Arbeitsblatt: Wurzel 2 ist irrational: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | + | Eine rationale Zahl ist ein Bruch. Gibt es einen Bruch, der quadriert 2 ergibt? | |
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| + | '''2) '''Warum klappt das nicht ganz genau? Vielleicht muss man länger suchen. Oder mehr über Zahlen nachdenken: Viele ganze Zahlen lassen sich als Produkt schreiben und diese Faktoren wieder als Produkt. Bis Primzahlen übrig bleiben, die man nicht mehr als Produkt schreiben kann: | ||
:<math>50=2\cdot 25=2\cdot 5\cdot 5</math> | :<math>50=2\cdot 25=2\cdot 5\cdot 5</math> | ||
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:<math>420=2\cdot 120=2\cdot 2\cdot 60=2\cdot 2\cdot 2\cdot 30=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 15=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5</math> | :<math>420=2\cdot 120=2\cdot 2\cdot 60=2\cdot 2\cdot 2\cdot 30=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 15=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5</math> | ||
| − | Das nennt man ''Primfaktorzerlegung'' und ist so etwas wie der Fingerabdruck einer Zahl. Und das geht mit allen Zahlen, auch mit größeren | + | Das nennt man ''Primfaktorzerlegung'' und ist so etwas wie der Fingerabdruck einer Zahl. Und das geht mit allen Zahlen, auch mit größeren: |
| − | + | :<math>5917978459302=2\cdot 3\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 13\cdot 23\cdot 23\cdot 67\cdot 79\cdot 79</math><ref>Das kann man sich von [http://www.wolframalpha.com/ Wolfram Alpha] mit der Eingabe "prime factorization of 5917978459302" berechnen lassen!</ref> | |
| − | :<math>5917978459302=2\cdot 3\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 13\cdot 23\cdot 23\cdot 67\cdot 79\cdot 79</math> | + | |
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| + | *Schreibe die Primfaktorzerlegung dieser Zahlen auf: | ||
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| + | '''3)''' Nun wieder zur Wurzel aus 2. Ich tue mal so, als ob das zweite Beispiel aus 1) stimmen würde: | ||
| + | :<math>\frac{10}{7}\cdot \frac{10}{7}=\frac{10\cdot 10}{7\cdot 7}=2</math> oder <math>10\cdot 10=2\cdot 7\cdot 7</math> | ||
| − | + | Mit der Primfaktorzerlegung bekommt man: | |
| + | :<math>2\cdot 2\cdot 5\cdot 5=2\cdot 7\cdot 7</math> | ||
| − | + | Das kann aber nicht stimmen, denn die „Fingerabdrücke“ sind ja ganz unterschiedlich! Die linke Seite kann man zweimal durch 2 teilen, die rechte Seite nur einmal! | |
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| − | + | *Begründe mit dem gleichen Vorgehen, warum <math>\left(\frac{14}{10} \right)^2=2</math> falsch sein muss! | |
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| − | :<math> | + | '''4)''' Im allgemeinen Fall suchen wir einen Zähler z und einen Nenner n mit: <math>\frac{z}{n}\cdot \frac{z}{n}=2</math> oder |
| − | + | :<math>(*)\quad z\cdot z=2\cdot n\cdot n</math> | |
| − | + | Das kann aber nicht sein! | |
| − | + | *Denn überlege dir: Ist die Anzahl der „2en“ auf der linken Seite der Gleichung <math>(*)</math> gerade oder ungerade? Und wie ist das auf der rechten Seite? | |
| − | :<math> | + | |
| − | + | '''5)''' Aber ich habe doch noch den richtigen Bruch gefunden! Überprüfe das mit dem Taschenrechner. | |
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| − | :<math> | + | :<math>{\left(\frac{3467618674}{2451976679}\right)}^{2}=2</math> Was meinst du dazu? |
| − | ''' | + | '''6)''' Beweise mit Hilfe der Primfaktorzerlegung: „Die Wurzel aus drei ist irrational.“ |
| + | '''7)''' Erkundige dich, was die dritte Wurzel einer Zahl ist und beweise: Die dritte Wurzel von 2 ist irrational. | ||
| − | + | ==Fußnoten== | |
| − | + | <references /> | |
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Aktuelle Version vom 20. Dezember 2013, 23:16 Uhr
Die Wurzel aus 2 ist eine Zahl, die quadriert, also mit sich selbst multipliziert, 2 ergibt:
- [math](\sqrt{2})^2 = \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2[/math]
Eine rationale Zahl ist ein Bruch. Gibt es einen Bruch, der quadriert 2 ergibt?
