M \, \vec V - \vec F \cdot t[/math]

Fußnoten

1. ↑ Das gilt eigentlich nur für Achsen, bezüglich der Körper keine Unwucht hat, der sogenannten "Hauptträgheitsachsen". Für Drehachsen, die auch eine Symmetrieachse des Körpers sind, hat der Körper keine Unwucht. Ist im Abstand r von der Achse die Masse m verteilt, so beträgt das Trägheitsmoment [math]\Theta = m\ r^2[/math].

Links

• Einfache Methoden zur Messung von Roll- und Luftwiderstandsbeiwert am Fahrrad (von Alfons Kolling)
• Reifen-Test der TÜV AUTOMOTIVE GMBH (Rollwiderstand von Reifen; vom Umweltbundesamt)
• System Physik: Impulsstrom und Kraft (Werner Maurer)