Die Bewegungsgesetze einer harmonischen Schwingung

Das Ortsgesetz

Aus der Zeigerdarstellung oder aus der Differentialgleichung folgt beidesmal der sinusförmige Verlauf der Elongation, also des Ortes:

[math]y = \hat y \sin (\omega t)[/math]

Berechnung des Geschwindigkeitsgesetzes

Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderungsrate des Ortes, also muss man nach der Zeit ableiten. Dabei muss man die Kettenregel beachten.

$$v(t)=\dot s (t) = (\hat y \sin(\omega t)\dot) = \hat y cos(\omega t) \omega$$ (Wiederholung: $$[f(g(t))]'= f'(g(t)) \, g'(t)$$ )

[math] v(t) = \hat y \omega cos(\omega t) = \hat v cos(\omega t)\qquad \qquad \hat v = \hat y \omega [/math] ist die maximale Geschwindigkeit.

Berechnung des Beschleunigungsgesetzes

Um die Beschleunigung zu erhalten, muss man die Geschwindigkeit erneut ableiten.

$$a = \dot v = \hat y \omega \dot{cos(\omega t)} = \hat y \omega (-\sin(\omega t)) \omega$$

[math]a(t)=-\hat y \omega^2 \sin(\omega t) = \hat a \sin(\omega \, t)\qquad \qquad \hat a = -\hat y \omega ^2 [/math] ist die maximale Beschleunigung.

Folgerungen aus den Bewegungsgesetzen

Impuls

Der Impuls hängt direkt mit der Geschwindigkeit über

$$p=m \, v$$ zusammen:

[math]p(t)=m \, \hat y\, \omega \ cos(\omega\, t) \qquad \qquad \hat p = m\, \hat y \,\omega[/math] ist der maximale Impuls.

Energie

In Abhängigkeit von der Zeit

Die Bewegungsenergie hängt direkt mit der Geschwindigkeit, bzw. mit dem Impuls zusammen:

$$E_{kin}=\frac{1}{2}m \, v^2 = \frac{p^2}{2\, m}$$

Die "restlichen" Energieformen wie Spann- und Lageeneergie ergänzen die Bewegungsenergie immer zu einer konstanten Summe. (Zumindest bei einer ungedämpften Schwingung.)

[math]E_{kin} = \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \cos^2(w\, t) \qquad \qquad \hat E_{kin} =\frac{1}{2} m \, \hat y^2 \omega^2 [/math] ist die maximale Bewegungsenergie.
Die Energie ist proportional zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude.

In Abhängigkeit vom Ort

Aus der sinusförmigen Bewegung folgt auch der lineare Zusammenhang

$$F=-D\,y$$ von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder. (Siehe hier.)

Kraft

Die Beschleunigung hängt direkt mit der wirkenden Kraft über

$$F=m\ a$$ zusammen, daher folgt:

[math]F(t)=-m\, \hat y\, \omega^2 \ \sin(\omega\, t) = \hat F \sin(\omega\, t)\qquad \qquad \hat F = -m\, \hat y \,\omega ^2[/math] ist die maximale Kraft.

Ausserdem folgt aus der sinusförmigen Bewegung auch der lineare Zusammenhang

$$F=-D\,y$$ von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder. (Siehe hier.)

Frequenz

Die maximal wirkende Rückstellkraft läßt sich auf zwei Arten berechnen. Einmal über die maximale Beschleunigung

$$-\hat y \,\omega^2$$ und einmal über die maximale Auslenkung $$\hat y$$ :

$$\hat F = m \,\hat a = -D\,\hat y$$

$$\Rightarrow -m\, \hat y \,\omega^2 = -D \,\hat y$$ . Teilt man nun noch durch die Amplitude $$\hat y$$ und die Masse $$m$$ , so folgt:

[math]\omega^2= \frac{D}{m}[/math]  oder  [math]\omega= \sqrt{\frac{D}{m}}[/math]  ;  [math] f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}[/math]  ;  [math] T =  2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}[/math]   
Frequenz einer harmonischen Schwingung, sie hängt nicht von der Amplitude ab!

Die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt aus der Kreisfrequenz mit:

$$\omega=2\,\pi\, f$$ und $$T = \frac{1}{f}$$

Beispiel: Federpendel

Das Federpendel benöigt für 10 Schwingungen 12s bei einer Amplitude von 9cm.

$$T=1{,}2$$ $$\omega=\left( \frac {2*\pi}{1{,}2} \right)$$

$$s(t)=9cm \cdot \sin(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t$$

$$v(t)=9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*cos(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t)$$

$$\hat v = 9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)= 47\frac{cm}{s}$$

Aufgaben

Zu 108.2

$$\omega$$ : Winkelgeschwindigkeit $$f$$ : Umläufe pro Zeit

z.B.:

$$f = 2Hz$$

$$w = 2*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)= 4*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)$$

$$\Rightarrow \omega=2*\pi*f$$ und weil $$f=\left( \frac{1}{T} \right)$$

$$\omega=\left( \frac{2*\pi}{T} \right)$$

Zu 108.3

$$\phi_0$$ : Phasenverschiebung

$$\phi_0 = 0^\circ$$ : Schwingung in Phase

$$\phi_0 = \pi \, (180^\circ\!)$$ : gegenphasig

Links

• Applet zur Zeigerdarstellung
• Applet zur Sinuskurve des Ortsdiagramms eines Pendels (W.Fendt)
• Applet zum Federpendel (W.Fendt)
• Wikipedia: Zeigerdiagramm

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