- [math]\left(\frac{z}{n}\right)^2=\frac{z}{n}\cdot \frac{z}{n}=2[/math]
1) Man kann einfach mal mit verschiedenen Zählern und Nennern probieren:
[math]\rm \frac{8}{6}\cdot \frac{8}{6}=\frac{64}{36}=1{,}\bar {7}[/math] oder [math]64=1{,}\bar {7}\cdot 36[/math] Der Bruch ist zu klein! [math]\rm \frac{10}{7}\cdot \frac{10}{7}=\frac{100}{49}\approx 2{,}04[/math] oder [math]100\approx \mathrm{2,04}\cdot 49[/math] Der Bruch ist zu groß! [math]\rm \frac{14}{10}\cdot \frac{14}{10}=\frac{196}{100}=1{,}96[/math] oder [math]196=1{,}96\cdot 100[/math] Der Bruch ist zu klein!
- Suche drei weitere Brüche, deren Quadrat möglichst 2 ergibt!
2) Warum klappt das nicht ganz genau? Vielleicht muss man länger suchen. Oder mehr über Zahlen nachdenken: Viele ganze Zahlen lassen sich als Produkt schreiben und diese Faktoren wieder als Produkt. Bis Primzahlen übrig bleiben, die man nicht mehr als Produkt schreiben kann:
- [math]50=2\cdot 25=2\cdot 5\cdot 5[/math]
- [math]420=2\cdot 120=2\cdot 2\cdot 60=2\cdot 2\cdot 2\cdot 30=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 15=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5[/math]
Das nennt man Primfaktorzerlegung und ist so etwas wie der Fingerabdruck einer Zahl. Und das geht mit allen Zahlen, auch mit größeren:
- [math]5917978459302=2\cdot 3\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 13\cdot 23\cdot 23\cdot 67\cdot 79\cdot 79[/math][1]
- Schreibe die Primfaktorzerlegung dieser Zahlen auf:
- [math]12=[/math]
- [math]30=[/math]
- [math]54=[/math]
- [math]42=[/math]
3) Nun wieder zur Wurzel aus 2. Ich tue mal so, als ob das zweite Beispiel aus 1) stimmen würde:
- [math]\frac{10}{7}\cdot \frac{10}{7}=\frac{10\cdot 10}{7\cdot 7}=2[/math] oder [math]10\cdot 10=2\cdot 7\cdot 7[/math]
Mit der Primfaktorzerlegung bekommt man:
- [math]2\cdot 2\cdot 5\cdot 5=2\cdot 7\cdot 7[/math]
Das kann aber nicht stimmen, denn die „Fingerabdrücke“ sind ja ganz unterschiedlich! Die linke Seite kann man zweimal durch 2 teilen, die rechte Seite nur einmal!
- Begründe mit dem gleichen Vorgehen, warum [math]\left(\frac{14}{10} \right)^2=2[/math] falsch sein muss!
4) Im allgemeinen Fall suchen wir einen Zähler z und einen Nenner n mit: [math]\frac{z}{n}\cdot \frac{z}{n}=2[/math] oder
- [math](*)\quad z\cdot z=2\cdot n\cdot n[/math]
Das kann aber nicht sein!
- Denn überlege dir: Ist die Anzahl der „2en“ auf der linken Seite der Gleichung [math](*)[/math] gerade oder ungerade? Und wie ist das auf der rechten Seite?
5) Aber ich habe doch noch den richtigen Bruch gefunden! Überprüfe das mit dem Taschenrechner.
- [math]{\left(\frac{3467618674}{2451976679}\right)}^{2}=2[/math] Was meinst du dazu?
6) Beweise mit Hilfe der Primfaktorzerlegung: „Die Wurzel aus drei ist irrational.“
7) Erkundige dich, was die dritte Wurzel einer Zahl ist und beweise: Die dritte Wurzel von 2 ist irrational.
Fußnoten
- ↑ Das kann man sich von Wolfram Alpha mit der Eingabe "prime factorization of 5917978459302" berechnen lassen!
