Beschreibung einer harmonischen Schwingung mit der Zeigerdarstellung
Ausgehend von experimentellen Beobachtungen stellt man ein mathematisches Modell auf, mit dem man die Bewegung einer Schwingung beschreiben kann. Ob dieses sogenannte Zeigermodell für eine Schwingung zutrifft, kann man wiederum nur experimentell untersuchen.
Das Vorgehen ist also deduktiv, ein Modell wird im Experiment überprüft.
Alle Schwingungen, die sich mit dem Zeigermodell beschreiben lassen, heißen harmonische Schwingungen.
Inhaltsverzeichnis
Versuch: Ein Sandpendel
Aufbau:
Siehe Bild 1
Beobachtung:
Es entsteht eine Wellenlinie. (Siehe Bild 2)
Erklärung
Diese Wellenlinie ist gerade das Zeit-Ort Diagramm einer Schwingung, denn sie gibt an wann der Körper wo ist. Die Ortsfunktion scheint eine Sinusfunktion zu sein, an der man die Amplitude und die Periode ablesen kann.
Versuch: Projektion der Kreisbewegung
Aufbau:
Variation der Drehgeschwindigkeit oder Variation der Schwingung durch Veränderung der Masse und Feder. Die Veränderung der Schwingung ist exakter durchführbar!
Beobachtung:
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Erklärung
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Die Zeigerdarstellung
Ausgehend von dem Ergebnis des Projektionsversuchs, beschreibt man eine harmonische Schwingung durch einen drehenden Zeiger.
- Die Projektion des Zeigers auf die y-Achse ist die Elongation des schwingenden Körpers.
- Der Zeiger dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn.
- Die Länge des Zeigers entspricht der Amplitude der Schwingung. (Nur bei einer idealisierten ungedämpften Schwingung ohne Reibung ist also die Zeigerlänge konstant.)
Animation
Mit Hilfe dieser Animation läßt sich das gut nachvollziehen.
Die Zeit kann man mit dem Schieberegler verändern oder die Animationsgeschwindigkeit größer als Null einstellen.
An der Spitze des Zeigers kann man seine Länge verändern. Die Drehgeschwindigkeit ω des Zeigers kann man am oberen Schieberegler einstellen.
Herleitung des Ortsgesetzes
Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit, Frequenz und Periodendauer
Wie bei allen Kreisbewegungen und Schwingungen gilt:
[math]\omega = 2\pi f[/math] und [math]f=\frac{1}{T}[/math]
Das Orts-Gesetz
Der Ort des Körpers ist gerade die y-Koordinate der Zeigerspitze. Hat sich der Zeiger um den Winkel [math]\alpha[/math] gedreht, so gilt:
[math]\sin \alpha = \frac{y}{\hat y} \qquad \Leftrightarrow \qquad y = \hat y \sin \alpha [/math] Der Zeiger bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit [math]\omega[/math], es gilt also [math]\alpha = \omega t[/math] und damit erhält man:
[math]y = \hat y \sin (\omega t)[/math]
Aus dem Ortsgesetz lassen sich alle Bewegungsgesetze einer harmonischen Schwingung ableiten und auch Aussagen zum Energiegehalt und zur Frequenz machen!
Beispiel: Federpendel
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[math]T=1{,}2 sec \qquad f=\frac{1}{1,2 sec}\approx 0,8 Hz \qquad \omega=\left( \frac {2*\pi}{1{,}2 sec} \right) \approx 5,2 Hz[/math] [math]y(t)=9cm \cdot sin( 5,2 Hz \cdot t)[/math] |
